r— 1 = 0 pour /! = X., a fiant >1 et

g2 §. 27. jorm. 174. — 177. IT'. application des formules ^enèiate^

V. Nous venons donc de trouver que des deux facteurs lû et ^"°~" j du coefficient différentiel 5" /y (167.) le premier li^ n'est pas

j , u étant > 1 et <^ 2, ne l'est pas non plus pour

« = 0 et pour aucune valeur de n , mais au contraire (pi'il est zéro pour « = oc. Donc les conditions de lexistence de la série ( 166.) seront satisfaites et la série aura lieu dabord pour toutes le valeurs de ii entre 1 et 2 et pour luie valeur quelconque de k.

VI. IMais on peut faire voir que la série (166.) aura lieu également pour une valeur quelconque réelle et positive de u. En effet la série (166.) ayant lieu pour inie valeur quelconque de /c, on peut écrire /// k au lieu de k ot m y au lieu de y oii /« est tout ce qu'on voudra. La série subsistera encore et on aura

1/4. „->+'"^ = „"" + m k (''^) u"'y + '-^ ('-^Tp^)' ""^ • • • •

. sTâr::;; \~ir) " • + ij:3::.T7; ' \ — ^l — ) '

« étant toujours entre 1 et 2. Cela posé, mettons également mk au lieu lie /.' dans la série (145.) qui a lieu sans aucune condition, elle nous donnera, «"'^ étant = (w'")*

1/5. (j/"'j*'=rl + 7(i7v(i(-ll t ;- [ii-l)^....+ -— ^ ("-1; •

l>e. là on tire

k L J ZtO J .o . . . . n J

et si l'on fait k = 0,

176. ^J!^!^—^ = ,„[(„l)|(«-l)^-f-i(„l,\...+-i(M-l)\...]. Mais la série (145.) elle même donne

et pour k = 0