DV , , DV

En portant ces valeurs de dui, . . . , f/at dans l'équation (3 1 bis) et égalant à zéro les coefficients de da^^i, . . . , dOn-, on aiua les relations

qui détermineront Qk^i, •••,«« en fonction de z,Xi, . . . , Xn et qui donneront la solution complète du problème.

Ce procédé de Lagrange donne lieu à plusieurs remarques. D'abord il laisse de côté certaines intégrales complètes comme celles que nous avons rencontrées dans la théorie des équations linéaires, pour le cas de deux variables indépendantes. Dans ce cas, nous l'avons fait remarquer, on pourrait certainement trouver des intégrales complètes représentées par une seule équation; mais la véritable intégrale complète, ce sont les deux équations de la coiu-be qui engendre les intégrales. Cette remarque s'étend à un nombre quelconque de variables'^'.

Supposons, par exemple, que l'on parte de h relations entre les variables z,x-^, . . . , a;„ et w constantes a^ , . . . , a„

j2[z , Xiy X2, ' • -1 x^^ 0,1, . . .., a,)j = O , (36)

\ ./f* V ' 1 ' 2 ■) • • • 1 "^n ■< ^j , . . . , Ct„ j O ,

''^ Voir s. Lie : Zur Théorie der parlieller Differentialgleichungen , insbesondere ùber eine classification clerselben [Nachrichten de Goettingue, 1872, p. 48o).

et que l'on détermine les dérivées de z par les relation^

(37) {\'4t^ ■ ■ ■ Wéh+\U:+ ■ • • +^.^-°-

En éliminant «^ , . . . , a», Xj , . . . , X/i entre les équations précédentes, on sera conduit en général à une seule relation

(38) F{z,Xi,pk) = o,

qui sera une équation aux dérivées partielles, à laquelle satisfera z. Cette équation est précisément celle que l'on formerait par le procédé de Lagrange si les k équations (36) se réduisaient à une seule. Or on l'intègre encore par sa méthode.

Remarquons, en effet, que l'équation aux dérivées partielles peut être remplacée par le système (36), (37), où l'on regardera a^, ...,«„, Al, . . . , X/, comme des inconnues à déterminer. Or si l'on différentie totalement les équations (36) et que l'on forme la combinaison

Xl djy+ . . . + X/, ^//), = G ,

il reste l'équation

{\lè+ ■ ■ ■ +^^^)'^«.+- ■ ■+(^:^+ • ■ ■ +>'.'5^) <'«»=<>•

sur laquelle on peut faire les mêmes raisonnements que dans le cas examiné par Lagrange.

La solution singulière sera celle pour laquelle les coefficients de c/aj, . . . , dun seront nuls. Il y aura aussi des intégrales générales obtenues en établissant entre Oj, ...,«„ une ou plusieurs relations.

Ce genre nouveau d'intégrales complètes défini par les formules (36) ne conduit qu'à une classe particulière d'équations aux dérivées partielles, nous allons le montrer, mais il n'en est pas moins intéressant.

D'abord,' si les relations (36) sont au nombre de w, on pourra en déduire Oj, ...,«„ en fonction de z, a^^, . . . ,a;„, et l'équation (38) deviendra linéaire; soient

les valeurs de «j, . . . , a„. L'intégrale la plus générale sera alors :

Supposons maintenant que les relations (36) soient au nombre de h, h étant plus petit que n. Si on en tire a^, . . . , a/j en fonction des autres arbitraires et de Xi, ...,a:„,z, et qu'on substitue dans les équations (37), en éliminant Aj , . . . , X/i , on aura n — h-\- 1 équations linéaires en pi, ... ,^„, entre lesquelles il faudra encore éliminer a/, ^i, .. ,a„, si l'on veut avoir l'équation aux dérivées partielles cherchée.

Par exemple , si A = n — 1 , il reste deux équations linéaires qui admettront une intégrale commune avec n— 1 arbitraires et qui contiendront une dernière constante, «„ par exemple, qu'il faudrait éliminer entre ces deux équations pour avoir l'équation aux dérivées partielles cherchée. Nous voyons qu'ici, au lieu des deux classes d'équations , qui se présentent dans le cas de deux variables indépendantes, les équations linéaires et les équations non linéaires, nous en aurons n. La première sera formée des équations linéaires, la /i'^"" s'obtiendra en éliminant h— 1 constantes entre h équations linéaires admettant une solution commune de la plus grande étendue possible, c'est-à-dire avec n — h-\-i arbitraires.

