F(x + A) = F^(l--i + ^l|=^^ ..) = (l l)^Fx

ce qui est évidemment faux. 3Iais l'application du théorème des limites du reste de la série n'a pas lieu ici, puisque la série qui précède le reste est zéro pour une valeur quelconque de a-, si A: est >0, de sorte qu'aucun terme pui pomait servir à l'évaluation du reste n'existe. On verra encore plus clairement la raison de cette exception dans la démonstration même du théorème des limites (§.21.). En eflPet une des conditions de l'exactitude de ce théorème, comme le fait voir (§. 21. III.), est, que (p{x-\-k,0) doit être zéro en supposant R„ = (p{x,k). Cette condition cesse d être satisfaite dans le cas actuel, car ici le reste R„ est la quantité F(x-\-k) elle même, qui n'est pas zéro en y mettant x -{- k au lieu de jr et 0 au lieu de k, mais plutôt invariablement F(x-\-k). La conclusion de (§.21. III) que (p(x-\-k,0) est nul puisque tous les termes qui précèdent le reste se détruisent en mettant 0 au lieu de k et x -\- k au lieu de X excepté le premier terme qui donne F(x-\-k), de sorte F(x-{-k)^ 2r(y j/.)-|iî et B„=^0, n'a pas non plus lieu ici, puisque la série elle même qui précède le reste est zéro et cesse d'exister.

Il est vrai que la somme de la série (114.) qui précède le reste

R„ n'est zéro qu'autant cpie -^>0 ou bien A>0 et non pas dans le cas où

k=iO et x = x-\-k, qui est un de ceux qui se présentent dans l'évaluation des limites du reste. Dans ce cas ou a (1 — 1)" = 1 et l'équation (114.) donne F(x -{- k) = F{x -\- k) -{■ R„. 3Iais cette dernière équation donne R„ =0. Donc le reste est nul dans ce cas, et cela s'accorde axée le théorème des limites; d'où l'on voit que ce théorème est loin d'être en défaut, même dans ce cas actuel. Il cesse seulement ici d'être généralement applicable.

de (leveloppviiieiil §. 2o. /onii. ilS. — 120. 45

La valeur du reste de la série est d i scout in ue dans ce cas. En effet réquatiim (114.) donne i?„ = F(.r4- A) pour une valeur (juelconque de A: plus grande que zéro, et M„=zO pour k = 0.

Bailleurs il n'y a (juuu seul cas, celui de la nouexistence de la série, ou bien de son indépendance des élémens a: et A-, où le théorème des limites du reste ne soit pas ai>plicable. Il l'est effectivement dans tout autre cas où les termes de la série qui précèdent le reste dépendent des élémens variables a: et k.

L'exception de la règle n"a pas même L'eu, si la série de développement n'est pas infinie mais plutôt finie ; dans ce cas la somme des termes (jui précèdent le reste n'est pas zéro, mais elle dépend de a; et k; donc le théorème des limites y est applicable. Si l'on ue prend qu'une partie dos termes de la série finie, le reste sera compris entre les limites du théori-me. Ces limites se réduisent par elles mêmes à zéro à la fin de la série. L'exception, comme nous l'avons dit, n'a donc lieu que dans le seul cas où les différences A Fa?, A'^Fx^ A^Fx, .... ont des valeurs égales et des signes alternativement différents, et où la série est infinie. Dans ce cas le développement même de la série n'a pas lieu, et par cette raison le théorème des limites n'a lieu non plus ni pour un nombre infini ni pour \\\\ nom!)re fini des termes.

Les limites de la valeur du reste de la série générale de Taylor trouvées (§. 21.) seront ordinairement assez éloignées l'une de l'autre^ surtout à cause du coefficient n-\-i dans l'expression {n-\-l)T„+^, lequel est infiniment grand pour « e= co. 3Iais il existe des limites beaucoup plus resserrées qu'on trouve comme suit. I. Xous avons w\ phis haut que