S 16. PRÉLIMINAIRES ANALYTIQUES
Après avoir traité le cas de Téquation aux. dérivées partielles à deux variables indépendantes, il est indispensable d'aborder la même étude dans le cas d'un nombre quelconque de variables et de cliercher à reconnaître quelles sont les différentes solutions d'une équation aux dérivées partielles, et quels sont les caractères distinctifs de la solution singulière. Nous commencerons encore en admettant, avec Lagrange et Jacobi, l'existence d'une intégrale complète, dont l'emploi nous conduira ensuite à la distinction des différentes classes de solutions. Il y a avantage à exposer cette théorie en employant un lemme donné récemment par MM. Lie et Maver(i).
hemmeh Soient 211+ 1 fondions Z, X^, ... ,X„, Pi, ...,?„ (/e 27? + i variables indépendantes 2;, ^j, . . . , j',,, /Jj, . . . ,/)„, dont les différentielles satisfont identiquement à la relation
( 1 ) f/Z — Pi (/Xi — ... — P„ d\n =^p{dz — pidxi— ... — pn dxn) , on aura
(2) (X,-X,) = o, (ZX,-) = o,
(3) (P,P,) = o, (P.Z) = pP,, (PiXO = o, (P,-X,-) = p, en désicjnant par le symbole (UV) l'expression
( "V) = E .v. (s; + ft 57) - .>; (sî; + '''. J7 )
^'' Voir Mathematische Annalen, t. VIII, p. 2i5 et 3oA-
De plus ces 2n-\-i fonctions seront indépendantes, en sorte que z,X{, pk pourront être exprimés en fonction de Z , X,-, P^.
Pour démontrer ce lemme et nous dispenser de différent! ations assez longues, nous emploierons Tartifice de Cauchy, de Binet et de Jacobi , et nous désignerons par la caractéristique <5" un second système de différentielles , que nous emploierons en même temps que le premier. On aura d'abord
(4) <^Z — Pi^Xj— . . . — P„<5'X„ = p (Sz—piSXi— . . . —pn^OCn).
Si nous différentions maintenant cette équation dans le premier système d'accroissements, nous trouverons
dSZ-?,dSX,- ... -~?ndSXn-dPiSX^~ ... -d?a^Xn =
dp{Sz — piSxi— ... —pn^Xn)-]-p[dSz—pydSx^ — ... —pndSxn)
— p{dpiSXi-\- . .. -hdpnSXn).
Echangeons, dans cette équation, les d et les S, et retranchons l'équation ainsi obtenue de la précédente , nous trouverons
dP, SX, -dX,§?,-h...+ dPJXn-dXJF,
= Sp [dz — pi dxi — ... —p„ dxn)
— dp[Sz—piSXi— ... — pn SXn)
-\-p(dpi Sxi — dxiSpi+ ... + dpn Sxn — dXn Sp„).
Supposons que dans les deux systèmes d'accroissements les différentielles de z soient telles que l'on ait
i dz = pidxi-i- ... -hp^ilx^
( êz ==/>! êXi-{- . .. -hpnSXn.
L'équation précédente se réduira à la suivante
(6) ([P,SX,-dX,S?,-h...-hd?JX,-dXJ?^
= p (dp, Sx, — dx,Sp,+ ... + dpnSxn — dXnSp„).
Cela posé, les variables X,, P, étant fonctions de Xi,pk,z, cher-
Sav. ktramî. t. XXVII. — N" 2. 1 1
82 G. JJARBOUX.
chons leurs dillérentielles , en tenant compte de l'expression (5) de
dz. Nous trouverons
Nous avons posé pour abréger, dans ces formules ,
dx. :}x.^Pi^z'
^, —, y désignant les dérivées partielles ordinaires, et nous conserverons toujours dans la suite cette notation. Si nous portons ces valeurs de (/P,-, dXi dans l'identité (6) et que nous égalions dans les deux membres les coefficients de c/j:,, dp^, nous o])tiendrons les nouvelles formules
Cela posé, dans les formules (8) remplaçons S par (/ et substituons les valeurs ainsi obtenues de dpi, dxk dans les seconds membres des formules (7).
Nous am^ons
p c/P,-= (P, PO (iXi -I- . . . + (P„ P.-) t/X„ - (Xi P,-) c/P, - . . . , -(X„P,)t/P„
^^^ ^ pf/X,= (PiX,)fiX,4-...+(P„X,)f/X,.-(X,X,.)./P,-... — (X„Xfc) c/P,i.
En général, u étant une fonction quelconque, on aurait
( p(/tt = (Pitt)(/Xi+ ...+(P„tt)(/X„-(Xitt)(/P,- ... (i o) j
Or il est clair que les différentielles f/X,-, t/P^ sont indépen-
dantes comme dpi, dx],, puisqu'à tout système de valeurs de t/X-, dVu-, correspondra parles formules (8) un système de valeurs de dpi^dxk.ll faut donc que les relations (9) soient identiquement vérifiées, ce qui exige que Ton ait
(11) (P,-P,) = o, (P/X,) = p, (P,-X,) = o. (X,-XO = o.
