M^rrr^.!, v^a, v^a^, v^a', .... v'a

Mais il n'existe que les A valeurs f 1 , v^ , i>i, .... v„ de la quantité u*; donc une valeur quelconque de cette quantité, autre que celle f, par ex, Vt ne peut être que parmi les valeurs (31.). Soit t;, «'"=fa, l'équation (30.) appliquée à cette autre valeiur de u* donnera

32. w*= (vjû!'")!, (v^a")», (u, «>")«*, (v^a")»* .... (v^a")»^

Mais les produits a". 1 , «*". « , a". «% .... es" . a^~', comme il est aisé de voir, ne donnent d'autres puissances de a que celles qui déjà sont comprises entre les puissances «% «',«*.... «^, puisque a^ = 1 . Donc l'expression (32.) donne précisément les mêmes valeurs de u^que celle (31.). Elles se succèdent seulement dans un autre ordre. Il en est de même

J4 §• 10. et 11, form, 33. /. Définition et

des résultats que donnent les autres valeurs t;,, t»^ . . . . î^^ de «^ en j applicpiaut l'équation (30.). Donc en multipliant «* par l'^ dans (29.), le nombre des résultats différents n'est nullement >? mais seulement K, de sorte (lue réquation (29.) n'exprime pas plus de valeurs à droite qu'à gauche.

Il en est de même de léqnation (28.). Car nous venons de voir qu'à laide de la multiplication par 1^ les A valeiu-s de «*, u^, ul^ .... peuvent être toujours réduites à une seule, de sorte que leur inégalité peut être toujours exprimée par celle des puissances de 1*. Donc les résultats de la combinaison des différentes valeurs Aq u\, u\ .... que produit la multiplication des facteurs, se réduisent toujours à ceux qu'offrent les puissances différentes de 1^= «. Mais ces résultats ne présentent que A valeurs différentes, puisque les puissances a°, «', «%.... «^~^ reparoissent toujours, quelles que soient les valeurs entières qu'on domie à n. Donc le nombre des valeurs à droite dans l'équation (28.) n'est nullement A"*, mais seulement A, et égal à celui des valeurs à gauche.

Puisque, en vertu du paragraphe précédent, les différentes valeurs d'une puissance ii'" peuvent être toujours exprimées par une seule valeur déterminée de cette quantité, en la multipliant par les différentes valeurs de 1*, et que le choix de cette valeur déterminée est arbitraire, on pourra partir par préférence des valeiu-s réelles de ii''^ s'il y en a. Donc en écrivant

la notation |«p signifiera par préférence la valeur réelle de «*, si une telle valeur existe. Nous verrons plus bas les conditions de l'existence et de la non- existence des valeurs réelles des puissances.

Il y a encore à remarquer qu'en écrivant une seule lettre pour exprimer une puissance, par ex. z au lieu de u^, comme nous l'avons fait plus haut (§. 4.), cette notation n'est pas incomplète. Il est vrai qu'il auroit fallu écrire u^ =■ z,V au lieu de s ^ ii^i mais ce qu'on trouve pour une valeur déterminée z de v^ aura lieu également pour toutes les autres valeurs de cette quantité, puisque le choix de la valeur déterminée de la quantité est arbitraire. Si lexpression d'une puissance par une seule lettre se trouve seulement à un des deux côtés d'une équation conmie

proprifUs des puissances. §. 12. form. 34. J5

par ex. dans réquatîon (10. §. 4. IV.), et qu'on veuille exprimer en même temps tous les résultants que loquatiou puisse présenter, il n'y a qu'à

écrire z.V au lieu de z. Cela donne dans léquation (10.) u^=.{z,Vy =^

») . 1^' y = c> . 1 = z^y pour v> = Zf de sorte que l'i'quation (10.) ne change pas de forme.

On voit, par ce qui précède, que tous les théorèmes sur les puissances qiie nous venons de trouver ont été tirés imiqxiement des deux équations fondamentales (3. et 4.) sans le moindre secours étranger, sans recourir au développement en séries, ni à lapproximation ou à l'induction. Nous n'avons eu besoin que de la théorie des quatre premières opérations : addition, soustraction, multiplication et division, qui, selon la nature de l'objet, doivent précéder la théorie des puissances. Ce mode de développement semble être propre ici comme ailleurs à la méthode qiiî convient seule à l'analyse et qui, dems cette science, comme nous l'avons remarqué phis haut, est non moins importante que les résultats eux mêmes.

Mais puisque de cette sorte tout est fondé sur les deux écpiations hypothéticpies (3. et 4.), il faut encore voir si la coexistence des deux équations fondamentales ne peut point être révoquée en doute A cause de quelque contradiction.

La coexistence des deux équations fondamentales (3. et 4.) a été déjà légitimée a posteriori par ce que toutes les conclusions fondées sur les deux écpiations (3. et 4.) ne nous ont induit nulle part à quelque contradiction. Mais on peut encore prouver a priori, coimne suit, que les deux équations (3. et 4.) subsistent l'ime à côté de l'autre sans contra-

diction. En écrivant 1 -j au heu de k dans l'expression («")* nous au-

rons {u>') ^. Cela égale, en vertu de la première équation fondamentale

(3.) ù (u"'y,{u''y et cette quantité, en vertu de la seconde éfpiation fon-

damentale (4.) est égale à u'f .u ^ ■:=u^.u^ ou bien, en vertu de la première équation fondamentale égale ù W"^^. Donc on a suivant les deux équations fondamentales (3. et 4.)