ir

Mais la valeur de 1^ n'est pas bornée ù être toujours l'unité; car si par g^^ A: = i , de sorte qu'en vertu de la première équation fondamentale |i!^ 1^ := 1*. lî r= r = 1 , la quantité 1* a les deux valeurs di/Férentes +1 et —1, puisque les produits +1.4-1 et — 1. — 1 sont également =1 tous les deux. Si A: = i , de sorte que 1*. 1*. 1* = 1^ 1'. 1* = 1 ' = 1 , la

quantité 1* a trois valeurs différentes, savoir + 1, ^ et ,, ,

comme on le peut faire voir à l'aide de l'addition et de la multiplication seulement. Ces trois valeurs multipliées chacune deux fois par elle même donnent également l'unité pour produit; et ainsi de suite.

Il suit de cette remarcjue, que la quantité u^ peut avoir également plus dune valeur; car si cela n'étoit pas, la valeur de 1^, en vertu de léquation (18.) ne pourrait être que l'unité dans tous les cas: résultat contraire à ce que nous venons de trouver.

propriétés des puissances. J. 5. form. 19. Q

Noxis ne disons pas que 1* et «* auront toujours et nécessairement plus d'une valeur; nous faisons voir seulement qu'ils peuvent en avoir plus d'une, et cela suffit pour notre but.

Cela posé, soient f^ , v^, f 3 , .... les différentes valeurs que la

quantité u* peut avoir, le quotient -j- représentera les quotiens suivants:

rx' tx' Vi' ' '•.' t'a' v^' ' ",' V,' v,> ' ®'^*

Nous dirons maintenant en premier lieu, que le nombre des valeurs de 1* ne peut être moindre que celui des valeurs de «*, car, supposé <pie u* ait les n valeurs différentes v^ , v^ , v^ , .... v„ , les n quotiens

— , —, ^, .... — parmi ceux (19.) qui tous, en vertu de l'équation (18.)

égalent 1*, donnent déjà n valeurs différentes pour cette dernière quantité.

Nous dirons en second lieu, que le nombre des valeurs de 1^ ne peut être plus grand que celui des valeurs de w*; car supposons, comme ci -dessus, pour u^ les n valeurs différentes v^, v^^ Vj, .... t'„ et pour 1* les m valeurs 1,, Ij, I3, .... 1„, m s'il est possible étant plus grand que n, les m produits fj.!,, l'i.!»? "^l'^ii •••• ^l'^m parmi tous ceux qui en vertu de l'équation (17.) égalent u^y présenteroient déjà plus de valeurs que cette quantité ne doit en avoir suivant l'hypothèse.

Donc 1* ne peut avoir ni moins ni plus de valeurs que u^j donc le nombre des valeiu-s de l'^ est égal à celui des valeurs de u^.

Mais la même chose a3'ant lieu pour une valeur cpjelconque de la base, le nombre des valeurs de u* étant toujours égal à celui des valeurs de 1* c'est à dire à un même nombre pour une valeur quelconque de u, il suit de là que le nombre des valeurs différentes qu'une puissance peut avoir, ne peut dépendre de la valeur de la base. Mais, excepté la base, il n'existe pas d'autre quantité dans une puissance tpie l'exposant; il faut donc que le nombre des valeurs différentes qu'une puissance peut avoir, dépende nécessairement de l'exposant seul. Et en vertu de ce que nous avons démontré ci -dessus, ce nombre sera égal à celui des valeurs de 1*.

Au reste, ré(|uation (17.) fait voir que les différentes valau-s que la puissance «* peut avoir, pourront être exprimées toutes par u*. 1*. Dans cette eNpression le facteur u^ représente également toute valeur que cette quantité peut avoir. Si donc 1 ou adopte la notation |//1* pour exprimer

10 §. 6. form. 20. — 22. I. Définition et

une valeur déterminée quelconque parmî celles qui conviennent ù la quantité u\ ou peut écrire

20. lwp= M*i* cil |«P représente indifféremment lune ou l'autre valeur de u*.

