S 9. D'UNE CLASSE REMARQUABLE D'INTEGRALES

Dans l'article précédent, nous avons étendu les notions relatives aux surfaces réglées à toutes les surfaces formées de caractéristiques et, en général, de courbes continues quelconques. L'étude que nous avons faite va nous conduire à une classe nouvelle d'intégrales, que l'analogie ne pouvait faire découvrir, et qui disparaissent dès que les caractéristiques sont des droites. Nous obtiendrons des intégrales sans rel)roussement apparent, non encore signalées.

Si dans l'intégrale complète nous remplaçons b par une fonction de a , nous obtenons une intégrale générale dont f arête de rebroussement sera donnée par les équations

{àS) V = o, "^V^o, W = o;

je dis que l'on poiu^ra toujours trouver une fonction b de a telle, que l'équation

soit satisfaite pour tous les points de l'arête de rebroussement.

En effet, l'équation (^9) peut évidemment être remplacée par la suivante

dS-'V = o ,

qu'on obtient en différentiant la troisième des équations (48) et en tenant compte de l'équation (49)- En vertu des équations (48), (49), on aura en tous les points de l'arête de rebroussement

V==o, (iV-o, (^V = o, dSV^o, ^^V=o, (/W = o.

Si entre ces six équations on élimine a, 6, 6', 6", on obtiendra deux équations différentielles du premier ordre en x, j, z, définissanl les courbes cherchées. On voit qu'il en passera un nombre déterminé par chaque point de l'espace.

On peut aussi former, en employant exclusivement l'équation aux dérivées partielles, les équations différentielles de ces courbes.

[iS G. DAKBOUX.

Ce procédé aura même l'avantage de nous en faire connaître une

propriété géométrique.

En dilTérentiant les équations (48) et tenant compte des équations (/i8), (/I9), on a en un point quelconque de l'arête de rebroussement

V = o, (/V = o, f/^V = o, d'\ = o, ^V = o, f/^V = o, dm = o, dS'Y = o.

Si nous considérons la caractéristique définie peir les équations

où l'on regarde a comme ime constante, on voit que les différentielles premières et secondes de ^, j, 2:, mais non les différentielles troisièmes, seront les mêmes pour cette caractéristique et pour la courbe cherchée. Ainsi, si en prenant les équations de la caractéristique on calcide t4' "pi' ces deux dérivées seront les mêmes que pour notre courbe; mais on verra facilement qu'il n'en est plus de même pour -/» p- En effet, p par exemple étant donné par l'équation

t)X I ÔZ

il faudra, pour avoir j-, différentier cette équation, en laissant

a , b constants dans le cas de la caractéristique et en les traitant comme variables dans le cas de l'arête de rebroussement , ce qui

donnera deux valeurs différentes de -j- •

(Ix

On a, pour toute courbe intégrale aussi bien que pour la caractéristique ,

dz = pdx -\- qdj ,

et, par conséquent, en posant

dx~:\F'

on obtient

d^yjjp) ^{¥)dy Kïï)c/p ^{v)dci^

dx^ ^x D)' dx dp dx i)q clx'

dx^ dx~^ dx' dx'^^ dx^ '

TV- dy dz d^y d^z • dp dq , , ^

iNous savons que -j-. -r--, -j—-, t-^» mais non -!-,•> -r-' sonl les mêmes

pour la courbe chercbée et la caractéristique. Il faut donc que des

équations précédentes on ne puisse tirer ^' t^; car, sans cela, ces

deux dérivées auraient la même valeur pour les deux coiu-bes. Donc le déterminant des deux dernières équations, considérées

comme définissant les deux inconnues -/; , j-^, doit être nul, ce qui donne

\ ' dp dy dq

Cette équation, jointe à la suivante,

exprime, on le verra aisément, la propriété suivante : Le système

étant considéré comme devant déterminer p et q [x, y, z, dx, dy, dz, étant supposés connus), admet une solution triple. Il suffît, en effet, de sulîstituer la valeur de p tirée de la seconde équation dans la première, et les équations (5o), (5i) expriment que féquation en q, ainsi obtenue, admet une racine triple.

