n-\-2) 2.0 (2«-|-oJ

tiens de la somme de deux termes consécutifs des séries (213. 214) présentées (221. 222.). Donc ces variations auront nécessairement les mè-

mes signes que les quantités 7^—5 — 7-^ et 7— r; ;-; — t-^t-, ou bien

que les premiers des deux termes choisis. Et puisqu'il en est de même, et successivement toujours à plus forte raison, de tous les couples de termes qui suivent, et que les premiers termes de ce couples ont tous les mêmes signes, on voit que les sommes des variations de tous les termes des séries, dès les premiers termes des restes, auront les mêmes signes que ces premiers termes eux mêmes, c'est-à-dire que les variations des restes des séries auront les mêmes signes que celles de leurs premiers termes. Donc les valeurs absolues des restes des séries augmentent suivant la loi de continuité si les valeurs absolues de leurs premiers termes vont en croissant, et elles diminuent si les premiers termes vont en diminuant, sous condition que dans (213.) x soit <^n-\-let dans (214.) a: = ou <Cn-\-i. Sous cette condition le théorème aura lieu respectivement pour toutes les valeurs de n depuis 1 et depuis 0 jusqu'à l'infini.

\TI. Si X est <; ou = 1 on a a:<C« + 1 pour n = 1. Donc le théorème 01') sera applicable dans ce cas aux deux séries dès leurs premiers

de développement aux fonctions angulaires. §, 33. form, 229. — 234, 77

termes. On voit donc que la diminution de ces a; va en croissant avec

X en m^'iue tems depuis a? = 0 jusqu'à x = i, le second tonne — ^^ '^ série (213.) étant négatif. Donc si x augmente depuis 0 jusqu'à 1, le cosinus diminue depuis 1 jusqu'à une certaine quantité qui suivant (219.) est entre 1 et î|. Le sinus va en croissant avec x en même tems, son premier terme étant positif. Si ic augmente depuis 0 jusqu'à 1, le sinus augmente depuis 0 jusquà une certaine quantité qui suivant (220.) est entre I- et -jî^' D'ailleurs les variations du cosinus et du sinus, dont il sagit, ont lieu en môme tems avec celles de a*, suivant la loi de continuité.

Ayant trouvé les propriétés principales des séries (213. et 214.): voyons ce qu'on en peut tirer d'ailleurs.

I. En premier lieu il y a à observer que, puisque les séries (213. et 214.) ne donnent qu'une seule valeur de la quantité £-""(212,), il faut pour avoir les autres valeurs, multiplier par 1-'-'^ les quantités à droite dans (212.). De là on tire les expressions complètes de e-"' savoir