L'intégrale complète (36), formée avec un nombre quelconque d'équations, comprenant celle de Lagrange conmie cas particulier, c'est sur elle que nous raisonnerons. Mais auparavant nous allons faire une remarque qui nous sera très utile et qui lève les difficultés que présente, dans bien des cas, l'absence d'une constante arbitraire dans une équation aux dérivées partielles.

Si les équations (36) contiennent, en dehors des constantes a,, une autre arbitraire a qui se retrouve dans féquation aux dérivées partielles, nous l'adjoindrons aux a,, en la mettant en évidence^ mais en hii faisant jouer un rôle différent. S'il n'y a pas de telle constante, on peut facilement l'introduire, sans faire subir aucune modification sérieuse aux solutions.

Supposons que z figure dans féquation aux dérivées partielles

et changeons z en 2: + a, nous aurons introduit l'arbitraire que nous cherchions. Si z n'entre pas dans l'équation, nous remplacerons l'une des variables ^,par X{-\-a. Enfin, si aucune des variables X{ ne figurait dans l'équation, nous remplacerions z par z-\raxi^ ce qui remplacerait j)[ par pi-ha et introduirait encore la constante a. Dans la suite, quand nous aruons besoin de préciser, nous introduirons la constante a avec z et nous ne négligerons qu'en apparence les équations où z ne figure pas, puisqu'on peut toujours faire reparaître la fonction en prenant comme nouvelle variable dépendante une des variables indépendantes ^, qui figurent dans cette équation.

Cela posé, soient

J2 ^ -^ •> '^l 1 • • • ■> "^n 1 ^ ■) fif 1 1 • • • 1 ^^n) — O 1

Jk ^ 2 1 ■^l 1 • • . , X„ , tt , fl j , ... ,fl,i j — G ,

les k équations qui nous servent de point de départ, et

(40) (x,it.+. . .+x/^),,+(x,y.+ •+\:^)-o

les équations qui déterminent les quantités pi. Notre hypothèse est que l'élimination des constantes </i, . . . , «„ entre ces équations conduit à une seule relation entre les quantités z,Xi,pk, contenant a. En d'autres termes, ces équations définissent «, «1, . . . , a„ comme n-f- 1 fonctions de z.Xi.pu. Gela posé, nous ne considérerons plus Py, . . .,/)„ comme desdérivées, maisbienles 2n-\- 1 variables z , x, , /j^ comme indépendantes au même titre. Les équations (Sg), [l\.o) définiront n-\- i fonctions a, aj, . . . , a„ de ces 2n-\- 1 variables indépendantes.

Introduisons les n fonctions nouvelles définies par les équations

(4') {\f:- ■ ■ ■ +h'é)'^+\^^ ■ ■ ■ +^*iHf-°'

et formons l'équation

Nous aurons, en tenant compte des formules (4o), (4i)

Si donc nous posons

ià^) p{\'-é+ ■ ■ ■ +^^'-é)+\iî+ ■ ■ ■ +^^1r=°'

nous aurons

(4-3) da — bidai — .,. — bndan = p[dz — pidxi-'...—pndx„).

C'est l'équation étudiée dans les lemmes préliminaires. Du premier de ces lemmes nous concluons d'abord que les 2n-|- i fonctions a,ai, ...,«„, 61, , . . ybn sont indépendantes, et que l'on peut exprimer z,Xi,pk en fonction de a, a^, 6^.

Jusqu'ici nous avons considéré z,Xi,pk comme autant de variables indépendantes. Supposons maintenant que , regardant z comme une fonction des n varial3les a;,- et pi, ...,/>„ comme ses dérivées, on veuille intégrer l'équation

a = constante , on aura

(/a = o , dz = pi dxi -h ... -\-pn dxn -,

et l'identité (43) nous donnera

(44) ^1 dai 4- 62 da^ + . . . +hn dan = o.

Or nous avons vu (lemme IV) que, pour satisfaire à cette équation, il faut établir n relations entre les 2w variables a,, bk, en sorte que n seulement de ces 2n variables peuvent être choisies arbitrairement.

On pourra d'abord poser

(45) 61 = 0, 62 = 0, . . . , 6rt = o.

