S 13. D'UN FAIT PARADOXAL QUI SE PRESENTE DANS LA THEORIE PRÉCÉDENTE

Tout ce que nous avons dit jusqu'ici de Fintégrale singulière s'applique seulement aux écpiations aux dérivées partielles admettant au moins une intégrale complète à laquelle on puisse appliquer, dans toute leur étendue, les principes de la théorie des enveloppes. Etant donnée une équation aux dérivées partielles quelconque, admet-elle une intégrale complète de ce genre .*^ Monge regarde ce point comme absolument évident et ne juge pas même nécessaire de l'énoncer. La notion de l'intégrale complète joue d'ailleurs un rôle fondamental dans la méthode de Jacobi. Il semble donc, à un examen un peu superficiel, que, pour une équation aux dérivées partielles, il y aura, en général, une solution singulière donnée par le système des équations

qui entraînent, comme nous favons vu, les deux suivantes

77) X + /jZ = o, Y-j-qZ = o.

Or un tel résultat est paradoxal. Car, bien que les équations (76),

(77) ne soient pas absolument indépendantes, qu'elles soient formées au moyen des dérivées d'une même fonction, il est facile de reconnaître qu'elles ne sont pas généralement vérifiées en prenant pour z, p, q des fonctions de x et de y. Voici une manière 1res simple de le montrer.

Soit féquation proposée

où a est une constante. De cette équation et des deux suivantes

tirons z, p, q en fonction de x, y, a, et substituons dans les deux suivantes

X + /jZ = G, Y -\- r/Z = G .

S'il est vrai que les écjuations (76), (77) soient toujours compatibles, on aura identiquement

Cela posé, changeons a en une fonction de x, y, z., absolument quelconque. Alors les équations (78), (79) conserveront la même forme et donneront les mômes valeurs de z, /j, q en x,y, a. Mais les équations (80) deviendront

Or, d'après ce que nous avons dit, la substitution des valeurs de z,j},q doit annuler leurs premiers membres. On aurait donc

àx 1 ?z ^y ' la-

quelle que soit la fonction a; résultat évidemment absurde.

Ainsi le procédé qui devrait conduire à l'intégrale singulière, appliqué à une équation aux dérivées partielles quelconque , ne peut généralement fournir aucune solution.

Etant donnée une équation aux dérivées partielles quelconque , il n'existe pas d'une manière normale d'intégrale singulière.

Quelle est la conclusion à tirer de ce résultat.^ Est-il nécessaire d'abandonner la notion de l'intégrale complète, de ne la conserver que pour une classe particulière d'équations.^ Evidemment non. Mais le résultat précédent prouve que les intégrales complètes des équations aux dérivées partielles quelconques, intégrales dont nous démontrerons l'existence , ne sont pas finies et continues dans une étendue assez grande pour qu'il y ait lieu de chercher leur enveloppe. Nous verrons que chacp^ie intégrale cesse de définir une fonction continue de x et de y dans le voisinage des points pour lesquels on a

et que, par conséquent, il n'y a pas lieu de chercher une enve-

70 G. DAKBOUX.

loppe. On voit que, si la théorie des solutions singulières avait été étudiée d'abord à ce point de vue , elle aurait pu mettre sur la voie de notions importantes sur la nature des intégrales des équations différentielles ou aux dérivées partielles.

Nous reconnaissons en même temps que la question des solutions singulières, pour être convenablement traitée, exige ime étude approfondie des différentes intégrales d'une équation aux dérivées partielles quelconques, de leurs points singuliers, des régions où elles ont des lignes multiples , etc. Nous aurons à refaire , en partant de l'équation aux dérivées partielles, le travail que nous avions entrepris en prenant pour point de départ l'intégrale complète. Mais avant de commencer cette nouvelle étude, nous dirons encore quelques mots sur les équations formées par l'élimination des constantes, siu l'ordre de contact des intégrales singulières et des autres intégrales, et sur les solutions singidières des équations linéaires,

S 14. DE L'OP.DRE DU CONTACT QUE CHAQUE SURFACE INTEGRALE PRESENTE AVEC L'INTÉGRALE SINGULIERE AU POINT OÙ ELLE LA TOUCHE.

Reprenons l'équation

V(jî,j,2,a,6)==o,

et supposons que l'élimination de a et de h entre cette équati on et les suivantes

conduise à une intégrale singulière bien définie.

