F(x+k) = Fx + f^^ AFx + f^\ A'- Fx + f-\ A'Fx

Telle est la formule générale de développement qu'on peut appeler formule générale de Taylor. Elle est, comme ou voit, semblable » la série de différences de Newton et applicable à ime fonction quelconque Fx pour la développer en série. Elle donne en même tems une expression finie du reste de la série. Si Ion désigue |>ar R^ ce reste, savoir celui qui suit les n premiers termes de la série après le terme Fx, ou a

k(k — ct)(k—2a) (k—nci) fF(jc-^k) — Fx\

La s('rie, comme nous lavons vu, a été trouvée par le seul moyen de transformations identiques. Son développement est donc établi de la manière la plus rigoureuse. La série est semblable à celle de Mr. Serve is, mais elle en diffère en quelque sorte, surtout par l'expression du reste, qui s'offre eu même tems.

Quant à l'application de la caractéristique A à lexpression du reste, il y a à remarquer que toutes les fois qu'on écrit x-\-a au lieu de x il faut, en vertu de la règle adoptée pour le développement, mettre en même tems k — a. au lieu de /•:, de sorte que x-{-k conserve la même valeur. On aura suivant cette règle par ex,

■ F(ar+70— -F-^ F(ar+A-)— F(x + «) F(a-+A-)— Fj? i A ; r - r »

-Fx

\^.^F{x-\-k)—Fx F{x-\-l<)-F{x-\-2ci) ^F{x-\-l<)-F{x-]-a) F(x+^-)f k k — '2a " k — a f k

Si Ion vouloit développer l'expression du reste, on trouveroit que tous les termes de la série se détruisent, et cela doit arriver effectivement à cause de l'identité de l'expression. Par ex. si l'on s'arrête au second terme de la série en écrivant

F{x-]rk) = Fx-{.— AFx-\ — ^^^'A'Fa;-i ^, A^'