i^"--=i-4..^'+^'"7^)'-(i:ffi:4-^t"r

3Iais en vertu de (189.), en ne manquant pas de multiplier comme il faut par la puissance de l'unité, pour avoir toutes les valeurs qui peuvent avoir lieu, on a

28,. ,-.... = i--(i 4„..^+:iiL^i!!i:.(i^j^ )

et si l'on substitue la valeur de 1±^"'' (283.) dans cette équation, on a

et cela s'accorde avec (279.) de sorte qu'il n'y a plus de contradiction.

V. La difficulté, que dans ce qui précf'de l'équation (279.) sembla présenter par ce qu'elle a une quantité imaginaire à droite sans en avoir à gauche, n'est qu'apparente. La puissance 1-""^ à exposant îmaginairf, qui y entre, n'offre point de quantités imaginaires; il faudroit pour en pro-

86 §. 3fi. form. 286. — 291. V. yippUcation de ta sc/ie générale

duire un exposant réel des puissances de limité, comme le fait voir (262.). Toutes les valeurs de l*^""^, suivant (283.), sont réelles; donc il n'y a pas dans (279.) des (juantités imaginaires autres que celles qui \aenneut de J-1...Î pour e-*"""". L'équation (283.) donne toutes les valeurs que li^'"" peut avoir pour les valeurs différentes de v. Si dans lécjuation (279.) on ne fait attention qu'aux valeurs réelles de e"*""' pour les différentes valeurs de ';, elles peuvent être exprimées par

d'où l'on voit, qu'elles sont toutes entre 1 et 0, e~° étant 1 et e~'^ =0. VI. L'équation (278.) semble présenter une autre difficulté. Car en développant la quantité e-""^ en série suivant (189.), il semble que sa valeur soit composée dune partie réelle et d'une autre imaginaire, et cela seroit en contradiction avec ce que donne l'équation (283.), suivant laquelle la valeur de la quantité 1±""^, égale à e^""'' (283.), est toute réelle. Mais la difficulté n'est également qu'apparente. En effet en développant e-^'"' suivant (189.), l'expression

n est pas complète. Pour la compléter il faut la multiplier par 1^»'"' et cela donne

Pour mettre en évidence les différentes valeurs de e-""" que cette équation présente, ou ne peut que séparer des autres la valeur réelle de e-^'"'^, pour la multiplier après par i±2'"'f. Cette valeur réelle correspond A n = 0, donc elle est 1, suivant (287.) et suivant l"ex]>ression e-""' elle même, et on a

C'est l'expression complète de e-'^"^, qui s'accorde avec (287.) Vil. Si dans l'expression générale