F(x + t) = F:r + /.-^Fa7 + |-a'Fa; + ilè^F

et c'est la série particulière de Taylor.

Cette réduction de la série générale (78.) à la série particulière se justifie complètement daus le cas où la série n'a qu'un nombre fini de termes, car dans cccaslesfactorielles/^(A-«), k{k-a,)(k-2a), .... h (k-ci) {k-2ci) .... (k-na) se réduisent pour a = 0, sans le moindre doute, aux puissances A^, A-', .... A""*"'. 3Iais si la série se prolonge à l'infini, c'est-à-dire que n puisse être ce, on nest pas sûr, que la l'actorielle A (A — a) (A — 2 «).... (A — n a) soit égale ;\ la puissance A""''', puisque la valeur du l'acteur A — na. pourroit être quelque autre quantité que A, même ou zéro ou infijii pour a = 0 et n = ce. On ne peut donc tirer immédiatement la série particulière de Taylor de la série générale daus tous les cas. Son développement a besoin plutôt encore de quelques autres réflexions, et d'autant plus que la série n'a effectivement lieu que sous certaines conditions.

Parmi les modes nombreux de développement qui existent de la série particulière de Taylor, celui que donne Lag range dans la théorie des fonctions se distingue pai- sa clarté et sa généralité. ]Mais ce développement suppose hj-pothétiquement la forme de la série et sa convergence. ^i^. Servois, dans les mémoires cités plus haut, donne un développement de la série sans faire ces b3'pothèses; mais dans sou développement, les coëfficiens différentiels se présentent sous la forme de séries dont la

ionver"euce tient offrir des difficultés. Voici comment on peut démontrer - *

la série particulière de Taylor imiquement à l'aide des transformations

identiques, et de sorte cpi'en même tems les conditions de l'existence du

tléveloppemeut se font voir.