Or, considérer dans le système ( 62 ) ^ et ^ comme des inconnues, c'est cbercher Fintersection du cône (N) des normales avec le plan

{X-x)dx-h{\-y)dy-\-{Z-z)dz = o,

normal à la courbe cherchée. Ce plan, coupant suivant trois droites

Sav. étrang. t. XXVII. — N" 2. 7

confondues, doit donc être un plan d'injlexion du cône des normales, et, par conséquent, la tangente à la courbe doit être une arête de rebroussement du cône (T), Ainsi

Les courbes cherchées sont celles qui en chaque point admettent comme tangentes les arêtes de rebroussement des cônes (T), ou dont les tangentes sont perpendiculaires aux plans d'injlexion du cône (N) des normales.

On démontrerait comme précédemment quelles coupent en quatre points confondus les intégrales de l'équation aux dérivées partielles qui leur sont tangentes.

Imaginons , par exemple , que les intégrales complètes soient des sphères assujetties à deux conditions quelconques. Alors les intégrales ordinaires seront obtenues comme enveloppes d'une suite de sphères; chacune des sphères coupera l'arête de rebroussement en trois points consécutifs, et les caractéristiques seront des cercles simplement tangents à cette arête. Mais il y aiu-a aussi des intégrales pour lesquelles les sphères seront osculatrices à l'arête de rebroussement, les cercles caractéristiques devenant les cercles osculateurs de ces courbes.

M. Serret a examiné en particulier (^^ le cas où les sphères ont des rayons quelconques, mais ont leurs centres sur une courbe donnée (C). Les intégrales nouvelles que nous signalons deviennent ici celles qui ont été cherchées par M. Serret, et pom* lesquelles la courbe donnée est le lieu des centres des sphères osculatrices à l'arête de rebroussement de l'intégrale. On sait, conformément à notre proposition générale, qu'alors les plans normaux à l'enveloppe des caractéristiques sont les plans oscidateurs du lieu des centres des sphères osculatrices et, par conséquent, les plans d'inllexion du cône (N) des normales. En effet, l'équation aux dérivées partielles admettant comme intégrales complèles les sphères considérées s'obtient évidemment en exprimant que les normales aux

''' Journal de M. Livuville . t. XVIII, i" série, p. 3i.

surfaces intégrales rencontrent la courbe (C). Le cône (N) des normales relatif à un point quelconque contient donc toujours la courbe (C), et les plans d'inflexion de ce cône sont bien des plans osculateurs de la courbe (C).

On pourrait essayer de continuer dans cet ordre d'idées. Mais, en général, il n'existera pas de coiube intégrale pour laquelle on ait

p étant supérieur à 3. Cela aura lievi seulement dans les cas exceptionnels.

M. Bouquet a montré que, si la plus comte distance de deux droites infiniment voisines d'une surface réglée est d'un ordre supérieur à 3, elle est nulle. Il n'existe pas de tbéorème analogue quand on prend des courbes quelconques. Nous allons poursuivre l'élude de cette question.

Proposons-nous de trouver l'équation générale d'un système de courbes (K) ayant avec une courbe fixe (R) un contact d'ordre n. Supposons que les coordonnées d'un point de la courbe fixe s'expriment en fonction de Tare par les formules

^=/(^)' j=yi(^-)' ^-Ms)'

Nous choisirons, pour exprimer les coordonnées des points des coiubes tangentes (K), les mêmes variables que dans l'article pré-

Fig. ^.

cèdent, c'est-à-dire Tare 5 = 0M, compté à partir d'une origine fixe sur la courbe (R), et l'arc MP = <t, compté à partir du point de contact sur la courbe (K).

Soient X, j, z, les coordonnées d'un point P infiniment voisin

de M sur la courbe (R). Si les deux courbes ont un contact d'ordre n , on devra pouvoir choisir un point Q sur la courbe (R) à la distance MQ = î; telle, que les projections de PQ sur les trois axes soient de l'ordre n-f- i, par rapport à MP = cr. Les projections de PQ étant

il faudra que l'on ait

V étant une fonction de 5 et de <t, dont le rapport à o" a évidemment l'unité pour limite et qui sera de la forme

TS^, 7^3, ... 'CS„, désignant des fonctions quelconques de s. Nous pouvons négliger les termes en a"'^', qui n'ont aucune influence sur l'ordre de PQ.

Ainsi, nous avons pour l'expression générale des coordonnées d'un point P des courbes (K)

( z=/2(5 + c^ + t:T2C^^..^-'CJ„<T'■) + (T'' + 'y„^,-^o■"+>„^3-h ...