En second lieu, si l'on suppose qu'il existe une seule relation entre ai, ...,«„,

En général, si l'on suppose qu'il existe /— i relations entre a^, , . . , a„, on aura

^vf',-

Réciproquement, supposons que l'équation (44) ait été résolue de l'une quelconque des manières précédentes qui laissent subsister n arbitraires indépendantes, et voyons si nous aurons une solution de l'équation aux dérivées partielles

a = constante.

Les 271+ 1 variables z.Xi^pu, qui étaient des fonctions indépendantes de a.ai.hk-, deviennent maintenant des fonctions de n variables seulement, puisque a est traitée comme une constante et qu'il y a n relations entre lésa,, 6^. Donc, en général, il existera n 4- 1 relations entre

Z , X-^ , . . . , Xfi , Pi , . . . , Pu ,

qui permettront d'exprimer z,pi^ . . . , p„ en fonction de o^i, . . , , x„. Comme d'ailleurs en vertu de l'identité (43) on a ici

(lz = pidxi-\- .. . -hpndxn,

pi, ...,/)„ seront bien les dérivées de z. Donc, en général, la mé-

Sav. étrang. t. XXVII. — N" 2. i3

fhode de Lagrange conduit à une solution. Voyons maintenant quels

sont les cas d'exception du raisonnement précédent.

Les fonctions z,Xi,pk étaient des fonctions indépendantes de a, a,-, bk'-, mais lorsqu'on a écrit les relations qui existent entre les a;, bit, et traité a comme vme constante, elles deviennent des fonctions de n variables seulement. Or il peut se faire que félimination de ces n variables conduise à plus de « + i équations entre z,Xi, . . . , a;„ , /jj , . . . , pn. Ainsi, en dehors même des cas d'impossibilité des équations que nous laissons de côté, voilà une première difficulté qui peut se présenter et qui montre que, si la méthode de Lagrange doit donner toutes les solutions, elle ne donnera pas nécessairement des solutions.

Considérons, par exemple, l'intégrale complète

Z ~T~ a ^^ Ct]^ ^1 ~r" ^2 '^3 ^2 '

d'où l'on déduit

/Jj — O Wj jC-\ "t~ 2 a^ CC-y 00^ , C/j — JOj ,

si l'on cherche la solution correspondante à l'hypothèse

6] = G , 62=^0, on trouvera

0^1 = 0, z = — a, Pi = o, /?2 = 0'

c'est-à-dire quatre relations entre x, z,pi,p2, au lieu de trois que f on devait avoir seulement.

Mais ce cas d'exception se présente très rarement; il y en a un autre qu'il est plus important de considérer.

Nous avons vu que z,Xi, pk deviennent en général, par la solution de l'équation

61 dai -j- . . . +bn da„ = o ,

des fonctions de n variables indépendantes. Supposons que l'élimination de ces n variables indépendantes conduise à « + 1 relations seulement entre

z , Xif . . . , Xfi 1 Pi', • • • , Pn-

La méthode de Lagrange pourra encore se trouver en défaut si parmi ces r+ i relations distinctes il y en a plusieurs contenant seulement z, Xi, . . . , ;r„.

Par exemple, dans le cas de deux variables indépendantes, on cherchait une surface; on trouve une courbe ou un point : la solution disparait.

Remarquons que , dans le cas actuel, 2, x,, pk sont liées par n + 1 relations, et d'ailleurs l'on a encore

dz=pi dxi + . . . -\-pn dxn.

Donc, d'après le lemme III, pour avoir toutes les relations qui existent entre les varialjles, il faut seulement connaître celles qui sont indépendantes de pi , ... /j„ et qui conduisent à exprimer n + 1 de ces variables en fonction des n autres.

Par une extension donnée au mot solution, extension qui est due à M. Lie, nous ferons la convention suivante.

Nous appellerons solution tout système de valeurs de z,Xi,pi, dépendant réellement de n variables indépendantes et pour lequel on aura

dz = pi dxi +.••+/)« dxn-

Une telle solution est, d'après le lemme III, complètement définie quand on connaît toutes les relations qui existent entre z,Xi, . . .,x„.

Par exemple, pour le cas de deux variables, nous considérerons comme solution une courbe accompagnée de ses plans tangents, un point accompagné de tous les plans qui y passent, et cette convention diminuera beaucoup les cas d'exception de la méthode de Lagrange.