C'est là une partie des relations que nous avions à démontrer. Les autres s'en déduiront facilement. L'identité (10) nous donne, en effet,
( pr/Z = (PiZ)(/Xi-f...+(P„Z)(/X„-(XiZ)(/Pi- ... ^ ^ I -(X„Z)f/P„,
et comme, dans le système d'accroissements choisi, on a
dz = pi dXi + ... -i-pn ilXn,
l'identité (1) entraîne la relation
dZ = P, f/Xi + . . . + P„ (/X„.
La comparaison de cette formule et de féquation (12) nous conduit aux équations
(i3) (P.-Z) = pPi, (ZX.-) = o,
qui complètent le système des relations que nous avions à démontrer.
Je dis maintenant que les fonctions Z, X,-, P^ sont indépendantes; et pour cela je vais calculer leur déterminant fonctionnel. Mais auparavant je remarquerai que fidentité (i) est évidemmeni équivalente aux 2/1 -h 1 équations suivantes
DZ p DX,
••• ^nf^:- m
oZi p t)Xi
" Dp,.
qui donnent, en ajoutant à la seconde la première multipliée par
àTj r» f^X, r» à\„
IWJ dx. '^idx.
Cela posé, soit
le déterminant fonctionnel. Ajoutons à chacune des lignes qui contiennent les dérivées par rapport à x, celle qui contient les dérivées par rapport à z, multipliée par ^,, A prendra la forme
Si maintenant nous retranchons de la ligne qui contient les dérivées de Z celles qui contiennent les dérivées de Xj, . . . , X„, multipliées respectivement par Pj, ..., P„, nous trouverons, en vertu des formules (i4), (16), (17),
A = pA', où
., S^.d\, rfX„C^P, C^P„
^^ dx, dx„ dp, ;)p„
Or ce déterminant A' n'est pas autre chose que celui des formules (7), considérées comme déterminant les inconnues dxi, dpk, et comme ces équations ne sont jamais impossibles , puisqu'elles sont vérifiées par les valeurs déduites des formules (8), où Ton remplacerait par (/ la caractéristique S, nous voyons que A' ne sera pas nul.
On peut même calculer le déterminant A'. En effet, les équations (7) devenant identiques par la substitution des valeurs de dpi, dxk déduites des formules (8), le produit des déterminants des deux systèmes de formules doit être égal à l'unité. Or le déterminant du système (7) est A', celui du système (8), composé des
a' mêmes éléments divisés par p, est -7;- On a donc
et , par conséquent ,
ce qui achève notre démonstration.
Lemme II. Réciproquement, si l'on connaît w+ i fonctions indépendantes, Z, Xi, . . . , X„ des variables z,Xi,pk, satisfaisant aux équations
(ZX,-) = o, (X,-Xfc) = o,
on pourra toujours trouver, et d'une seule manière, n fonctions P^, . . . ,P„ telles que l'on ait
dZ — ?! dXi — . . . — P„ dXn ^ p [dz — Pi dxi — . . ~ pn dxr, ) .
Supposons, en effet, que les «+ i fonctions Z,X, satisfassent aux relations indiquées. Les n fonctions Pj, . . . , P„ devront satisfaire aux équations (16), (17), au nombre de 2n. On démontre que ces équations sont compatibles et cpi'elles donnent toujours des fonctions satisfaisant à fidentité (i). Mais pour ce point nous renverrons au mémoire de M. Mayer [Mothemafische Annalen, t. Vlll), tout en faisant remarquer que la condition indiquée par cet habile géomètre, à savoir que Tune au moins des fonctions Z, X, contienne z, nous parait devoir être toujours satisfaite d'elle-même.
Les formules (7) et (8) conduisent à certaines relations très importantes dans la théorie de la variation des constantes, et que nous ne ferons qu'indiquer ici. Considérons z,.x,, /j^ comme fonctions de Z, X,, Pfe.
l^es formides (8) seront équivalentes aux suivantes
. . j ^5x, dx; P^v-dx,
( PdX, Dp,' Pc^P, Dp,
où le symbole -3^ a la signification
rf__2 , p ±
Une remarque plus importante est la suivante : Supposons qu'il s'agisse d'intégrer l'équation linéaire
(X,-tt) = o,
nous aurons les 2/z solutions
Li , Aj , Ag , . . . , An 1 1 1 , . . . , 1 ,' . ;i , 1 ; ^. 1 , . . • , r n ,
et comme ces fonctions sont indépendantes, nous obtiendrons ainsi toutes les intégrales distinctes de cette équation. On verra de même que les intégrales de l'équation
(Z tt) = 0 sont
XY 7 Pj P,,
Nous aurons à faire usage de ces résidtats.
