y) r = aï+ï

j,g |, 12. /. Définition et propriétés des puissances.

Mais le même résultat peut être tiré de la seconde équation fondamentale (3.) seule sans le secours de la première. Car elle donne

fitr'^^'^y=zu^^ y ''=«5'+*, Donc une des deux équations (3. et 4.), appliquée isolément à une puissance quelconque, donne le même résultat (fue les deux équations appliquées conjointement. Il suit de lu que les deux éciuations ne pourront être en contradiction.

On pourrait donner encore une autre démonstration de la coexistence des deux équations fondamentales, en tirant l'une de l'autre au moyen du passage ordinaire des cas particuliers aux expressions générales. En supposant l'équation (3.), on commenceroit par démontrer l'autre équation (4.) dans les cas où y et k sont des nombres entiers ; puis dans les cas où j et k sont fi-actionnaires , et en passant des valeurs rationnelles aux valeurs irrationnelles par le mode ordinaire, on arriveroit aux cas où les exposans sont irrationnels. Mais ce procédé seroit embarrassant et impliqueroit une sorte d'induction, à cause du passage des cas particuliers aux expressions générales; de l'autre côté on ne toucheroit pas les exposans imaginaires, et enfin on trouveroit que la démonstration, même dans son étendue limitée, ne réussit pas sans faire une seconde hypothèse, savoir celle II' z=Uf de sorte qu'au fond on retomberoit dans l'inconvénient d'avoir deux hypothèses au lieu dune seule. Donc, puisque cette seconde voie n'offre que des pertes sans profit, et que d'ailleurs la coexistence des deux équations (3. et 4.) peut être justifiée parfaitement, comme nous lavons vu plus haut, les deux h}-pothèses, ou plutôt postulat a, dont nous sommes partis, semblent être préférables.

Avant de passer au développement des puissances en séries, desquelles les fonctions angulaires pourront être tirées immédiatement, nous entamerons la recherche des facultés analytiques, en suivant une marche analogue à celle que nous avons suivie pour les puissances. Après nous donnerons des séries générales de développement applicables égale-, ment aux puissances, aux facultés et à d'autres fonctions analytiques.

//. Définition et propriétés des facuUcs analytiques. §. 13. 14. form. 35. — 43. 17