XIX. Dans le cas ^^0 on a toujours

XX. Soit en second lieu k = — 1 ou <^ — 1. Supposons k = — 1 — s, f étant positif ft au moins zéro. Substituant x= i-\-z et Z: = — 1 — s dans (155.) on a

— l^z'2-\-2z'3-\-3z""vt-{-mz'in-\-l-\-[m-{-l):

Ici le facteur ^, — , m étant assez considérable, sera <[1 quels que

Tn-\-mz

soient s et z, puisque mz pourra toujours surpasser s. Les facteurs

qui suivent -^V"^. seront encore plus petits et iront toujours en ditni-

nuant. Mais d'après la remarque (XIII.) un produit dun nombre infini de facteurs, chacun moindre que lunité, est déjà zéro. Donc le produit (163.) où les facteurs sont «< 1 et vont en diminuant le sera à plus forte raison si n = oo. Donc T^^^ sera également zéro dans le cas actuel et la série (152.) sera convergente.

Elle sera donc toujours convergente dans le quatrième cas.

XXI. En nous résumant, nous pourrons énoncer comme suit ce que nous venons de trouver sur la convergence de la série du binôme

Cette série, x étant réel, est cjonvergente pour une valeur finie et réelle fjuelconque de l'exposant A si a->- — 1 et < + 1. Si a: = — 1 elle est convergente si k^Q, et si x=-}- 1, elle l'est si /f> — 1. Si A^ = 0, on a (l-|-a:)'^ = l pour luie valeur quelconque de x. Lia série est divergente pour toute autre valeur réelle de x et k.

de dtveloppcincJil niix puissances. {. 27, tn

XXn. La roclierche de la convergence de la série du binôme présentée dans le paragraphe présont est celle qui a été annoncée dans le jiotit ménjoire cité an commencement de la note préliminaire du mémoir(» i>résont, car, connue on l'a vu, nous avons opéré immédiatement sur 1 expression générale du reste de la série. Cette recherche est celle c|ui étoit destinée à être exclusivement l'objet de ce mémoire et «pii l'a occasionné.

On peut voir d'ailleurs par la recherche du paragraphe présent et par celle du mémoire cité, combien la théorie ordinaire du binôme, quoi- (jue objet très élémentaire et traité souvent, est incomplète. Même on trouve présenté le théorème du binôme sans la moindre notice sur la convergence de la série qui elle même u est pas démontrée H'^oureusement i>our une valeur quelcon<pie de l'exposant, et pourtant la série n'est boime à rien dans les cas où elle n'est pas convergente.

Nous avons vu (§. 25.) que la série (144.) embrasse de l'expression générale dune puissance développée en série (142.) tous les cas que présentent les différentes valeurs de la quantité arbitraire a, excepté le seul cas a = 0. Mais, comme îl est aisé de voir, on tire également la série (144.) de celle (142.) en supposant « = 1. Donc tous les cas de 1 expression (142.) auxfjuels donnent lieu les différentes valeurs de a. peuvent être en\isagés comme réduits à deux seulement, savoir au cas « = 1 et au cas a = 0. Le premier embrasse tous les cas correspondants aux diirérentes valeurs fmies quelconques de a. Le second cas subsiste isolément. Nous avons fait dans le paragraphe précédent la rechei-che de la convergence de la série générale (142.) dans le premier cas, où elle se réduit à la série (144.) et doime la formule du binê>me. Il nous reste <!onc à faire cette recherche pour le cas C4 = 0. Dans ce cas la série générale (142.) nous donnera les quantités dites exponentielles et les logarithmes. Nous commencerons par le développement même dune puissance en série, sous condition que la quantité arbitraire « du dé\eloppement général des fonctions doit être supposée zéro.

I. Comme la série particulière de Taylor (01.) est consacrée essentiolloment au cas où dans la série générale de Taylor (78.) la quantité « est zéro, nous partirons de cette série particulière. En effet

il 2

§. 27. fonn. 165. et 166.

ly. ^ppliculion des formules générales

dans lo développement général de la série (91.) on a eii déjà és^ard nnx conditions particulières de sou existence; et si, dans lui cas d'application, au lieu de partir de la série particulière de Taylor (91.) ou vouloit partir de la série générale (78.), il faudroit qu'on répétât dans le développement particulier ce qu'on a fait dans le développement général. Or par cette raison il vaut mieux de se servir de la série particulière (78.) dans les cas semblables au cas actuel. Cette série, quoique n'étant qu'un cas particulier de la série générale (78.), est particulièrement propre aux cas où dans la série générale (78.) la quantité arbitraire a. doit être supposée zéro»