F{x -{-k) — Fx -\- k 8 Fx ■{- ^ B-Fx + :j^ ^' Fx

C'est, comme ou voit, la série particulière de Taylor. L'expression du reste de la série, qui suit ses n premiers termes après celui Fx et que nous avons désigné plus haut par if„ , est ici

q.> R ^'"•'' a" (F{x^^)-Fx\

où la notation 5" veut dire, que dans le quotient ~^-^ on doit

mettre x + a au lieu de .r et h. — a au lieu de A-, puis retrancher du ré-

de dtveluppemenl.

§. 18. form. 93. — 95.

sultat le quotient primitif, faire « = 0 dans la différence et répéter /t fois cette opération.

III. Le développoment que nous venons de faire de la série particulière deTaylor s'exécute, comme on voit, seulement à laide de transformations identicpies. Il est donc exempt de toute incertitude, aussi bien que celui ci -dessus de la série générale de Taylor.

Mais en môme tems il fait voir les conditions qui doivent être remplies si Ion veut que la série subsiste. Elles s'expriment par les équations suivantes:

Af(x-\-a) __ A/x a a

A''f(x-\-cc) __ A'-fx

pom* « = 0.

Puis<p.o /(-r + a) — /.r = Afx, A/(x + «) — Afjr = A'fx,

A.*/(-^ + «) — A^'fx-=A^fx etc., elles peuvent être aussi exprimées par

{ Afx = 0 '

A'fx

Ci"-'

"ffT.

pour a

, . Afx ,. . n /• A'fx . „ /. A^/x .,r

b,en, -^ étant =dfx, —^=d-fx, —i— = c'fx etc. pour

a = 0, par

( ctdfx = 0, « B^fx = 0, xPfx = 0,

§. 18. fovm. 96. — 99,

///. Formules scncrales

IV. Les équations (94. et 95.) donnent les conditions de lexisteuce Je

la série (91.) et elles les expriment par la quantité /j?=^ . Mais on

peut les réduire aussi à d'autres qui se rapportent à la fonction Fx elle même. Les équations (76.), en partant de la seconde, donnent

afx = AFx -\-ll- — a)A.fa; A^Fx . l- — 2a A^f.T

Afœ

*i. t-C- ^ ce-

A*Fj

l—ia A\f.'c

A"-'fx A^Fx l—na A"/x

Supposons que les équations (94.) ont lieu. Dans ce cas la série (9L) aura lieu également, parceque les équations (94.) expriment les conditions de son existence. Substituant les équations (94.) daus celles (96.) et supposant encore