iî„ = (p(x,A

de développement. J. 21. form. 112. et 113. 41

III. Remar<i,iions d'abord qu'en écrivant dans lexpression du reste E„ , jc-^k au lieu de x, et dain-ès la condition, 0 au lieu de h, la valeur du reste se réduira à zéro. Eu eflet rex[)ression (78.) donne

11>. R„ = (f{xA) = F(x + /0 — Fx — — AFx— ^"^,f7"^A'fx....

a lia

l(k^a)(k — 2tt)....{k—(n-l)cc)

et si dans cette équation on fait x = x -\- k et k = 0, elle donne

113. R„ = cf {x-\-k, 0) = Fix-^k) — F{xr\.k) = 0, les valeurs de toutes les rpianlités AFx, A^Fx, .... ATx étant sup-

posées limes: donc en composant la quantité -2-^^ — ■ pour la

valeur actuelle i?„ de Ç(x,k) on voit que cette fjuantlté est = — -^^^ —

TV. Mais suivant le théorème (§. 20. I.) la valeur de la (juantité

"^ ' — ^ — ^^* toujom-s comprise entre la plus grande et la plus

1 1 Afp(x,k) , , .^, cf(x4-k,0)—(p(x,k) ,

petite valeur de — -' ; donc la quantité ~ ■ — étant

— -^ dans le cas actuel, le théorème nous apprend que la valeur de

^ est comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de

— — -^— - = ^ '", ou bien' — ^ entre la plus grande et la plus petite valeur de .

T. Cette dernière quantité est égale à -^^ /'„+, (109.), donc la

\ aleur de -77^ est comprise entre la plus gi-ande et la plus petite valeur de ^^-7— ^n+. > ou, ce qui est la même chose, if„ lest entre la plus grande

et la plus petite valeur de (n -\- 1) 7",.^, ; T„^^ étant le premier terme du reste Rn •

Donc nous venons de trouver le théorème suivant. Si dans la série générale de Taylor (78.) les valeurs de toutes les quantités F{x-{-k), Fx, AFx, A^Fx,.... A" /a: (« étant supposé

A') ^. 21. ///. F'iriiiuh'S pe'ii'rnhi

dabord un nombro fini) sont réelles et finies pour toutes les valeurs des élémeus x et k dépuis x jusqu'à 3C -^ k et depuis k jusqu'à zéro, la valeur du reste R„ de la série, qui suit le n"" terme après le premier, est comprise entre la plus grande et la plus petite valeur (pie sou premier terme T„^^ peut avoir pour les différentes valeurs des élémens x et k.

VI. Ce théorème suppose que le nombre des termes de la série <p!i précèdent son reste est fini. I^lais on peut faire voir que, sous les conditions établies, le théorème a également lieu pour un nombre infini des termes.

Si les termes de la série vont en augmentant, elle est évidemment divergente et il n'est plus question du reste. Si les termes sont égaux entre eux, et de même signe, le théorème donne des limites infinies pour la valeur du reste, comme il le faut. Si les termes de la série sont de jgfandeur égale et de signes différents, la série n'exprime aucune quantité déterminée. Il ne reste donc que le cas où la valeur algébrique des termes de la série va en diminuant par termes ou par groupes de termes.

Si dans ce cas le théorème donne des limites finies pour la valeur du reste R„ qui suit un nombre fini de ternies, cela fait voir que la valeur de la série dans toute son étendue est finie , car i?„ exprime la sommo de tous les termes de la série à l'infini, qui suivent le /z""' après le premier. Donc aussi une partie quelconque de la série, à partir de son premier terme et allant même jusqu'à l'infini, aura une valeur finie, les termes ayant été supposés décroissants, ou par termes ou par groupes, et la partie ne pouvant être plus grande que le tout. La somme des termes qui précèdent le reste de la série aura donc toujours une valeur finie, même si l'on prend un nombre infini de termes. IMais la condition (n.) de l'exactitude du théorème veut que la somme des termes qui précèdent le reste soit finie; donc le théorème a également lieu pour la valeur du reste dans l'infini.

Yll. Si la plus grande et la plus petite valeur du premier terme du reste dans fiufini, prises (n -f 1) fois, sont zéro toutes les deux, le reste de la série, cpii suivant le théorème (V.) est compris entre ces deux limites, le sera également. Donc la série sera convergente dans ce cas.

\^IT. Piuscpie la série générale de Tavlor (78.) se réduit à la série particulière du même nom (91.) quand on fait a = 0 sous condition

de développement. l. 22. form. 114. et 115. 43

qu'aucuu coi'Tficieut difTéreutiel ni le reste ne soient infinis (§. 18. Y.) et que cette condition s'accorde avec celle de l'exactitude du théorème des limites du reste de la série ^('nérale, qu'aucun de ses termes ne doive être infiniment grand: le théorème aura lieu également pour la série particulière de Taylor et

la ^ aleur du reste de cette série qui suit nn nombre queIcon<iue n de ses termes sera toujours comprise entre la [tUis grande et la pUis petite valeur du premier terme du reste, pris (/2-f-l) fois, sous condition ([u'aucun coefficient différentiel ue soit infini ni imaginaire et que la série aille en décroissant. Si ces limites de la valeur du reste sont zéro dans l'infini, la série sera convergente.

Quant à la série générale de Taylor, il y a un cas particulier, où le théorème des limites de la valeur du reste trouvé ci-dessus, ou [ilutôt la série elle même, n'ont pas lieu si l'on prend à l'infini le reste et la série. C'est celui où toutes les différences AFx, A° F^r, .... sont égales entre elles et à la fonction Fœ, et alternativement positives et négatives. Nous verrous plus bas un exemple de ce cas en traitant des facultés analytiques.

Dans le cas d'exception la série (78.) donne

f;.+.) = f.(.i + '4^,=fl)-'2i^=lil). ...) + «.

Mais on a, comme on le verra plus bas dans le développement des puissances,

. l , k(f: — a) l(k — a^(ls—1c()

lie. 1 \- ., , — Tr-7-5 ■ . • • • ^ = (1 — 1

et (l — 1)" est zéro toutes les fois que — >0; donc 1 équation (114.) se

réduit ù

De sorte que l'évaluation du reste i?„ de la série par ses termes cesse d'avoir lieu dans l'infini, pui-sque la série, si on la continue à l'infini, nexiste plus.

Si Ion vouloit appliquer le théorème des limites du reste ^„ au eas actwel, en supposant n^x,, on trouveroit pour limites du reste la plus

4J 5. 22. fonn. 117. ///. Formules pc/u'iales

, 1 ,.,. MJc—a)(l-—'2a)....(k—na)j-

«i-aiule et la plus petite valeur que la quantité n— ^ ^^q:; J! x

peut avoir pour toutes les valeurs des élémens x et k depuis x jusqu'à

, , , - . ; • .\ f n/f • 1 .'i' fc(^' — «)''''' — 2œ) (k — net)

x-\-k et depuis k jusqu a zéro. Mais la quantité --^ ""^""-h >

comme on le verra plus bas, est zéro pour 72 = 00 toutes les fois que —

ou bien A-|>0; donc on trouveroit i?„ = 0 pour /z = ce et la série (114.) donneroit