V. Application de la série générale de développement

aux fonctions angulaires.

n n'y a d'autre condition de l'existence de la série particulière de Taylor (91.) que celle qu'aucun des coéfficiens dilTérontiels qui y entrent ne doit être infini ; la quantité k de laquelle varie la variable X peut être tout ce qu'on voudra, réelle ou imaginaire, ou même infinie (à voir §. 18.). Donc aussi les séries que donne la série particulière de Taylor, si on l'applique aux puissances, par ex. les séries (145. 180. 189.) auront lieu pour une valeur quelconque de A:, réelle ou imaginaire (à voir §. 27. YI.). Ce n'est pas l'existence des séries, c'est le thécjrènie général (§. 21.) de la convergence des séries tirées du développement général, qui exige que toutes les quantités qui entrent dans ces séries soient réelles, si f on en vent juger la convergence.

Donc par ex. la série (189.) a lieu pour une valeur quelconque de A-, même imaginaire et infiuie, et si l'on fait h-=.±xyf — 1= +/x, /" — 1 étant supposé = /, on a généralement

212. ^" — 1 — 2 +2..i.4 :^.3....0-*"-2.3....2/2*- -'\^ 2. cJ ''",'.3.4.5 2.3.... 7 -2.3....(2«-f-l)

yn S 32. Jorni. 21o. -^ ~16. f'^. Applicalion de la Si'rie gene'iate

pour une valeur quelconque de .r. Mais le théorème de la convergence (S. 21.) ne peut être appliqué à cette série, puisqu'il exige la réalité de toutes les quantités.

La série (212.) nest pas d'ailleurs moins générale que si au lieu de la base € du système de logarithmes naturels on met uue quantité quelconque it , comme dans ( 207. ) , car u^'"" étant = f ±™^ si u = e", il n'y a qu'à écrire m x au lieu de x pour avoir également lexpression de u-" par la voie de la série (212.).

Il s'a<Mt maintenant de chercher les propriétés de lexpression (212.).

1. Désignons la partie réelle de cette expression par cosoc et la partie imaginaire par /sinx, de sorte que