Dans une étendue suffisamment petite de cette surface intégrale singulière, z sera une fonction bien définie de x et de y

En substituant dans l'équation

\ [x,y,z,a,b) = o à la place de z

les dérivées par rapport k a et à. b ne seront pas changées et la solution singulière nouvelle sera le plan

Ainsi, par une transformation, toujours légitime dans une étendue suffisamment petite des valeurs de x et de j, on peut toujours ramener la solution singulière à être le plan des xy. Quant à Tordre de contact de deux surfaces quelconques, comme il ne dépend que de la différence des z des deux surfaces pour les mêmes valeurs de X et de j, il ne sera pas altéré par cette transformation. Remarquons enfin que les dérivées par rapport à a et à b jusqu'à un ordre quelconque seront encore les mêmes après la transformation.

En chaque point du plan des xy, solution singulière, a et b sont des fonctions, déterminées en général, de x et de y. Remarquons même que ces fonctions seront nécessairement distinctes, car, si Ton avait b^=f[a), les intégrales complètes pour lesquelles cette relation ne serait pas satisfaite cesseraient d'être tangentes à la solution singulière.

Cela posé, en tout point du plan des ocy, on a

(^0 3^=^' cu=^°' 5^==^' ^7 = ^-

Mais r— sera différent de zéro; autrement les intégrales complètes

auraient des points multiples à leur contact avec fintégrale singulière. Les quatre équations étant satisfaites en tous les points du plan des .x, j, on aura en les différentiant

i)«- ^aôb daôx ùaliy ^ '

caôx db^x ùx- ôx^y -J

c— c- da + -r— - do -f T-v" "-^ + v^ «y = o : oa^y db^y ^xdy dy -

72 G. UARBOUX.

da, clb se rapportent dans ces formules aux accroissements que prennent a et b quand on se déplace sur l'intégrale singulière. Comme dx, dy sont arbitraires, les relations précédentes doivent se réduire au plus à deux équations distinctes, ce qui entraîne entre les dérivées secondes des relations qu'il est inutile d'écrire et qui sont vérifiées pour tous les points du plan des xy.

Cela posé, considérons une intégrale quelconque définie par les équations

da ^0

Le calcul de d^z ne présente aucune difficulté, et en effectuant ce calcul pour les points de contact avec l'intégrale singulière, on trouve

^^ d\ - ^'^ Jr^ -^ 9 ZL ,/^ Jv L ^ ,U^

expression qu'il serait facile de mettre sous la forme (fun carré parfait.

S'il existait une intégrale ayant avec la solution singulière un contact du second ordre, d^z serait identiquement nid. il faudrait donc que

c— - aa; + 2 T— T- dx dy + ;r-T dy

fût un carré parfait. Ce qui n'a pas lieu, en général. Donc, dans le cas généra), aucune inicgrale n'aura avec la solution singulière un contact du second ordre.

Supposons maintenant que l'on ait, en tous les points du plan

des xy.

Cette relation, en vertu des formules (82), en entraîne un grand nombre d'autres. On peut la remplacer par le système

k étant ime inconnue auxiliaire.

Cela posé, reportons-nous aux équations (82 ) qui définissent les variations de a et de b sur l'intégrale singulière, et ajoutons les deux dernières, après avoir multiplié la dernière par —k. On aura

( r^ k =r^-^r- ) da + (rr^ k ^^r^-] db = o,

et comme a et b sont des fonctions indépendantes , da , db étant arbitraires, on aura

^ ' dadx ^rt ^y ^b^x ^b^y

ou, en introduisant une autre arbitraire A,

'da dx db dx da dy db dy

Ajoutons maintenant les deux premières équations, après avoir multiplié la seconde par —X, nous aurons

/d'\ >, d'\ \ 1 , / d'\ ^ d^\ ji

[d¥~^Mdb)'^'''^[dm-^w)'^^=''^

ce qui donne, pour la même raison que précédemment,

fç. ^ D^V ^ d'\ d'Y .d'V

^^7) d^^^d^b' Mdb-^W

Enfin, la seconde et la quatrième équation donnent, en y faisant dy = — kdxy

da dy dbdy

da et db ne peuvent être nuls ensemble, car, sans cela, lorsqu'on se Sav. étrang. t. XXVII. — N" 2. 10

