afx = 0 pour

on aura

/ AFx = 0\

A^Fx a

\^Fx

A"Fx

pour Ci

A^Fx ^,, A'Fr

OU bien, -^ étant =Sfx, —^-=d\fx, — — =. o /jr-

« = 0, en réunissant (97. et 98.)

{ ccfx = 0)

udFx = 0

xd'Fx = 0

cid'Fx = 0

pour

ccd"Fx = 0 ,

pour a = 0.

de dcielopriemcnt. ^. 18. '-{i^

Si les équations (94.) navoient pas lieu, celles (97. et 98.), et par suite (99.) nauroient pas lieu non plus, comme on le voit par les équations (96.). Donc les écpiations (99.) expriment les conditions de l'existence de la série (91.) et les équations de condition (95.) sont maintenant réduites à d'autres où entre la fonction Fx. Voyous ce qu'elles donnent pour les cocificiens ôFjc, d^Fx etc.

V. La première des équations (99.) a toujours lieu , même si fx étoit = oo ; car puisque la quantité a n'entre pas dans fx = , ^^~'" ') ^^

on peut toujours la supposer telle, que ufx soit zéro, par ex. en suppo-

sant «==—- — j, on a afx = —- et afx = 0, sifx = x. Mais les au-

très équations (99.) demandent que les coeîflcieus différentiels c'/j-, b^Fx .... ue soient pas infiniment grands; car supposons b F x = oo pour « = 0,

cette quantité étant égale à ou auroit = c» pour a = 0, donc

AFx poiuToit avoir une valeur finie et ne seroit pas nécessairement zéro, résultat contraire ù la première des conditions (98.). Supposons è^Fx-=.<x,

pour a = 0, cette quantité étant égale u — ?— , ou auroit — j— = ce pour a = 0 , donc le seroit également et non pas nécessairement zéro,

résultat contraire à la seconde équation (98.) etc.

Les conditions (95.) ou Lien (99.) se réduisent donc A ce que 5Fx, c^Fx etc. ne doivent pas être oc. Doue la série particulière de Taylor (91.) ne siibsiste que dans les cas où les coéfficiens différentiels BFx, 8^Fx, .... B"Fx sont des quantités finies. Elle nauroit pas lieu si quelques - uns de ces coéfficiens ou un seul coL'fficient étoient infinis.

VL II y a encore ù remarquer que la série particulière de Taylor, si d'ailleurs les coéfficiens différentiels êFx, d^Fx.,.. ne sont pas des ([uantités infinies, peut subsister, même dans les cas où k est infiniment gi-and. Car supposons la condition remplie que S Fx, S^ Fx .... sont des tjuantités finies, les équations (99.) et par suite celles (97. et 98.) auront lieu. IMais si a Fx = 0 et A Fx = 0 la première des équations (96.) donne 0 = 0-j-(A; — a)Afx, c'est-à-dire A/x = 0 pour une valeur quelconque

de /f, et ù plus forte raison Z^f.r — 'O si A: = oc. Puis, A/ar et -^

36 5' ^*''- ^^^- t'ormules genJralei

étant zéro, la seconde des équations (96.) donne 0 = 0 -{- "^^— • — —y

^ ce

donc — - — est zéro pour une valeur quelconque de )i et à plus forte raison — — = 0 si ^ = ce et ainsi de suite, de sorte que toutes les écpia-

tions de condition (94.) seront satisfaites également. Donc la série (91.) peut subsister, même dans le cas ou k est oo.

On voit que les conditions que nous venons de trouver pour l'existence et la validité de la série particulière de Taylor doivent nécessairement être connues pour les applications de cette série. D'ailleurs la série n'est pas encore convergente si elle satisfait aux conditions (V.). Ces conditions ne se rapportent qu'à son existence.

Ayant trouvé et démontré les séries que présente le développement d'une fonction quelconfjue en variant ses élémens, il s'agit maintenant de juger la convergence de ces séries dans les cas définis, c'est-à-dire de juger la valeur du reste de la série. Si cette valeur ne diminue pas en augmentant le nombre des termes et ne converge pas vers zéro, la série est sans but.

Si la valeur du reste de la série pouvoit être trouvée exactement, on pourroit juger immédiatement sa convergence en faisant «= ?o dans l'expression du reste. Si cela donnoit zéro pour la valeur du reste, la série seroit convergente, et di^ ergente dans le cas contraire. Mais il est évidemment impossible de trouver l'expression exacte et finie du reste, toutes les fois que la série est infinie: car si cela étoit possible, on auroit une expression finie de la fonction proposée et sa valeur cesseroit d'être exprimée approximativement par la série comme le demande l'h^-pothèse, mais par un nombre fini de termes.

Il faudra donc plutôt se contenter d'évaluer approximativement la valeur du reste, c'est-à-dire de trouver des limites dans lesquelles cette valeur doit être comprise.