-5^2, '2^3, "C^n, ^n + i-: l^n + i' 7n + i' étaut dcs fonctions quelconques de^. Réciproquement, il est évident que les équations précédentes représentent bien des courbes ayant au moins un contact d'ordre i\ avec (R). Voyons à quelles conditions elles peuvent avoir un contact d'ordre supérieur.

A cet effet, considérons le point de l'enveloppe (R) correspondant à la valeur de l'arc

11 faudra, pour qu'il y ait un contact d'ordre supérieur à n, que l'on puisse déterminer u de telle manière que les difïérences des coordonnées correspondantes du point de l'enveloppe et du point de la courbe (K) donné par les formules (53) soient de l'ordre n-{- 2 au moins par rapport à a. La différence des valeurs de x, par exemple, est

/(5 + 0-+t52(T2... +'US,(T'' + u)-f{s + (7... +t3r„(T")-a„+,<T''+'...

ou, en développant et gardant les termes de degré moindre,

Pour que cette différence soit de l'ordre n-\- 2 , il faut que l'on ait

En comparant ce résultat à celui que donneraient les différences des y et des z, on voit que l'on devrait avoir

Otn.

Nous supposerons que ces équations ne soient jamais satisfaites, afin que le contact soit bien de l'ordre n seulement.

Fig. 5.

Cela posé, voyons quelle sera la plus courte distance de deux courbes (K), (K), dans le voisinage de l'arête de rebroussement.

Soient 5, clés coordonnées d'un point P de la première courbe, s' = s-i-h, G celles d'un point P' de la seconde. Nous supposons

5a G. DARBOUX.

que /< = MM' soit donné. Alors t, g seront des fonctions inconnues

de h ,

a' = a'h + h'lî'+ ...

qu il s'agira de déterminer par la condition que la distance PP' soit de Tordre le plus petit possible. Soient x,y,z^ les coordonnées du point P, a: ,y, z , celles de P'. On aura

'ts'^ . . . Ts'^ désignant les fonctions -cfa • • • '^«^ où l'on a remplacé s par s =s-\-]i\ nous n'avons écrit que le premier terme de p^.

pi étant du degré « + i , pour que la différence x —x et de même J — J, z —z soient de l'ordre /? + i , il suffira que la différence

D=5' + ^' + 'CÎ2 0"'^ • • • +'cïlcr'" — 5 — (T — -cyaO"^ . • . — trr„a-"

soit de cet ordre. C'est ce qu'il est toujours possible de réaliser. II suffit, en effet, de sidDstiluer dans l'expression de D à /, g\ g leurs valeurs en A et d'égaler à zéro les coefficients des premières puissances de /«. Par exemple, la première équation, celle qu'on obtient en égalant les coefficients de h est

et les autres n'imposent aucune condition nouvelle à a et d . Ainsi on pourra toujours disposer de o-, g\ de telle manière que D soit une fonction d'ordre n + i .

/i, /f' étant absolument arbitraires et pouvant même être supposés nuls.

Ainsi, deux courbes infiniment voisines sont toujoms à ime distance d'ordre au moins égal à /? + i . Voyons si la plus courte distance peut êtie d'un ordre supérieiu*.

Les termes en h" ^ ' sont

dans x —X

dans j' — j

dans z — z

Comme on n'a jamais

«.■^.(^)/3...^i(^)^ynH.i(^)

fis) f[{s) fis] '

pour que ces termes disparaissent, il faut que l'on ait

Il est toujours possible, nous l'avons dit, de satisfaire à la première équation, mais la seconde

est incompatible avec l'équation (55) toutes les fois que n est pair, au moins si l'on se borne aux valeurs réelles. Ainsi nous obtenons ce remarquable tbéorème :

Si des courbes variables ont un contact d'ordre n avec une courbe

fixe, la plus courte distance de deux courbes infiniment voisines dans

le voisinage de la courbe fixe ne sera jamais d'un ordre supérieur à

n + 1 , si n est pair; elle sera toujours au moins de l'ordre n-\- 2 si

n est impair, mais elle pourra être d'un ordre supérieur.