On peut encore la présenter de la manière suivante. Appelons élément un système de valeurs des 271+ 1 quantités z,Xi, pk. Par exemple, pour le cas de deux variables. Vêlement sera un point accompagné d'un plan qui y passe. Alors l'équation aux dérivées pao-tieUes définit ime propriété de l'élément, et nous appelons solution

tout groupe d'éléments dépendant de n arbitraires indépendantes et pour

lequel on a

dz = pidxi-{- ... +pn dxn-

Ainsi, dans le cas de deux variables, pour un point accompagné de tous les plans qui y passent, p et q sont arbitraires. D'ailleurs la relation

dz = pdx-]-qdy

est satisfaite, puisque, lorsqu'on passe d'un élément à un autre, on a

dz = o, ote=o, dy = o.

Donc, nous aurons ainsi une solution. Mais un plan accompagné des plans tangents d'un cône ne donnerait pas une solution, parce que l'élément ne dépendrait que d'une seule variable indépendante.

Ces conventions nous paraissent offrir de grands avantages. Elles empêchent notamment certaines solutions de se perdre quand on fait des transformations fort simples. Ainsi, supposons qu'ime équation aux dérivées partielles admette comme intégrale une sphère. Transformons par rayons vectems réciproques, de manière à avoir un plan. C'est encore une solution. Mais si Ton transforme maintenant par polaires réciproques , les points de ce plan se transforment en plans passant par un point fixe, ce qu'on ne regarde pas d'habitude comme une solution. Pour nous ce point, accompagné de tous les plans qui y passent, demeure une intégrale.

Prenons de même une surface développable, la même transformation en fait une courbe accompagnée de tous ses plans tangents.

Du reste , ces solutions nouvelles que nous proposons d'introduire ne compliqueront aucune de nos discussions, et même, par une transformation fort simple, on pourra toujours les ramener aux solutions normales.

Supposons, en effet, que l'une de ces solutions soit représentée par les équations

On aura, d'après le lemme III,

Z,Xi, ...,^Jt j, jPfc,pfc^i, ••'iPni

exprimés en fonction des n variables indépendantes

Si donc on pose

(48) z' = z-pyx^~ ... -pk-iOCk i,

2' pourra s'exprimer en fonction des variables indépendantes, et l'on aura

i dz'=dz-d{p^Xi...-hpk iXi,,)

( -=— {Xi dp^^ ... -\- Xk-^ dpk-i) + pkdxk^ ... -\- PndXn,

ce qui donne, en prenant comme nouvelles variables indépendantes

Pl 1 ' - ' 1 Pk — 1 1 -^k ■> ' • ' 1 «^n

et z comme nouvelle fonction : 1° une seule relation entre z' et les variables indépendantes; 2° les formules

qui permettent de réaliser très simplement le changement de variables indiqué. Ainsi, on peut toujours ramener, par im changement de variables des plus simples , une solution quelconque à être représentée par une seule équation.

§ 18. EXAMEN DES DIFFERENTES CLASSES DE SOLUTIONS; PASSAGE D'UNE INTEGRALE COMPLETE À UNE AUTRE.

Si nous nous contentions de l'examen rapide qui précède, la solution singulière n'aurait pas l'importance exceptionnelle qu'on doit lui attribuer. Il y aurait 7i+i classes d'intégrales, suivant qu'on établirait n, n — i , . . ., 2 , i , o relations entre les arbitraires a,. La solution singulière formerait à elle seule la dernière classe , chacune des n autres devant être étudiée avec le même soin. En fait, cette distinction est inexacte ; les intégrales que nous avons appelées générales et complètes appartiennent à un groupe unique , et leur différence apparente ne provient que du choix de fintégrale complète qui sert de point de départ. C'est ce qu'on peut élabhr en étudiant la relation entre deux intégrales complètes quelconques de la même équation aux dérivées partielles.

