S 17. DES ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES À UN NOMBRE QUELCONQUE

DE VARIABLES INDEPENDANTES.

Rappelons en quelques mots le point de départ de Lagrange et la notion de l'intégrale complète.

Soit

(29) V(2:,^i, . . .,a;„,ai, . . .,a„) = o

une équation entre n-\- 1 variables z,Xi, . . .,Xn et n constantes, et supposons qu'entre cette équation et les suivantes

qui déterminent les dérivées pi, ...,/>„ de z, considérée comme fonction de x^, . . . ,Xn-, on élimine les constantes «j , . . . , a„. En général, si la forme de la fonction V n'est pas particulière, on sera conduit à une seule équation

(3i) F{z,Xi, .... Xn, Pi, ...,/j„) = o

entre z, Xi,pk. Lagrange a montré comment on peut intégrer cette équation.

11 est évident que l'on peut remplacer l'équation aux dérivées partielles par le système des équations (29), (3o), pourvu que dans ce système on ne regarde plus «i, ...,a„ que comme des fonctions, déterminées de manière à satisfaire à ces équations. Ainsi toute solution de l'équation (3i) poiura être remplacée par le système des équations (29), (3o),oùaj, . . ., a,, seront considérées comme des fonctions inconnues.

Cela posé, différentions l'équation (29), en tenant compte des formules (3o). Nous aurons

('61 bis) ^c«a^ + ...+^^rfa„==o.

Cette dernière équation admet plusieurs genres de solutions.

D'abord, si l'on suppose que a^, . . . , a„ soient des fonctions indépendantes, il faudra que Ton ait

Le résultat de l'élimination de Oj, . . . ,«„ entre les équations (29),

(32) donnera une première solution, la solution singulière.

En second lieu, on peut supposer qu'il existe ime ou plusieurs relations entre a^, . . ., «„ indépendantes de Xi, . . .,Xn. Écrivons toutes celles qui sont distinctes :

(33) /i(«i, ••.,««) = o, ...,/fc(«i, .. .,a„) = o.

La relation entre les différentielles da^, . . ,, da„ devra être identique à la combinaison

ce qui donne

\df^+ . , . -hhcl/'k.

Si entre les équations (29), (33), (34), on élimine Aj, . . .,Xfe, ttj, . . .,a„, on obtiendra encore une intégrale appelée intégrale générale, si k-<Zn, et intégrale complète, si a^, . . . , a„ sont liées par n équations, c'est-à-dire sont constantes. On voit que ce premier examen nous conduirait à distinguer n classes d'intégrales, suivant le nombre des relations établies entre les arbitraires aj, . . . ,cf„. La solution singulière, classée à part, serait en quelque sorte le dernier terme de cette série.

On peut encore, dans le cas des intégrales générales, diriger le calcul de la manière suivante. Supposons que les équations (33)

soient résolues par rapport à quelques-unes des arbitraires a,, par

rapport à «j, «2^ • •'■, CLk par exemple, et soient

(/ai = 6n (/afc ^ 1 + . . . + 61 , „ fc d'a^ ,