Sans approfondir cette question si générale, je donnerai seulement un exemple justifiant la dernière partie de l'énoncé précédent. Le système

x=-f{s-{-(7 + z5^a'' ... 'cy,.o-") + CT" + ''>f/(5)F(5 + ^) + o-"-*-'(p(i',cr), y-fi( ) + a'^^^yp{s)F,{s + a) + <7'^-'(p,{s,cT),

représente des courbes qui ont seulement un contact d'ordre n avec leur enveloppe et telles que la plus èourte distance de deux courbes consécutives sera de l'ordre »4-3 au moins, toutes les fois que n sera impair.

Il y a à faire une remarque assez curieuse sur le théorème précédent. Rien dans la démonstration n'exclut les courbes planes situées dans le même plan, et cependant le théorème ne leur semble pas applicable, puisque des courbes planes se coupent toujours dans le voisinage des points de contact avec l'enveloppe. Par exemple, d'après le théorème, les cercles osculateiurs d'une courbe plane aussi bien que d'une courbe gauche doivent être à une distance infiniment petite du troisième ordre, dans le voisin nage de leur point d'oscidation.

Mais la contradiction n'est qu'apparente. Toutes les fois que des courbes planes auront un contact d'ordre pair avec leur enveloppe, deux courbes consécutives ne se couperont pas en un point réel, voisin de leiu's points d'osculation. C'est ce qu'il est aisé de vérifier pour les cercles osculateurs. Car, soient 0, 0' les centres de deux cercles osculateurs infiniment voisins d'une courbe plane. La distance 00' des centres sera plus petite que la différence des rayons, qui est l'arc 00' de la développée. Ces deux cercles ne se couperont donc pas, et leur plus courte distance sera bien du troisième ordre dans le voisinage de leurs points de contact. Cette plus courte distance est égale à l'arc 00' de la développée, moins la corde 00'.

Appliquons les résultats obtenus aux intégrales exceptionnelles étudiées au début de cet article. Alors les caractéristiques auront avec leur enveloppe (R) un contact du second ordre. Les formules (53) deviendront

a; =/(5 + cr + 'CJcr^) + 0-3 \f/ (5 , 0") , }' =/i (^' + ^ + '^^') + cr' ■^i [s, (t) ,

Pour étudier la surface engendrée, posons

et nous aurons

Supposons que Ton prenne pour axe des x la tangente en un point de (R), pour axe des j et des z des perpendiculaires à cette tangente, nous aurons des développements en série de la forme suivante

x = u-\-b(j^, y = au^-\-b' G^, z = axU^-\-b" a^,

où nous avons gardé les termes de moindre degré. On peut même supposer que le plan des xz ait été choisi de telle manière que le terme en a^ disparaisse de l'expression de z, ce qui donnera

i x = au + b(j^, (56) \y=-au' + b'(T\

les termes négligés étant de degré supérieur au degré de l'un des deux termes conservés.

Si l'on veut avoir la forme de la surface dans le voisinage de l'arête de rebroussement, qui, on le sait, est tangente à Ox, il faut établir entre « et (T une relation telle que , pour les points correspondants, -■> - soient finis. Il faudra donc que u et a^ soient du même ordre , ce qui donnera , en conservant les termes de moindre degré ,

el, par suite,

C'est là l'équation approchée de la surface. On voit que la forme

Sav. étrasg. t. XXVII. — N° 2. 8

p-énérale de la surface serait la même si l'on avait 2 = Ky. Ainsi, 11

n'y aura plus de rebroussement apparent, z sera de l'ordre ^ au

lieu d'être de l'ordre 2 .

Par exemple, l'enveloppe des sphères osculatrices d'une couri3e donnée n'admettra pas cette courbe pour ligne de rebroussement. C'est ce qu'on peut vérifier par un calcul direct appliqué à l'hélice.

Les intégrales dont nous signalons ici l'existence ont donc des caractères remarquables; leurs relations avec l'enveloppe des caractéristiques sont tout à fait différentes de celles des intégrales ordinaires, que nous avions déjà étudiées.

§ 10. ANALOGIES NOUVELLES ENTI\E LES LIGNES DROITES ET LES CARACTERISTIQUES.

Nous avons, dans les articles précédents, étendu aux caractéristiques plusieurs des propriétés des lignes droites. Voici une nouvelle analogie qui nous paraît digne de remarque. Nous allons démontrer que la théorie des tangentes conjuguées s'étend aux caractéristiques.