Rappelons rapidement les points établis. Des formules (39) définissant l'intégrale complète nous avons déduit fidentité fondamentale

( 5 1 ) c/a — 6] da^ — . . . — 6„ dan = p(dz — pidxi—. . . — /)„ dxn) .

où «1 , . . . , a,8, 61 , . . . , 6„, p sont des fonctions de 2n-\- t variables indépendantes 2:,a;j-,pfc, fonctions qui seront complètement déterminées lorsqu'on connaîtra le groupe des formules (Sq). Réciproquement, toute identité de la forme précédente vérifiée par des fonctions a,-, 6^ des 2n~\- 1 variables z,œi,pk-, donnera naissance à une intégrale complète. Les relations qui existent entre les variables ZyXi, ...,Xn-, a, ai, ..., ttn étant écrites constitueront le système analogue aux formules ( 89 ) et suffiront à déterminer toutes les autres fonctions bi,pk.

Si donc a;, (3fc désignent les fonctions qui jouent le rôle des aj, bk pour une autre intégrale complète, a,, (S^. devront satisfaire uniquement à une identité de la forme :

(52 ) da — ^ddy—...— (3„ doL^ = p' {dz — pidœi— . . . —pn dx„).

On aura donc, en vertu de la formule (5 i ) ,

( 53 ) (la — ^i doci — . . . — jS„ chn = <T[da — b^ da^ — . . . — è„ f/«„) , où la valeur de a est

La formule (53) contient et définit toutes les relations qui existent entre deux intégrales complètes.

Elle est d'ailleurs identique àféquation traitée dans le lemme 1, quand dans le premier membre on remplace a par a. Elle devient, en effet, après cette substitution,

dcL — |3i dcLi — . . . ~ jS„ dcLn = a [da — bi dUi — . . . — b,, da„) ,

et ne dilfère que par les notations de celle du lemme I. Pour la résoudre de manière que Ton ait a = a, il suffira de choisir convenablement l'une des relations entre les a et les «, de partir du système d'équations suivant

,. ,, , "^1 (a,«i «,M ai a„) = o,

\ -^hia^ay a„,ai, .. .,a„) = o,

et l'on aura les quantités 6„ jS,- par les formules :

(55) Ur^+H==°

Telles sont les formules qui résolvent l'identité (53) et qui nous permettent de passer d'une intégrale complète à une autre.

Mais on peut en trouver de plus simples, en imaginant que la constante arbitraire a ait été introduite d'une manière spéciale ,

par exemple en changeant z en a + 2:. Alors toutes les dérivées par rapport à a et à 2: seront égales, et la formule qui définit p nous donne p = — 1. Par suite, l'identité (5i) relative à chaque intégrale complète prend la forme plus simple

( dz — pi dXi — ... — f)n dXn

I = — [da — bi da^ ... — 6„ da^)

et la formule (53) devient alors

( 67 ) bida^^ ... -h bnda„=^^idoLi -{-... +^ri doi„ ,

où a ne figure plus.

Cette équation se résout comme la précédente; soient

!»! =/i ( a^ , . . . , a„ , fli , . . . , a„)

afc i=/fc i(afc, . . . ,a„, ai,...,a„)

les ^— 1 relations distinctes existant entre les variables a,, a,. En substituant les différentielles dcci, . . ., dcck-i dans l'identité (67), on aura

da.

ih)

Telles sont les formules qui résoudront la question. Remarquons que cette solution est tout à fait indépendante de l'équation particulière choisie; elle sera la même pour toutes les équations aux dérivées partielles.

Les formules précédentes nous donneront pour ai,...,a„, |3i , . . ., ^„, des résultais de la forme

(Go) ^

dont la forme donne lieu à d'importantes conséquences.

Nous voyons d'abord que, pour la nouvelle intégrale complète, les différentes classes d'intégrales précédemment obtenues ne seront plus distinguées.

x\insi les anciennes intégrales complètes, celles qu'on obtiendrait en laissant «i , . . . , «„ constantes, nous donneront pour «i, . . . , a„ des fonctions de ces constantes et de n — i variables à éliminer

T^, • • • > T^; il y aura donc, en général, une seule relation entre les

arbitraires ttj, . . . , a„, et l'on reconnaîtra aisément que celle conclusion s'applique aux dillerentes classes d'intégrales générales. ' Il n'en est plus de même pour fintégrale singulière. Si nous faisons, en effet, dans les n premières formules (Sq)

èj ^ 62 = ... =

ces

formules

nous donnent

car

tous

les d

énominateurs tels que

ne peuvent être nuls; sans quoi il y aurait, en vertu des formules ( 58 ) , une relation entre a^ , . . . , a,, , ce qui est inadmissible. Les dernières équations (69) nous donnent ensuite

Ainsi, l'intégrale singulière forme bien une classe à part, indépendante de l'intégrale complète choisie.