La seconde équation fondamentale (4.) donne pour « = 1 , j = «,

Si n est im nombre entier positif, la pinssance 1", en vertu de (§.4. VI.), est un produit de n facteurs égaux entre eux et à l'unité. La valeur de ce produit est toujours 1 , suivant la théorie de la multiplication, quel que soit n. C'est à dire 1" est toujours 1, n étant un nombre entier positif. Si « est un nombre entier négatif, la valeur de 1" est encore 1 pour ime valeur quelconque de «, puisque eu vertu de l'équation (8.) 1-" = "4 . Si n = 0, 1" ne cesse d'être 1 , car en vertu de l'équation (7.) on a 1"= 1. Donc si n est un nombre entier positif ou négatif, ou bien zéro, V est toujours 1 pour un valeur quelconque de n.

En substituant cette valeur de V dans l'équation (21.) on a

Supposons maintenant le cas où 1^ a plus d'une valeur, on voit que toutes les valeurs des puissances (1*)°, (1*)', (1*)% .... (lO"', (1')"', • • • • ne seront pas nécessairement égales mais au contraire elles seront différentes entre elles, car il n'y a que l'unité qui, multipliée un nombre quelconque de fois par lui même, donne toujours la même quantité. Mais n étant arbiti-aire dans l'équation (22.), sous la seule condition d'être un nombre entier,'rexpression(l*)" représentera toutes les quantités (1*)° = 1, 1\ iM*,

1*.1M*, .... ^, p^, jiyjrp .... en même tems. Elle aura donc nécessairement plusieurs valeurs différentes. 3Iais ces valeurs seront précisément celles que 1* peut avoir, puisque cette quantité, en vertu de l'équation (22.), s'exprime par (1^)".

On voit par là que les diff^érentes valeurs que 1* peut avoir, ont la propriété qu'on les trouve, quand on miJtiplie, ou divise continuellement par elle même, une d'entre elles quelcouffue qui ne soit pas l'unité elle même, comme l'est par exemple celle (1*)".

proprietis des puissances. 5- ^' form. 23. — 25. 1 1

Si donc «i une des difR-rentes valeurs quelconque de 1^ qui ne soit pas 1, ces diilérentes valeurs seront

Parmi ces valeurs il se trouve nécessairement celle ct.\ = 1, puisque n peut être également zéro, quel que soit n. Les autres seront dillérentes entre elles et de 1.

Mais toutes les valeurs de 1* ne sont différentes entre elles, que dans le cas où n k ne peut être un nombre entier positif ou négatif, quel que soit n. Car si kn étoit entier on auroit (1*)% c'est à dire i^"=\.

Si k est une fraction dont le dénominateiur est m par ex. k = -j- on m

et K signifient des nombres entiers, la puissauce T naura que K valeurs (liiFérentes, savoir les valeurs

Car la valeur («OS fpù suit la dernière («a)'"' nest autre chose que

(1*)^= (f) = 1""= 1, c'est à dire la première des valeurs (24.). Donc les valeurs («0'+' = («^y- («a)', («*)'+'= («a^ («i)% • ••• ff" suivent ceUe-ci égalent de nouveau les valeurs («0', («0^ etc. et la même série des va-

leurs (24.) recommence toujours. Les valeurs («i)""', («<)~* • • • • de («j)^ se trouveront également parmi celles de la série (24.), car soient ^ et y des nombres entiers arbiti-aires et v<C/*^j on a («i)"^'= ((«*)')''= 1"= 1

donc(ajir% ou bien 7^(8.) = fe >" = («*) "^~''' Ici l'exposant liK — v est, nu nombre entier positif puisqu'on a supposé vKifJi'h; donc (aj)" "*", c'est à dire («O""? est une des quantités de la série (24.). Donc la puissance 1^ na que K valeiu*s différentes entre elles dans le cas dont il s'agit.

Si, pour abréger, on écrit « au lieu de «j ou de «« , on a « = 1

ou bien a*— 1 = 0. Puisf]iiici A est un nombre entier, la quantité a} — i est (L\nsible par a. — 1 et Ion trouve