Ik G. DARBOUX.

déplacerait dans le plan des xy sur les courbes définies par l'équation différentielle

dy= — kclœ,

a et b demeureraient constants, et par conséquent sur la solution singulière a serait fonction de 6, et cette hypothèse a été écartée. On déduit donc des deux formules précédentes

(^^) d^^^^MJb' FbJy^W

En continuant f application de la méthode précédente, on trouvera de même

et Ton s'assurera aisément que, généralement, les coefficients de da,db,dx, dy, dans deux quelconques des équations (82), sont proportionnels

Ainsi la seule équation

Da;^;)/ \^x^y) ^

entraîne toutes celles que nous venons d'établir et celles qu'on obtiendrait en éliminant /*, k, X entre les équations (85), (86), (87), (88). Remarquons, parmi ces équations, la suivante

qui, réciproquement, étant admise, entraînerait toutes les autres. C'est cette équation qui caractérise le cas actuel, car elle aura lieu avant la transformation qui remplace la solution singulière par le plan des xy, transformation qui, nous favons vu, ne change pas les dérivées par rapport à. a et à b.

Ces équations étant établies, si fon s'en sert pour éliminer autant de dérivées que possible de l'expression de d^z, on trouve

dh = o.

Ainsi, toutes les intégrales générales ont avec l'intégrale singulière un contact du second ordre.

Voyons maintenant l'intégrale complète. On a pour elle

d^z sera mi carré parfait et, par conséquent, l'intégrale complète sera osculatrice à l'intégrale singulière. (Nous (lisons que deux surfaces tangentes en un point A y sont osculatrices quand elles se coupent suivant une courbe dont les deux tangentes en A au point de contact se confondent. ) Ainsi :

Quand la distribution des intégrales complètes est telle quelles touchent chacune l'intégrale singulière en un nombre limité de points, si elles ne sont pas osculatrices à l'intégrale singulière, il n'y aura aucune intégrale ayant un contact du second ordre avec la solution singulière.

Au contraire, si les intégrales complètes sont osculatrices à l'intégrale singulière, toutes les intégrales générales auront avec l'intégrale singulière un contact du second ordre.

Nous pouvons ajouter qu'en vertu de ce qui a été dit au paragraphe 10, lorsqu'il y aura osculation, toutes les caractéristiques, en nombre infini, partant d'un point de l'intégrale singulière, y auront la même tangente. C'est du reste ce que l'on vérifie aisément. Soient

les équations d'une caractjéristique , sa tangente sera déterminée par les équations

6fV = o, ^^-dx + ^-^dy + b [^rr^ax + ^r^-dy] = o, ' iia^x DrtD}' J \^bdx ifb?j '^ J

qui, en tenant compte des formules (85), prennent la forme

lO.

On voit que la tangente sera indépendante de b' et la même pour

toutes les caractéristiques.

Ces résultats trouvent une confirmation remarqual^le dans l'étude des sphères osculatrices à une surface. On sait que ces sphères sont celles qui ont leurs centres aux centres de courbm-e principaux. Considérons, par exemple, celles dont les centres sont sur une des nappes (S) de la surface des centres de courbure. Soit (S) une sphère tangente en M à la surface et ayant pour ligne d'osculation la tangente Mt à Tune des deux lignes de courbure passant en M. L'axe radical de (S) et des sphères infiniment voisines sera cette tangente M^. L'intersection de (S) et d'une sphère infiniment voisine sera donc un cercle dont le plan passera par Mt. Ce cercle sera évidemment osculateur à la section de la surface déterminée par son plan. Les caractéristiques sont donc ici les cercles osculateurs des sections tangentes aux lignes de courbure d'un système déterminé. On voit bien d'abord que toutes les caractéristiques passant en un point de l'intégrale singulière y ont la même tangente.

Considérons, en second lieu, fintégrale générale enveloppe des sphères tangentes à la surface proposée en tous les points d'une courbe (C). 11 est facile de reconnaître qu'il y aura contact du second ordre entre cette intégrale et l'intégrale singulière , puisque les deux surfaces sont tangentes en tous les points de la courbe (C) et, qu'en chaque point leurs sections planes, menées par là tangente Mt à la ligne de courbure , auront même cercle osculateur.

