i=l = a2-» + «2-^ + aî-'.... + I

Mais £4 est différent de zéro, de sorte que «—1 nest pas zéro, doue

12 §, 8. fonn. 26. et 27. /. Définition et

jji I étant zéro, " ~i ^^^* également. Donc l'équation (25.) donne

Cela fait voir que la somme de toutes les valeurs différentes d'une puissance de l'unité à exposant fractionnaire est zéro.

Si K est un nombre premier, la quantité a} — 1 n'est divisible que par « lui même, moins l'unité; mais si A est un produit des nombres premiers pc/r . . . ., oi} — 1 est également divisible par « — 1, aP — 1, «<? — 1 .... «'"' — 1 etc. Car si par ex. A=/jç'/" et aP = |3, on a

a^l=«r7^-l = P'-l et «^-1 = 3-1; donc^^ = |5j^, et

P"--— 1 est divisible par |3 — 1. On trouve ^^^ = i -|- (3 + 13^ . . . + P''"", ou, ce qui est la même chose,

— = 1 + aP4- a'P + -^av ~\

aP—l T^ I '

Mais «^ est toujours =1 et «^ ne l'est pas, donc «^ — 1 et ^^^^j sont

zâ*o. Donc on a

Cela fait voir que si l'exposant k de la quantité 1* est une fraction 4^ des nombres entiers m et h, non seulement la somme de toutes les valeurs 1, «, a% «^ . . • • «* tle 1* sera zéro, mais que les sommes des groupes de valeurs dont les exposans sont des multiples quelconques des facteurs du nombre K, s'il j en a, le seront également. Si par ex. A =6 on a non seulement

mais aussi

1^«2 4. a* = 0 et

Nous ne continuerons pas plus loin la recherche des propriétés des puissances de l'unité dans le cas d'exposans fractionnaires.

Si k est un nombre irrationnel ou imaginaire, nk ne peut jamais être un nombre entier pour aucune valeur du nombre entier n. Donc 1* aura dans ce cas un nombre infini de valeurs différentes entre elles.

propri,;iés des puissances, §. 9. form. 28. — 32. 13

Les puissances de 1* à exposans entiers négatifs ue seront pas nécessairement égalos dans ce cas aux puissances à exposans entiers positifs.

Si k est im nombre entier, la quantité 1*, et aussi, en vertu des équations (17. et 18.), la quantité u' n'auront qu'une seule valeur.

La propriété des puissances de l'unité trouvée (§.6.) éclaircit une contradiction apparente de l'expression (13.) savoir