F(X-H)— F-TT

Je développement. §. 18. 29

oti a

, 7cFx-\-u)—kFjc k^k—ci)F:r~\-'^a—2k{k—u)Fyx-\-u]-\-k(k—ci)Fx F{x+k) l'x -\ ( ^

k(k—a)(k—2a) ÏF(.T-{-k)—F(.r-\-2a) ^ F(j-4-A) — F. j7+«) ■ F(x+/0— Rr"! "^ 2a'' L k—2a " k— a "^ A: j '

et cela donne

/ k kik-a) ik-a,(k-2a\

OU Lien 0 = 0, comme il faut.

Mais il ny a millement à craindre que l'expression (78.), à cause de son identité, soit moins un véritable développement, qu'une transformation vague dont tous les termes se détruisent mutuellement. Si les termes de la série (78.) vont en diminuant, il y a déjà lieu de présmner qu'elle donnera approximativement la valeur de la quantité F (ar-f-Zr) qu'elle exprime, et si l'on peut démontrer que le reste i?„ est zéro pour n = X5, la série sera convergente et donnera effectivement la véritable valeur de F{x 4" fi)- Ce seroit une erreur de soupçonner cju'uue transformation identique ne puisse fournir un développement réel. Au contraire, tout développement exact ne peut être qu'une transformation identique. Le développement dune fonction en série convergente n'est jamais qu'une transformation identique de son expression en une autre composée de termes rationnels et décroissants jusqu'à zéro et dont le reste, qui suit un nombre infini de termes, est zéro.

Les quotiens , j — , — 5 — , . . . . des termes de la série générale de T a y 1 or (78.), si l'on y fait « = 0, n'étant autre cbose (]ue les coëfficiens différentiels de la série particulière de Ta y 1 or, il semble à la première vue, que cette dernière série ]>uisse être tirée immédiatement de la série générale, si l'on suppose (jue les factorielles /r(A- — a), k{k — a]{k — '2a) ....

•jQ ^. 18. form. 82. et 83. ii/. Formules générales

pour «=0 se réduisent aux puissances A:*, A^, A'' . . . ., car dans ce cas la

A Far A' Far série (78.), en j écrivant ^Fx, d^Fx, .... au lieu de , — f— • • ••

donne