Nous étendrons les résultats de cet article au cas de n variables par un calcul plus élégant, et nous indiquerons comment on reconnaît les propriétés signalées plus haut, en partant de l'équation aux dérivées partielles et sans connaître l'intégrale complète. Ajoutons que la méthode précédente s'applique à l'étude du contact d'im ordre quelconque.

S 15. DES INTÉGRALES SINGULIÈRES DES EQUATIONS LINEAIRES.

Les équations linéaires admettent encore des intégrales complètes. Par exemple, pour l'équation aux dérivées partielles des cylindres parallèles à l'axe des z, l'intégrale complète serait un cylindre quelconque renfermant dans son équation deux varial^les indépendantes. Mais les raisonnements qui précèdent reposant sur la notion im peu vague de continuité et d'enveloppe, on pourrait craindre à bon droit que, dans ce cas, ils ne soient en défaut. Quelques mots nous suffiront pour étal)lir directement l'existence de la solution singulière.

Soient

les équations d'un système de courbes dépendant de deux paramètres. Si l'on veut que l'une des courbes du système passe par un point M, a et oseront, en général, déterminés. La condition que le plan tangent en M à une sui^face soit tangent à l'une des courbes qui y passent conduira à une équation aux dérivées partielles qui sera linéaire , ou plutôt qui se décomposera en équations linéaires. Je ne m'arrête pas à démontrer que l'intégrale générale sera formée des courbes pour lesquelles h sera une fonction de a. J'arrive à des propriétés de ces intégrales et à la recherche de l'intégrale singulière.

Soit une intégrale définie par les équations

Le plan tangent en un point sera déterminé par les équations

ou, en éliminant f/«,

i^x 2iy -^ 2iz c>a 2>b

La forme de cette équation donne lieu à une propriété très curieuse.

Considérons quatre surfaces intégrales passant par la même coiu"be. Dans l'équation précédente, pour chaque point de cette courbe, 6' variera seule quand on passera cVune surface à une autre» Or la forme de réqualion nous indique que le rapport anharmonique des plans tangents aux quatre intégrales est égal à celui des quatre valeurs de b' et, par conséquent, constant en tous les points de la courbe commune. Ainsi :

Si l'on considère ioules les sut faces engendrées par des courbes à deux paramètres , pour quatre de ces surfaces contenant la même courbe te rapport anharmonique dés quatre plans tangents est le Thème en tous les points de la courbe.

Mais revenons à l'équation qui définit le plan tangent. Pour les points de chaque courbe tels que l'on ait

le plan tangent sera indépendant de 6' et, par conséqileht, le même pour toutes les surfaces.

Considérons, par exemple, les courbes J)lanes d'ordre m pour lesquellesy^sera du degré m, (p du premier degré. Les trois équations (90), (92) définissent sur chaque courbe m[m+i) points. En ces points , toutes les surfaces intégrales seront tangentes les unes aux autres. C'est ainsi que, si les courbes sont des droites, les surfaces réglées correspondantes seront tangentes en deux points; si ce sont des coniques, toutes les surfaces passant pai^ une conique seront tangentes en six points, etc.

Si entre les équations (90), (92), on éhmine a et è , on obtient

une surface (S) que nous appellerons surface focale du système de courbes. Je vais démontrer qu'elle est la solution singulière. En effet, écrivons le système (90), (92) sous la forme

En un point satisfaisant à ces équations, l'équation du plan tangent à une surface intégrale quelconque est donnée par la formule (91) et devient

Quant à la surface focale, elle est définie par les équations (93) , où a, 6, k sont considérées comme des fonctions à éliminer de ,r, y, z. Or, si Ton différentie totalement l'équation

combinaison des formules (93), les coefficients de da, dh, dk sont nuls, et il reste l'équation (94), qui est donc aussi celle du plan tangent à la surface focale.

Cette surface focale, étant l'enveloppe de toutes les intégrales générales, satisfera à leur équation aux dérivées partielles. On peut aussi la considérer, si l'on veut, comme le lieu des intersections successives de deux courbes voisines du système. Toutes ces courbes lui sont tangentes en un nombre limité de points.

Par exemple , féquation linéaire qui exprime que le plan tangent est normal à une siuface fixe aura pour solution singulière la surface des centres de courbure.

On pourrait ajouter beaucoup de propriétés géométriques; je me contenterai des indications précédentes.