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Nous invitons le lecteur à vouloir hieu mettre ici à coté les idées (hi cercle et des lignes géométriques qu'on a coutume d attacher aux mots cos et sin. Nous aurions choisi quelques a^itres signes pour les valeurs de séries (213. et 214.) si ou avoit eu à craindre qu'on ne fît pas attention à l'invitation que nous venons de faire. Il ne s'agit ici (jue des expressions purement analytiques, et si ces expressions donnent en même Icms les valeurs de certaines quantités géométi-icjues , c'est à la géométrie et non pas à l'analyse de faire voir cela. Nous sommes absolimient indiliérents à ce que signifient les séries (213. et 214.) en géométrie. II seroit évidemment contraire à une bonne méthode de mêler la géométrie à ! analyse. La géométrie peut avoir besohi de 1 analyse, mais elle ne peut jamais la précéder ni s y mêler.

II. La somme de deux termes consécutifs de la série (213.) est

et la somme de deux termes consécutifs de la série (214.)

Sn+i

de développement aux /onctions angulaires. §. 32, 73

Puisque X a été supposé réel, x* et toujours positif, comme n. Donc le facteur (2« + l)(2/z + 2) — jf" de l'expression (215.) est positif si 2/2+ 1 = ou >jr, et le facteur (2/z + 2)(2« + 3) — x* de l'expression (216.) lest si 2/2-j-2= ou "^x. Donc dans ces cas la somme de deux termes consécutifs dans les deux séries (213. et 214.) prend le si<;ne de son premier terme. Mais les termes des séries (213. et 214.) ont alternati\ement les mêmes signes et les exposans de x vont en croissant ; donc tous les couples de termes qui suivent ceux (215. et 216.) ont les mêmes

siçnes. Donc aussi la somme de tous les termes dos celui —5 — — dans (213.) et dès celui . ^ ^ dans (214.), a: étant respectivement = ou <C 2/2 -f-1

et = ou <; 2 /2 -j- 2 , ont les mêmes signes que ces premiers termes euxmêmes. C'est-à-dire les restes des séries (213. et 214.)/?,„j et ^j^, ont les mêmes signes que leurs premiers termes dès 2/i-j-l=ou>a: dans (213.) et dès 2/2 + 2= ou ^x dans (214.)

ni. Donc si l'on continue les séries jusqu'à queltpie terme positif dont l'exposant soit assez élevé pour donner 2/2+1= ou >j? dans la première et 2/2 + 2^ ou >jr dans la seconde, les sommes de ces parties des séries seront nécessairement plus petites que les sommes des séries prises dans toute leur étendue, les restes étant positifs. Mais si on réunit encore les premiers termes des restes aux sommes des par-f lies détachées des séries, de sorte que maintenant les premiers termes des restes soient négatifs, les signes des termes allant toujours eu alternant les sommes des parties détachées des séries seront nécessairement plus grandes que celles des séries entières, les nouveaux restes étant négatifs.

Si au contraire on continue d'abord les séries jusqu'à quelque terme négatif d'un exposant assez élevé pour donner 2/2+ 1 = ou ]]>^ dans la première et 1n-\-1 ■=. ou > jr dans la seconde , les sommes de ces parties des séries seront, par des raisons semblables, plus grandes que les sommes des séries prises dans toute leur étendue, et plus petites si l'on réunit encore aux parties détachées des séries les premiers termes des restes.

Donc les sommes des séries (213. et 214.) seront comprises dans tous les cas entre celles des termes ir.ii précèdent les restes R„, , et B. X étant respectivement =; ou -<2/2+l et = ou «<2/2 + 2, et celles des

74 §. 32. fonn. 217. — 220. F", application de la Strie gcncralc

mêmes termes réimis aux premiers termes des restes. Donc zéro et les râleurs des premiers termes des restes seront des limites pour les valeurs des restes, cest-à-dire

217. ^2n-2 tlans (213.) sera entre 0 et +;^ô —^ 2^+1 étant = ou >.r, et

218. R.n-i dans (214.) sera entre Oet+ ^ , 2/2+2 étant =: ou>..r.

Les valeurs des restes des séries (213. et 214.) seront donc comprises entre celles des valeurs de leurs premiers termes qui correspondent aux plus grandes et plus petites valeurs de x depuis zéro jusqu'à x. Donc le théorème général sur la convergence des séries a lieu également ici.

IV. Si /2 := 00 les quantités + j— ^ ?r— et + — -r; — --r — i— — , eu vertu

^ 2.6 zn — 2.0 (2«-l-lr

de ce qui a été démontré (§. 28. VI.), seront zéro; donc dans ce cas les limites des valeurs des restes (217. et 218.) sont zéro toutes les deux. Donc les restes eux mêmes seront nuls. Et puisque 2/2-j-l et 2« + 2 peuvent être toujours plus grands que x, quelque grande que soit cette quantité, ou voit que les séries (213. et 214.) seront toujours convergentes pour une valeur quelconque de x.

V. Si x<il ou = 1, les expressions des restes (217. 218.) seront déjà applicables aux séries (213. 214.) dès leurs premiers termes, puisque dans ce cas 2n-\-l et 2n-}-2 = ou'^x même pour n = 0. Elles le seront à plus forte raison si des séries on prend plus d'un terme. Donc, X étant supposé = 1 , on trouve que

219. cos lest entre 1 et 0, entre 1 etl— 1=:|, entre l—f= Jet 1— ï+i:r5 = || etc.

220. sinl eutreOetl, eutreletl-5^=^,entre 1-^ = 1-61 l-J^ + 5;^=||ietc.

"VI. Les expressions (217. et 218.) des limites des restes des séries (213. et 214.) font voir à la vérité que ces limites varient suivant la loi de continuité avec x eu même tems; mais il n'est pas démontré par là que les restes eux-mêmes varient suivant cette même loi; et encore moins que tandis q»ie par ex. x augmente, les restes augmentent également; il se pourroit au contraire qu'ils allassent alternativement en croissant et en diminuant. En effet il seroit possible que l'augmentation des termes dont les signes sont égaux l'emportât alternativement

de deietointement aux fonctions angulaires. \. 32. form. 221. — 226. 75

sur colle des teruies à signes opposés. Il nous ini[»orte, comme ou le verra par la suite, de décider cette «|uestion.

Si ^ exprime un nombre fractionnaire ou irrationnel quelconcpie, positif et plus petit (pie x, deux valeurs successives de x, si cette quantité va en augmentant, pourront être représentées par Kx et x. Cela posé, la variation de la somme de deux termes consécutifs de la série (213.) sera

= ., ., "^r, , ^.f(2/.H-l)(2»+2)(t-r)-ar'(l-;."'+')) Z.o {Zn-\-Z)

et celle de la somme de deux termes consécutifs de la série (214.)

222 V — (-l—A^+'i - fl J"'+^\

Supposons dans (221.) 1— a"+"-<^(I— O- Cela donne 1— Â="+ A"'(l— A*) <;A'(1 — A'"; et en divisant par 1 — À", comme cela est permis, 1 — A*"

étant positif, l + X'" ~-^<Ck, ou bien