cos X + i sin x)'" = (cosmx ±is'mmx)l

Si dans (259.) on met y au lieu de x et qu'on multiplie le résultat [lar l'expression primitive, on trouve

264. e±'C-v+.'î = l-^*''">'(cusar + isIna-)(cos7+isiDy), Si au contraire on met x-\-y' au lieu de x dans (259.) on a

265. e±''^-^+>) = 1±''^^+'^ ^ (cos (ac -\-r) ±i sin (a'-\-r) . En égalant les deux expressions (264. et 265.) on a généralement

266. (cosJrii sinx) (cosj>'+ i sini) =: cos x-|-y) + i sin (a:-|-;)').

Maintenant si dans (263.) on substitue la \aleur de 1 (262.) on trouve

267. [co&sc^i shi or)'" =: (cosmx ^i &\iimjc)(çii^'2 ni rj n ^i &in'2mn n)

et .si à la partie droite de cotte équation on ai)[)li(|ue celle (266.), on a

268. (rosa:: + jsina?)'" = cosm x-\-'2nTi) +i sinm ix-{-2n7r.) ou niauiîeiiant la pluralité des valeurs est observée des deux côtés.

de développement aux fonctions angulaires. §. 36. form. 269. — 273. 83

On auroit eu précisément le mc'mc résultat en substituant x-\-1n'R au lieu tlo X dans (261.). Cette substitution auroit été permise puistju'en vertu (le (257. et 258.) cos (x + 2 « tt) = cos a- et siu (x -|- 2 /2 -tt) ^ siu x, de sorte (jue la substitution faite, les quantités à gauche conservent encore la même valeur.

III. Eu néglij;eant la pluralité des ^•aleurs des puissances on peut tomber dans plusieurs contradictions. Pares. cos(x+2/2'7r) et %m.{x-\-1m{) a\ant les mêmes Aaleurs que cosx et sinx, les équations (229. 230.) peu- \ent être écrites comme suit

2G9. e-'" = l±'*(cos(x + 2nfi)+isin(x+2/i.T)).

Si de cette expression on prend la /w"" puissance on a

270. e-'^= l-""'(cos(x+2n.'T)+ isin(x+2/i;r))'" et cela en vertu de (261.) est la même chose que

271. e^'""" = 1-"" (cos m (x+ 2 « rr) + i sin m (x + 2 n «)). Mais si au lieu de cela on écrit mx au lieu de x dans (269.) on a