Sav. étra>g. t. XX vu. — N° 2. ,4

Mais, après la démonstration de ce point essentiel, nous avons à signaler un autre fait curieux, relatif à l'intégrale singidière.

Supposons, pour fixer les idées, que , la première intégrale complète ayant été choisie , «i , . . . , a„ soient des fonctions ayant des valeurs déterminées pour chaque élément de l'intégrale singidière. C'est ce qui arrive, par exemple, pour le cas de deux variables, si les intégrales complètes touchent leur enveloppe en un nombre limité de points et s'il y en a un nombre limité tangent en chaque point à l'enveloppe. Alors les constantes a et è sont pour chaque point de l'enveloppe des fonctions déterminées de x et de y. C'est là, du reste, le cas général dans la théorie des enveloppes.

Mais si «1, ...,«„ sont déterminés pour chaque point de l'enveloppe, il n'en sera plus de même quand on changera d'intégrale complète. Les formules (60) nous présentent a^, . . . , a„ comme

fonctions de a^ ... a„ et de quantités ^^ • • - i-r-i qui sont tout à fait

arbitraires, puisqu'elles sont des rapports de deux quantités qui deviennent nulles. En désignant par fXj . . . , (X^ ceux de ces rapports qui subsistent dans les formules (60), on voit que ces formules nous présentent ai, . . . , a„ comme des fonctions de la forme

(61) a; = (p;(ai, ...,a„, ftj, ...,ju.r),

où l'on peut prendre arbitrairement jùLi, . . . , f/.,.. Les nouvelles valeurs CLi correspondantes à un élément de fintégrale singulière ne sont donc plus déterminées, et, s'il est permis d'employer ce langage géométrique, parmi les nouvelle^s intégrales complètes, il y en a une infinité qui sont tangentes au même point de l'intégrale singulière.

Ce résultat sera pleinement confirmé et éclairci par les remarques géométriques suivantes relatives au cas de deux variables. Soient des intégrales complètes 1 touchant, chacune en un nombre limité de points, fintégrale singulière (2). Toute autre intégrale complète 1' sera formée en prenant l'enveloppe des intégrales I touchant (S) suivant les différents points d'une courbe contenant

dans ses équations deux paramètres variables a et (3. Comme il passe une infinité de telles courbes par chaque point de l'intégrale singulière, on voit que a et |3 ne seront pas des fonctions déterminées en chaque point de cette intégrale.

Par exemple, si les premières intégrales complètes sont les plans tangents à une surface (S), soient a et b les paramètres qui fixent la position de ces plans; o et b seront des fonctions déterminées des coordonnées du point de contact de chaque plan. Mais si nous prenons comme nouvelles solutions complètes les surfaces développables circonscrites, par exemple, à (2) suivant les sections planes, parallèles à Taxe des z, dont f équation est

aet jSne seront plus des fonctions déterminées en chaque point de (2) et, par conséquent, ne seront pas des fonctions déterminées de a et de 6, puisque, en chaque point de la surface, il passe une infinité de sections parallèles à Taxe des z.

Le fait que nous venons de signaler entraîne une autre conséquence. Les formules (6i) contenant r arbitraires (U-j, ...,fjLr, si nous étailDlissons , pour trouver une intégrale générale au moyen de la nouvelle intégrale complète, r relations, ou moins de r relations entre ai , . . . , a^j , on pourra disposer des arbitraires pLi , . . . , pt,,. des formules (6 i), de manière à satisfaire à ces relations. Si donc on prend pour «j , ...,a„ les valeurs qui correspondent aux éléments de fintégrale singulière, et que l'on fasse

les formules (6o) seront vérifiées, et l'on trouvera la solution singulière. Ainsi, cette solution se trouvera en facteur dans toutes les intégrales générales pour lesquelles on établira r ou moins de r relations entre les nouvelles arbitraires a^, . . . , a„.

Par exemple, si, reprenant fexemple déjà traité, on substitue aux plans tangents à une surface (S) les développables circonscrites suivant les sections planes parallèles à Oz, toute enveloppe

d'une suite simple de ces surfaces comprendra évidemment en

facteur la surface (2).