Partons de l'intégrale complète

(58) V(:i-, j, z, rt, 6) = o.

On sait qu'on en déduit la solution singulière en éliminant a et 6 entre cette équation et les suivantes

a et h peuvent donc être regardés comme des coordonnées curvilignes propres à déterminer la position d'un point sur l'intégrale singulière.

Soient tto, 60 les valeurs correspondantes à un point M de cette intégrale. 11 passera en ce point une infinité de caractéristiques tangentes à l'intégrale singulière. Car, si l'on considère toutes celles qui sont données par les équations

(60) V(.r,y, 2,rt„,6J = o, ^-|-6'^ = o,

il est clair que ces équations sont vérifiées, quel que soit h, par les coordonnées du point M.

Ainsi, en chaque point de l'intégrale singulière, il passe une inlinité de caractéristiques tangentes à cette intégrale, de même que, par chaque point d'une surface quelconque, il passe une inlinité de tangentes. En outre, la surface engendrée par toutes ces caractéristiques est l'intégrale complète tangente à fintégrale singulière au point considéré, de même que le lieu des tangentes à une surface en un point est le plan tangent en ce point.

Cela posé, supposons qu'entre a et è on établisse une relation quelconque satisfaite par les valeurs «„. ^o

à cette suite de valeurs de a et de 6 ainsi définie correspondra une courbe M|U, de fintégrale singulière passant au point M. Cherchons la tangente en M à cette courbe. En tous ses points on a

et, par suite.

Vi = o , ¥2 = 0,

d'où , en éliminant da , on déduit

Cela posé, déplaçons-nous à partir du point M sur une autre courbe Mju.', déterminée par féquation

et cherchons fenveloppe des intégrales complètes tangentes à

GO G. DAUBOUX.

rintégrale singulière en tous les points de cette courbe. Cette enveloppe sera définie par les deux équations

où b[ désigne maintenant Ç>' [a)- Les deux équations précédentes représentent la caractéristique qui engendre cette intégrale. Cherchons la tangente à la caractéristique qui passe en M. En différentiant les équations précédentes on a

(62) f/V = o, dV,-ï-b[cN^=^o.

Si donc nous voulons que cette caractéristique soit tangente à la courbe Mjw., la comparaison des équations (61), (62), nous donnera la condition

1 yy ;)^v

qui est nécessaire et suffisante. En chassant les dénominateurs, on trouve

La symétrie de cette relation en b', b[ nous conduit au théorème suivant :

Supposons que, lorsqu'on se déplace à partir du poini M de l'intégrale singulière dans une direction Mpt', l'intégrale complète tangente en iVl soit coupée par l'intégrale complète tangente au point infiniment voisin suivant une caractéristique admettant pour tangente Mju,, réciproquement, lorsqu'on se déplacera suivant la direction Mfjt, l'intégrale complète tangente au point infiniment voisin coupera l'intégrale complète du point M suivant une caractéristique ayant pour tangente Mfx.

C'est bien, comme nous Tavons annoncé, la généralisation de la propriété des tangentes conjuguées d'une surface; les plans

tangents sont remplacés ici par des intégrales complètes, les tangentes par des caractéristiques.

La proposition précédente admet comme corollaire la généralisation de la théorie des lignes asymptotiques. Faisons, en effet, dans Técpiation (63) 6' = 6j, nous aurons

équation différentielle qui définit les lignes tracées sur l'intégrale singulière et jouissant des propriétés suivantes. Les intégrales complètes tangentes en tous les points d'une de ces lignes enveloppent une intégrale générale admettant cette ligne pour arête de rebroussement et tangente en tous ses points à l'intégrale singulière. Ces intégrales correspondent aux surfaces développables que l'on obtient en menant des plans tangents à une surlace en tous les points d'une ligne asymptotique.

S 11. ÉrUDE DE L'INTÉGRALE SINGULlÈlUÎ .

I-.a discussion précédente nous a conduit à plusieurs propriétés caractéristiques de l'intégrale singulière, que nous allons résumer ici :

1° Elle est l'enveloppe de toutes les intégrales complètes ou générales.

2° En chacun de ses points et suivant toutes les directions il passe des caractéristiques tangentes à la surface.

