u„Y = ululu].. . .ul

Voilà lui cinquième théorème tiré des écjuations fondamentales. Il fait voir que la puissance d'un produit des fonctions est égal au produit des puissances des facteurs prises avec le même exposant.

Si dans lérjiiation (12.) on écrit s" au lieu de z, elle donne (uz''Y = u^{z")'', ou bien, parcequ'en vertu de la seconde équation fondamentale (4.) (s")* = x;''*, (uz"y' = u^z''^. Si dans cette équation on fait /i = — 1 on a (uc~')^=: u*s~*. Mais en vertu de l'équation (8.) =~' = —

et 5"* = — , donc on a comme corollaire

Si u et z représentent des produits de facteurs quelconrjues, de sorte que u=:.u^u^Uj^.. ..u^ et zz= z.z^z^. . . .z„, l'équation ( 14. ) donne

— — ^—^ ) = --^^ — ■ ^;-4- , donc en vertu de (13.)

Z^ Z2 Z:i , . , . z„ y (îi Z^Zi , . , . z„)

g §. 5. form. 16. — 18. /, Difjînition et

VI. Si dans la première équation fondamentale (3.) les exposans vetk sont tous les deux égaux à Tunité, l'équatiou donne u'. u^ = u'+' = u*, ou bien, u* étant =m (7.) u^=iu,u. Si dans l'équation (3.) on fait y— ï2, A^ = lj elle donne u'^u^=u^, ou bien, u* étant =u.u et o'=u, u^=.u.u,u etc. Généralement, n étant un nombre entier, on aura 16, w" î= « . w ...... (« facteiu-s).

Ce sixième théorème, tiré des équations fondamentales, fait voir quune puissance à exposant entier n'est autre chose que le produit d'autant de facteurs égaux à la racine de la puissance qu'il y a d'unités dans l'exposant. Mais il n'y a cpie le seul cas d'exposant entier dans lequel une puissance puisse être représentée par un produit des facteurs. Si l'exposant n'est pas un nombre entier, la décomposition de la puissance eu facteurs, comme il est aisé de voir, n'a pas lieu. C'est donc aussi le seul cas d'exposant entier où la définition que les puissances soient des produits de facteurs, ne soit pas en défaut.

Soit dans l'équation (12.) ^=1, elle donne («.1)* = ?/. 1^ ou bien, «.1 étant «,

Divisant cette équation par u*, on aura