e-""^ r= 1-""" {cos(mJC-{-2n7T)±isiu[mx-\-2nny

Donc en égalant les expressions (271. et 272.) de la quantité é^'""", on trouve

273. cos(7nx-)-2m7i;i) + isin(7nx-|-2inn--i) = cos(jnx-\-2nsz)+isia{mx-i-2n}t), équation évidemment contradictoire.

La contradiction vient de ce que la quantité cos //2 (x + 2 /z w) + /sin/w(x-j-2/2 7r) dans (271.) qui est celle ù gauche dans (273.) exprime toutes les valeurs diUéreutes de la quantité (cos(x+2/2'7r)± /sin(x-)-2/27r))"' (270.) (|u"elle représente, ou bien de celle (cosx± isinx)" qui lui est égale, tandis qu au contraire la quantité cos (/// x -j- 2 n w) + ; sin (ttî x + 2 /z tt) dans (272.) qui est celle à droite dans (273.) n'exprime qu'une seide valeur. Veut -on que la dernière représente également toutes les valeurs différentes qui existent, on la multipliera par 1"" = cos2/72n'7r + /sin2m/2 7r (262). Cette opération faite, les expressions (271. 272.), s'accorderont comme il est aisé de voir à l'aide de l'équation (266.), 2«7r dans (272.) pouvant être supprimé sans changer la valeur de lexpression,

IV. Dans le cas x = 2/27r les expressions (229. 230.), savoir e^"= l-"(cosx + /sînx) présentent une difficulté particulière. Car dans ce cas ou a cosx= co8 2 «tt = 1 et sinx = sin2/2'7r = 0, donc les ex-

34 5. 36, form. 274. — 277. V. Application de la série géncrah

pressions citées se réduisent à

et cette expression à la première vue semble être contradictoire, car en prenant les puissances +2/«7r'"" de deux côtés on trouve

et cela est évidemment faux. Cette difficulté pourra, à ce cpril semble, être détruite également eu faisant attention à la pluralité des valeurs.

En effet les expressions e--""^ et li"""^ ont la propriété de présenter, au moyen du nombre arbitraire n qui y entre, toutes les valeurs que peuvent avoir les quantités e-'"^ et 1-°'"^, car le facteur cosar + zsinx de l'expression générale (229. 230.), si Ton y fait a: = 2/2 7r, est toujours 1 pour une valeur quelconcpie de n. I^ïais suivant la règle générale on a les valeurs différentes d'une puissance, en midtipliant une quelconque de ses valeurs, par ex. la valeur réelle, s'il y en a, par la puissance de l'unité, qui a pour exposant celui de la puissance même. Ici les quantités ^+2W7t gj '^±2in7t Qjj^ effectivement une valeur réelle, savoir celle qui correspond à la valeur zéro de n. Elle est e°=l''=l. Donc on peut, ou plutôt il faut exprimer e±^""^ et 1±''"'' par e°. 1±='" = 1 . li""^ et par IM^""^ = 1 . 1^"'% de sorte que l'équation (274.), en ayant égard ù la pluralité des valeurs, ne veut dire autre chose que

et cette équation identique n'implique point de contradiction.

Voyons maintenant d'où peut venir l'erreur qu'offre l'équation (275.) qui exprime la ±'2in'n""' puissance de l'expression (274.) ou (276.). L'équation (274.), dans la forme où elle est, n'exprime qu'une seule valeur des quantités à droite et à gauche, savoir celle qui convient à n = 0. Si l'on veut qu'elle domie toutes les valeurs différentes, qui ont lieu, il lui faut donner la forme (276.). Mais elle laise indéterminées les autres valeurs dans cette forme, puisqu'elle est identique. Ces autres valeurs viennent au jour en prenant la puissance +2z/2'7r. Même l'équation (275.) n'est pas fautive dans le cas « = 0. Elle ne l'est que pour les autres valeurs de n et la raison en est, fpi'elle n'exprime pas complètement toutes les valeurs qui existent. En effet on ne peut pas dire que

tie développement aux fonctions angulaires. §. 36. form. 278. — 285. 85

mais au contraire ou a

C'est ce «pion voit par l'équation (276.) qui 1 étant originairement = e", «lonue 1 . 1^*^" = e°. 1±"" = e^^" , et éj^aiement par les expressions (229. 230.) qui, cosj? + /sinj7 étant 1, si l'on fait x = 2n'K, donnent également e±3".-r. i±î'"i^ Dqjjp jjj, jjgj, jg ^274.) il faut écrire (278.). Si de cette expression on prend la puissance ±2/«7r, ou plus généralement la puissance ±2iv'7r, on trouve

•>TQ g—tnyn- __ 1— 47ir.-t» |+SiVrt

et cette expression, comme nous le verrons tout à Them-e, n'est pas con» tiadictoire, si l'on a égard aux valeurs diiFérentes de n et v.

En effet l'expression (262.), ajant lieu pour une valeur quelconque de m, donne, en faisant m = ±2ivTr,