3° Par conséquent, le cône (T) enveloppe des plans tangents, relatif à un point de cette surface, s'y décompose en un autre cône et un plan, le plan tangent à cette surface. Il suit de là que le cône des normales (N), supplémentaire du cône (T), aura, pour tous les points de l'intégrale singulière, une droite double, la normale à la surface singulière.

Il" Enfm, et cette dernière propriété est peut-être celle à laquelle on doit attacher le plus d'importance, si l'on considère une

courbe (K) tracée sur la sm^face et les plans tangents en tous ses points à la surface, il y aiu-a, outre la solution singulière, une seconde intégrale contenant la courbe (K) et tangente en tous ses points à rintégrale singulière.

Tels sont les quatre caractères principaux qui résultent de nos études antérieures. A la vérité, dans ces études, nous nous sommes attacbé seulement à Texamen des cas généraux, et Ton sait qu'il peut arriver que des surfaces n'aient pas d'enveloppe. 11 pourra donc arriver que la solution singulière disparaisse.

Considérons, par exemple, des plans tangents à une courbe connue intégrales complètes. Les intégrales générales seront des surfaces développables contenant la courbe. Mais il n'y aura plus d'enveloppe ou de solution singulière, ou, si l'on veut, la solution singulière sera la courbe elle-même.

Au lieu de ces intégrales complètes , prenons des sphères doublement tangentes à une courbe ou des surfaces passant par des points fixes. Dans tous ces cas, la solution singidière pourra disparaître.

Il est vrai que , par une extension plus grande donnée au mot solution, extension que nous développons dans la seconde partie, on peut réduire beaucoup le nombre des cas exceptionnels, mais il pourra cependant se présenter des cas où la solution singidière disparaîtra toujours.

Considérons, par exemple, les intégrales complètes

[z -{- ax + bxj + by + {z -h by -ha)'- = [x"^ —y'T- En égalant à zéro les dérivées par rapport à a et à 6, on trouvera

z + ax-\- bxy -|- è = o , z-{-by-\-a = o,

équations qui, jointes à la précédente, donnent

ic^ — j- = o.

On trouve donc ici non plus l'enveloppe proprement dite, mais le lieu des points singuliers des intégrales complètes.

C'est une circonstance de ce genre qui se présente d'une manière normale pour les intégrales générales d'une équation différentielle ordinaire. Ces intégrales générales sont représentées par des courbes ayant des points de rebroussement aux points où elles coupent une courbe fixe. On voit bien que le lieu des intersections successives de deux courbes infiniment voisines se confondra avec celui des points de rebroussement.

Toutefois, comme des surfaces à deux paramètres ont en général une enveloppe quand leur équation s'obtient en égalant à zéro une fonction toujours finie et continue, telle que les fonctions algébriques entières, il résulte bien nettement de cette première partie de notre étude, que, dans les équations aux dérivées partielles formées par félimination des constantes, il y a en général une solution singulière qui possède les caractères que nous avons signalés plus haut. Il nous reste à indiquer comment on déduirait cette solution de l'équation aux dérivées partielles sans faire appel à fintégrale complète.

L'INTEGRALE SINGULIERE DEDUITE DE L'EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES.

Les quatre propriétés que nous avons reconnues à l'intégrale singidière nous donnent chacune la solution de cette question.

m G. DARBOUX.

D'après la première, la solution singulière est l'enveloppe des intégrales complètes

c'est-à-dire qu'en tous ses points on a

dT = °' DT = ^'

Or on peut obtenir l'équation aux dérivées partielles, en tirant a et b des équations

et les portant dans l'équation (65). Ainsi l'équation (65) est l'équation aux dérivées partielles, si l'on y regarde a et 6 comme des fonctions de x,y,z,p,q, définies par les formules (66). On aura donc

i^VJ 5p~c^a c>'^;)6 cV' :)q~'Mdq'^U q'

Or r-, ;^sont nuls pour la solution singulière. On aura donc aussi

dp ôq

ou, en considérant z comme une fonction de oc,y,p, f/, défmie par l'équation aux dérivées partielles,

\ ' ôq ^ oq

Cette méthode n'est pas à l'abri de toute objection.

