log

= A-,AIog2 -fA3AMog3 -f- A, A"-'log«-f- i?„.

Ou pourra très commodément calculer les logarithmes des facultés suivant ces dernières expressions, car il n'y a (pià prendre les diflerences successives des logarithmes des nomhres u, u-{-x, r/ -f- 2.t, . . . , « -f (« l)-r, tm de celles h, K-\-l, ?. + '-', .... A + '2 — 1, ou bien de 1, 2,3,.... n et à les multiplier par les coëfficiens hinomiaux A^,, A^, A'., .... An .

Vni. 11 est vrai (juen faisaat le calcul de (1, + 1)^ suivant la formule (420.) ou trouvera que la série nest que peu convergente, puisque les différences des logarithmes des premiers nombres naturels 1, 2, 3

f/i' (Icveloppement des fonctions aux facultés analytiques, §. 44. form. 421. — 4^5. 113

ne vont en diniinuant que tri-s lentement. Mais néanmoins , en partant de la série (419.), on pourra trouver le logarithnio de !a faculté (1,+ l)*" par une expression aussi convergente qu'on voudra, car cette série sera très convergente si k est un nombre assez grand. Su|inosoiis donc qu'on ait à calculer (A, -\- 1)* pour une valeur arbitraire assez grande de A, la formule (52.) donnera, eu y faisant u =x= 1,

(i+A-. + iy ^(i+v. + ij*

et en faisant l-\-y = ?.,

De là on tire

«1. n, + ^y = (K, + if^i^r^^.

Ici 7, est un nombre entier arbitraire. Donc les quantités (I, + !)'"' et (1-|-/,, + 1)'""' pourront être calculées par la seule multiplication. Donc ayant trouvé (X, + 1)^ V^^ '^ ^'^'"'^ (419) on aura sur le cliamp (I, + 1)*.

Expressions des fonctions angulaires par les facultés,

Ces expressions, que nous citerons comme du nonjbre de ces applications des facultés analytiques qui se présentent Ips premières, se tirent des équations (340. 341,) comme suit.

Ces équations donnent

..,,, . (^— .rX^ÎTr— ^)(37r— j-:....(7v+.70(3ir + .x-\:37r+a-).... 4J2. smar = j. et

'ÎT,Z7[.0'7l....'7r.2'7t.^TV....

(w— 2.r)'37r— 2jr)v'5Tî— 2jr) .... r7r+3.r)(3ir -\-'2j:)(57i+'2x)....

41S. cosar = —T. ;^ -^ — z-

donc, en iiai.sant usage de la notation des facidtés,

?j-, + 2-7r)"(7r4- 2j-, + 2 7rr ( (7r,+2 7rr>, +2 7r)'" ~~ )

Mais en vertu des expression (57. et 39.) on a