Oh connoît les expressions des limites de la râleur du reste de la série particulière de Taylor. Mr. Lagrange les a données par la voie des intégrales définies. Mr. Ampère a simplifié et perfectionné la recherche de ces limites dans un mémoire inséré dans le IS'"*" cahier du journal de l'école polytechnique, et a môme étendu ses recherches aux

de dtveloppement. §. 20. form, 100. — 104. 37

lonctions de plusieurs variables Jans le 11'"' cahier du 17"* tome des annales des mathématiques de Mr. Gergonne. Il ne nous reste donc ici quentre prendre la recherche des limites du reste de la série générale de Taylor. Ces limites peuvent être trouvées de la manière suivante.

20, 1. Soit (P(x,h) une fonction quelconque des deux quantités x et k, variables toutes les deux, mais soumises à la condition, que si par ex, X varie de a, k varie en même tems de — «. Supposons aussi que (p {x, k) n ait pas de valeurs imaginaires ni d infinies, mais que toutes les valeurs de cette fonction, pour les valeurs difi'éreutes de ses élémens x et k, depuis x jusqu'à x-\-k et depuis k jusqu'à 0, soient réelles et finies, de sorte que (p{x,k), dans retendue indiquée des élémens, est une fonction continue.

Cela posé, faisons varier continuellement a: de « et en même tems, suivant la condition ci- dessus, k de — «, on aura eu faisant usage du signe A,

f(f{œ-\-a. Te — a) —(f{x,h) = Acfce, \cf[cc-{-2a,k—2a) — cf(x-\-a, k~a) = A<p{x-{-a), 100. {y(x+3a, A-— 3a) — 9p(a: + 2f^, fc — 2a) = Afp[x-\-2c(),

rp{œ-\-ma, îc — ma) — (p{x-{-(m--i)ci,k — (m—i) a) =: A(p(,x-{-(m—l) a).

La somme de ces équations est

101. rf(x-[-ma,k—ma) — q>(a:,k) = A(fx-\-A(f(a:-\-a)-^A(p(x-{-2a) ....

La quantité a étant arbitraire , on peut supposer mci=i k. Cela donne?, en divisant par k,

ino fT(x-\-k,0)—tp(x,k) A(fx+Aci:(x-i-a')+Arf(x+2a).... + A(p(x-{-(m—Va) A: m a

Stipposons

103. A (px-{-Acp{x-\-a) + A(p (x-\-2a) . . . . + Acp{x-{-(m —1) a) = mAcp {x-{-uce),

l'expression (102.) se réduira à

Maintenant l'expression (103.) fait voir que les quantités A(px, A(p(j;-(-a),

vfi §. 21. III. l'orriiules générales

A(p(x-\-'2a), ...., soit quelles aient toutes le même signe, soit que leurs signes soient différents, ne peuvent être, toutes en même tenis, ni plus grandes ni plus petites que la quantité A(p(x -\- fia), car si cela étoit, la somme des m quantités A(px, A(p{3c-\- a,), .... seroit ou plus grande ou plus petite que m fois la quantité AÇ)(x -{- iJ.a,) et non pas égale à ce midtiple de A<p(x -\- fJLci)^ comme le veut l'équation (103.). Donc, toutes les quantités A (p a-, A(p(x -\- a,), .... ne pouvant être égales entre elles, il Y en aura nécessairement parmi elles quelques unes de plus grandes et d autres plus petites que AÇ)(x -\- iy.a,). Donc la valeur de A(p(x-\- }ict) sera nécessairement comprise entre celle de la plus grande et celle de la plus petite des quantités A (p a-, A(p{x-\-a), A(p{x-\-2a), .... c'est- à -dire

entre la plus grande et la plus petite valeur de Acpx. Donc aussi — '^^ — ^—

sera comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de — - — , et,

— ^— — étant e»al it -'— — ■ ; ^-^ -, la valeur de cette dernière

quantité sera comprise entre la plus grande et la plus petite valeur que

— ^ ou bien ^^ — ■ — puisse avoir pour les valeurs diiférentes de x et /c,

depuis X jusqu'à x-\- k et depuis k jusqu'à zéro.

II. La quantité a étant arbitraire, on peut la supposer zéro. Dans

ce cas la quantité — ^— se réduit au coefficient différentiel B(px. Donc le

théorème que nous venons de trouver fait voir, dans ce cas particulier,

qvie la valeur de — —^-^ — est toujours plus grande que la plus

petite, et plus petite que la plus grande valeur du coefficient différentiel c (p .T , Çx étant une fonction continue de x depuis x jusqu'à x- -\- h et depuis k jusqu'à 0. C'est le théorème de Mr. Ampère, qu'il a démontré à l'endroit cité.

tel»

Nous allons maintenant appliquer le théorème général du paragraphe précédent à la série générale de Taylor (78.).

I. Mettons dans cette série k-{-a. et h. — a au lieu de x et / et déduisons du résultat la série primitive, nous aurons, en désignant le reste de la série suivant (80.) par B„:

de développement. J. 21. fnrm. 105. 39

0 = /•■(.T + «) — Pjc

(k — r()(k—2cc) k{k~a) ^ ^

(A-a)(A- — 2«)Cfc — 3«) .,p, , , k(k — «){k — 2

•I.àcc'

A»F(a-+«)-"'" .,'.- ^'^^A'Fx

,{k-aHk-2a)....(l--na) k{k-a)....J.— (n-l)c. ^

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