u, + xT= u{u + x){u -\-2x){u -\-'ix) (u + (m — l):r

pour le cas où ni est un nombre entier.

Cela fait voir que dans les cas où des trois élémens u, x, y celui y est un nombre entier, les facultés analytiques seront des produits do facteurs é qui différents. On leur a donné dans ce cas le nom de factorielles.

III. A cause de l'analogie des facultés avec les puissances, et de leur accord dans un cas particulier, nous donnerons à leurs élémens des noms analogues à ceux des élémens des puissances.

Des trois élémens m, if , j d'une faculté {u^-^-xy nous nommerons

le premier «, base,

le second x, différence et

le troisème j, exposant.

Quant à la notation adoptée ci -dessus, elle sera justifiée par le passag;i des facultés aux puissances, dans le cas d'exposans enti ers. Nous avons mis l'exposant au côté droit de la base et un peu plus haut, comme dans les puissances. La différence a été placée à côté de la base, et sur la même ligne, parcequ'elle peut se combiner av^ec la base par la voie de l'addition, comme on le voit dans les factorielles. Elle a été séparée de la base i>ar une virgule, pour indiquer qu'elle ne doit être ajoutée tjue sous quelques conditions.

des fucuUès analytiques. l. 14. form. 45. 47.

On a aussi coutume de d<'s){:;ner une faculté («, +ar)'' par u^'^ où la différence est placée à côté de l'exposant; mais il paroît être beaucoup plus naturel et conforme à la nature de la fonction dont il s'agit, de placer la différence à côté de la base, parcequelle se combine bien avec elle par la voie de l'addition ou de la soustraction, mais non pas avec l'exposant. Il est bien vrai que les notations dans les mathématiques sont arbitraires mais elles ne le sont pas absolument; elles ne le sont que jusqu'à de certaines limites tracées par les règles indispensables de la conséquence sans laquelle les mathématiques n'existent pas. Certes la conséquence est tellement inséparable de cette science qu'il n'est pas permis de la né^Ii-'er même dans les points les moins essentiels. Et la notation n'est i)as de ces points; elle est beaucoup plus importante qu'elle ne semble l'être à la première vue. Les signes sont la langue des mathématiques et l'art de la notation est celui de cette langue, (luon nous pardonne cette remarque: elle est susceptible de nombreuses applications dans toutes les parties de 1 analjse.

IV. Si dans la seconde équation fondamentale (39.) l'exposant y est im nombre entier, elle donne en vertu de (II. 44,) :

45. l-u [ht + Ix) (ku + 2lx) .... {ku + (/— 1) kx) z= ky u {u-\-x) {ii^2x) .... (,,-f ( j—l)^). Cette écpiation est identique et fait voir que les trois équations fondamentales n'impliquent point de contradiction dans le cas d exposans entiers.

V. Soit dans la première équation fondamentale (38.) j = 0 et A = l, elle donne («, +x) '=(«/, -f-^r)" («, + x)' et eu vertu de (40.) u = (w, + a:)°«. De là on tire {u,-^x)°=— ou biea