Après avoir donné des propriétés des fonctions satisfaisant a l'identité
dz — Pi (ZXi — ... — P„ (/X„ = p [dz — pi dxi — ... —pn dxn) ,
proposons-nous de résoudre cette identité, c'est-à-dire de trouver toutes les fonctions cpii peuvent y satisfaire. Sous une forme différente, ce problème a été résolu par Jacobi.
Puisqu'il y a une relation linéaire entre les différentielles de Z, Xj, . . . , X„, z, j^i, . . . , a;„, il faut nécessairement que ces 2n-|- 2 variables soient liées par une ou plusieurs équations. Ecrivons toutes celles de ces relations qui existent et qui sont distinctes, et soient
(20) ;//i(Z,Xi, . ..,X„,z, j^i, ...,a:„) = o, \f/2 = o, . . . , •\///, = o,
ces relations. On aura
f/^f^i = o , (/\//2 = 0, . . . , d->\/h = o , et l'identité
c/Z — Pj f/Xj ~ ... — P„ dXn==p [dz—pi cLci— ... — /j„ dXn)
ne peut être qu'une combinaison linéaire des relations précédentes. On doit donc avoir
!f/Z — Pi dXi — ... — P„ (/X„ — p[dz — pi dxi — ... — /j„ dx„)
Al, . . . , X/, étant des arbitraires inconnues. Comme \//j, . . . , ;^/i sont nuls, on peut écrire
Al d\pi -h ... -h A/, d-^h = (/ (Al \f/, 4- . ■ +Xh-*ph) = dTT
en posant
7r = Xi;//i+ ... + A/, ;///,.
En égalant les coefficients de chaque dilïérentielle dans l'équation (21), on trouve le système suivant :
(2q) { ' -yZ' ^i~"~^:
-.0 = ^, PPi-^:
que l'on peut encore écrire
Les dernières équations écrites (M) (X,§H-...+X,f),,H-X,^+...+X„||-^o,
jointes aux équations (20)
^1^0, ...,;//ft=o,
détermineront Z, Xj, . . , X„, Ai , . . . » A/, en fonction de z, a;, , yj/t, et les autres équations (23) feront alors connaître F,, . . . , P„, p.
Toutefois, il importe d'ajouter une remarque essentielle. Les fonctions ;^i, ...,1/^/1 doivent être choisies de telle manière que le système des équations (20), (2^), permette de déterminer Z , Xi, . • . , X„. Ce système ne sera jamais indéterminé , mais il pourrait se faire qu'il fût impossible et qu'il conduisît à un certain nombre de relations entre z,^,, p^, et alors la méthode se trouverait en défaut.
Le cas le plus important des formules précédentes, auquel on peut du reste ramener tous les autres, est celui où il n'y a qu'une seule équation
(26) i//(Z,Xi, ...,X„,2,Xi, ...,^„) = o.
Alors les formules qui donnent la solution sont les suivantes ;
et
Ces dernières formules, jointes à l'équation (26), permettent de déterminer Z , Xj , . . . , X„. Mais il faut que la fonction ip ne soit pas choisie de telle manière qu'on puisse éliminer Z , X^, . . . , X„ entre les n -h 1 équations (26), (26), c'est-à-dire il faut qu'elle ne soit pas une intégrale complète a n-{- 1 constantes d'une équation aux dérivées partielles ou d'un système d'équations aux dérivées partielles.
J'indiquerai, en terminant cet article, quelques propositions qui nous seront utiles.
Lemme III. Toutes les fois qumire les différentielles de 2n-j- i variables z,Xi,pk, on aura la relation
dz — pi dxi —...—/)„ dûCn = o ,
il y aura au moins n-\- 1 relations distinctes entre ces variables, et s'il n'y en a pas davantage, il suffira, pour les connaître toutes, d'avoir celles qui sont indépendantes de pi, . . . , /;„.
En effet, l'identité prouve qu'il y a entre z,^!, ...,Xn une ou plusieurs relations. Ecrivons toutes celles qui existent et sont distinctes et dont l'une au moins contiendra évidemment z,
Xi = Yi[Xfc, . . . , Xnj -,
En sxibstituant les valeiu-s des différentielles dz, dxi, . . . , ctefc i dans l'identité
(27) dz—pidXi — ...—pn dXn = O ,
il faudra que les coefficients de dxk, ..., c/ir„ soient nuls, ce qui donne
On voit que toutes les variables s'expriment en fonction de
Pli - ■ • 1 Pk — Il ^ki • • • ■» «^ni
ce qui démontre la proposition.
Lemme IV. Toutes les fois qu'entre les différentielles de 2n variables Ui, hi, on a la relation
(28) 61 f/ai + . . . + 6„ dan = o ,
ces 2n arbitraires sont liées au moins par n équations distinctes.
Cette proposition se démontre comme la précédente, à laquelle elle pourrait être ramenée.
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