Mais employons les autres propriétés de l'intégrale singidière. D'après le second caractère que nous lui avons reconnu, nous savons qu'en chacun de ses points il passe une infinité de caractéristiques qui lui sont tangentes. Si donc nous nous reportons aux équations dilïérentielles de la caractéristique

dœ dr —dp —dq

nous voyons qu'en chaque point de la solution singulière ~- devra être indéterminé, et l'on aiua, par conséquent,

D'après le troisième caractère, le cône des normales (N), représenté par l'équation

où p et q sont variables, doit avoir pour droite double la normale à l'intégrale singulière. Cette condition s'exprime encore par les équations (70), que nous retrouvons de cette manière.

Servons-nous enfm de la dernière propriété de l'intégrale singulière. Si nous traçons une courbe sur cette intégrale, il doit y avoir deux intégrales tangentes l'une à l'autre en tous les points de cette courbe. Soient

les équations d'une courbe. Pour que l'intégrale contienne cette courbe, il faut qu'en chaque point de la courbe on ait

dz = p dx + q dy ou

Différentions cette équation, nous aurons

(72) <p' (x) = r+^sf [x] + tp(x) + cif (x).

D'autre part, en vertu de l'équation aux dérivées partielle.s, on aura

Vs + Qt+\ -\-qZ=o.

Pour deux surfaces admettant le même plan tangent en chaque point de la courbe, r, 5, useront différents. Donc il faut que les

S*V. ÉTRANG. t. XXVn. — iN° 2. q

équations (72), (70) ne puissent déterminer r, s, t. Leur déterminant

doit donc être nul, quel que soit y', ce qui exige que l'on ait

Il est vrai que le raisonnement cesserait d'être exact si les deux surfaces avaient un contact du second ordre. Mais alors les dérivées d'ordres supérieurs ne pourront être toutes les mêmes. Or, on le reconnaîtra aisément, le déterminant des équations qui déterminent les dérivées d'ordre n est

et, par suite, quel que soit l'ordre à partir duquel les dérivées cessent d'être les mômes, on retrouve les mêmes conditions. On a donc , en tout point de l'intégrale singulière ,

Mais, en vertu des équations (73), on doit aussi joindre à ces équations les deux suivantes

Ainsi nous avons le théorème suivant :

Pour toute équation aux dérivées partielles formée par l'élimination des constantes, il y aura d'une manière normale une solution singulière. Les coordonnées d'un point et les coefficients angulaires du plan tangent en chaque point de cette solution satisfont aux cinq équations

(74) F = o, P:=o, Q = o, X + /jZ==o, Y + qZ = o.

Remarquons que les deux dernières auraient pu aussi être obtenues en partant des équations différentielles delà caractéristique. Puisqu'il y a une infinité de caractéristiques tangentes en chaque

point à l'intégrale singuhère, 't^» -r-, doivent être indéterminés et,

par conséquent, les dénominateurs X+/jZ, Y + f/Z des équations (69) doivent être nuls, aussi bien que P et que Q.

Il est à remarquer que ces équations sont en nombre plus que suffisant. En eff'et, admettons que de trois d'entre elles on ait pu déduire les valeurs de z, /j, q, en fonction de x et de y. Si l'on porte ces valeurs dans les deux autres équations, elles devront être satisfaites en général. Mais ici il y a une première question qu'il est indispensable de résoudre. Supposons qu'on ait trouvé des valeurs de 2:, /), f/, fonctions de x et de j, et satisfaisant à ces équations, donneront-elles une intégrale de l'équation proposée? Comme ces valeurs de z, p, q satisfont à cette équation, qui est la première du groupe (7^), il suffira évidemment de reconnaître si p et q sont les dérivées de z.

DifTérentions l'équation

F=o, nous aurons

(75) Xdx + Ydy + Zdz-hPdp-hQdq = o,

et cette relation est toujours satisfaite par les trois fonctions 2, p, q, qui satisfont à l'équation proposée. En nous servant des formides

auxquelles satisfont aussi ces trois fonctions, nous poiurons éliminer X,Y, P, Q, et la relation (75) prendra la forme

Z[dz — pdx~q dy) -= o.

Donc, si Z n'est pas nul, on aura

dz = p dx -j- q dy,

c'est-à-dire p et q seront les dérivées partielles de z, qui satisfera par conséquent à l'équation proposée.

Quand Z sera nul, on pourra reconnaître directement si p, q sont les dérivées de z. Nous aurons, du reste, à revenir sur ce sujet.