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et il lie s'agit que de voir si la valeur absolue de cette quantité est zéro ou non pour /? = -o, K étant une (|uantité finie quelcontjue.
VII. Supposons la valeur absolue de A plus grande que le nombre entier y. et plus petite que ^ + 1. Puis mettons T„^^ dans la forme
joo r - J ^: i ^- ^
^ 2.3 — n f<+t ," + 2 fi-\-S n-\-i
On voit cjtie dans cette expression le premier facteur Tj-^r est
•C , o . , , . te
toujours une quantité finie. Le second facteur -^rj, K ayant été supposé plus petit que /"+ 1, est <!. Les autres facteurs qui suivent sont encore plus petits. Donc T^+, n'est pas plus grand que ^:^- . (-!,)
Mais . ■ étant <[ 1, cette quantité peut être supposée = i^x", où z est
positif; donc T.+i uest pas |)Ius grand que :^ . „..,,. Mais en
vertu de ce fpji a été démontré (§. 26. XIV et X^TI.) ^^^^ est zéro
pour « = x;. Donc aussi J1.+,, le facteur ^^-^ de cette quantité étant
fini, n'est pas plus grand que zéro pour « =: 5c. Cest-A-dire T„^^ est zéro i>OHr /z = ?c, A, ou bien k et u, ayant des valeurs quelconques.
Donc la série (183.) ou bien celle (180.) est convergente dans tous les cas où y et k ont des valeiu*s réelles quelcou([ues et u une valeur réelle positive quelconque.
Voyons ce que nous donne d'ailleurs la série (183.) dont nous venons d'examiner l'existence et la convergence.
I. Nous avons vu ( §. 27. IV. ) que si u est entre 1 et 2, la qiian-
tité — ô~ ^st 6°*^''6 ^^ et 1, et (§. 27. VI. 178.) que ^^ — ^^ = '^ — a— j où
rn peut être tout ce qu'on voudra. De là on voit qu'en donnant à m une
valeur convenable, on peut faire '"•— ^ — = !• Donc aussi ^^ — Y) P^"*
être = t poiu* luie valeiir convenable de ù'", on bien de u, en écrivant simj)Ioment u au lieu de u'^. Soit e la valeur encore inconnue de u pour
66 ï- 29. fonn. 189. — 193. iK. Api>U(jation des, J'uimules ^c'ncralci
laquelle ^^-^^-=1, la série (183.) donne dans ce cas 189. c*= l + Ar + ^ + ,^-^+,^-^T-7 .... +
Par cette série même on trouve sur le champ la valeur de e si l'on fait ^ = 1, savoir
