log(l+-r

log V

On sait que les séries peu convergentes (210.) et (211.) qui donnent !e logarithme de î -j- x peuvent être rendues plus convergentes de diiiérentes manières; mais nous ne nous y arrêterons pas.

Dans ce qui précède la quantité z de 1 expression u>= s a été exprimée par y et u de deux manières différentes, savoir par les séries (145. et 207.). Ces deux séries différentes, exprimant une seule et même quantité , viennent des deux valeurs « = 1 et a = G que peut avoir la quantité arbitraire « dans le développement général des fonctions (78.). De plus la quantité y de l'expression u^ = z a été exi)rimée en « et c par la série (211.) v étant le logarithme de z pour la base u. Dans la série (211.) 1 -\- x et i) prennent la place de z et u. Donc, des trois problèmes (135.) qui se i)résentent dans le développement des puissances, il ne reste que le troisième, savoir d exprimer, u par y et z. Mai* la solution de ce problème n exige pas de nouveau développement. De u^ = z

df développement t/.'Jr puta^ancea. h. 31. fornx. 212. 71

OU tire ù = r' (10.), de sorto fjiio u peut être exprimé en s et j- au mo ven des séries (145. et 207.).

Il y a encore ù remarquer que les ex[)ressious des puissances (jne nous venons de présenter n'en donnent quime seule valeur. Pour avoir les autres, sil j- eu a, il n'y a suivant (§. 9.) «luà multiplier les expressions par la puissance de l'unité qui a le même exposant.

Maintenant nous venons aux fonctions anj^ulaires (jui particulièrement se rapportent aux puissances ù exposaus imaginaires. Kous en donnerons le développement en faisant voir en même tems qu'il peut être exécuté à l'aide du développement général seul sans avoir recours aux considérations géométriques ni à d'autres considérations étrangères à l'objet.