Quoi qu'il en soit de ces remarques, il est établi que la solution singulière, quand elle existe, satisfait, quelle que soit l'intégrale complète, aux équations

èi = G , . . . , 6„ = G ,

et cette propriété fondamentale va nous apprendre comment on la déduit de l'équation aux dérivées partielles, sans passer par aucune intégrale complète.

§ 19. LA SOLUTION SINGULIERE DEDUITE DE L'EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES.

Supposons toujours, pour plus de netteté, que la constante a soit liée à z, en sorte que l'équation aux dérivées partielles soit de la forme

(62) Y[z + a,x^,x^, ...,x„,pi,p2, ...,/J„) = G,

et désignons par

( 63 ) Z (t/2: + c?a) + Xi J^i ... + X„(/.r„ + Pi ^/^i + ... + P» dp,,

sa différentielle totale. L'identité (56) deviendra ici

( 64 ) da — bidai— . . . — bn da^ = — [dz — pi dxi — ... — /j„ dXn)-

Cela posé , pour la solution singulière on a

Ainsi, les valeurs de 2, xi, pi, correspondantes à un élément de cette solution satisfont à ces n équations. Partons d'un système de valeurs z,^;,-,/;/, satisfaisant à ces équations, mais donnons à dz, dxi, dpk des valeurs quelconques. Quelles que soient ces valeurs, la formule (64) nous donnera pour la différentielle de da l'expression (65) da= — dz + pi dxi^ ... -^pndxn

indépendante de dpi, . . . , dp,,. Or l'équation (62), qui définit a consi-

dérée comme fonction des variables indépendantes z.xi.pu, nous donne aussi sa différentielle. Nous en déduisons

' da = — dz — Y dx^ . . . -^ dx^ ~^df^— • - • —-^ dp^-

En comparant cette expression à la formule (65), on voit que nous devons avoir

( Pi=o,. . ., P„ = o,

( Xi+piZ = o,...,X„ + /j„Z = o.

Ainsi, la solution singulière doit satisfaire, en même temps quà l'équation proposée, aux 27i équations (66).

Nous sommes donc conduit à un résultat tout semblable à celui que nous avons obtenu dans le cas de deux variables, et nous voyons que, pour les équations aux dérivées partielles formées par l'élimination des constantes, les 2n+ i équations qu'on obtient en adjoignant aux équations (66) l'équation proposée doivent être vériiiées, en général, si l'ou y remplace z,pi, ... ,/;„ par des fonctions convenablement choisies Aq x^.x^^ ... ,^,j. Nous reviendrons sur cette conclusion paradoxale, mais auparavant nous allons en signaler une autre du même genre et qui mettra bien en évidence la nature si particulière des équations aux dérivées partielles formées par l'élimination des constantes.

Reprenons, à cet effet, les équations qui nous ont servi de point de départ et, pour plus de netteté, bornons-nous à l'intégrale complète de Lagrange

V ^Z , X\ , . . . , Xfi , cZ , U] , . . . , u„ j = G ,

que nous supposerons même entière et algébrique par rapport aux constantes aj, . . . , a„, pour donner plus de force à notre raisonnement.

Considérons les 2n équations

qui, jointes à la précédente, détermineront a.a^^ ...,«« comme fonctions des 2n4- i variables indépendantes z^x^pk-

Exprimons que les équations

sont satisfaites par deux systèmes de valeurs des arbitraires a, a, :

W ^ Cti ^ 1*9 ^ t • • ^ tt^ ^

Cl f ttj , 1*2 1 • • • 1 ^n '

pour lesquels la valeur de a est la même.

Nous obtiendrons ainsi 2n-\-2 équations qui, par l'élimination des arbitraires a;, a\ au nombre de 2n, nous conduiront à deux équations seulement entre z,Xi,pk. Soient ,

Fi{z,œi,pk,a) = o, h\ (z, x;, /j^, a) = o

ces deux relations. Gomme on a

da — bidai— . . . —bn da„ = p [dz — p^dx^— ... — /)„ dxn),

il est évident que la différentielle da de «, considérée comme fonction des variables z,Xi,pk, aura deux valeurs suivant qu'on adoptera pour aj , . . . , a„ l'un ou l'autre des deux systèmes de valeurs

it j , ... ,Ct,j ,

Puisque cette différentielle da aura deux valeurs , il faudra que son expression fournie par l'équation aux dérivées partielles soit indéterminée.

Or cette expression est donnée par la formule

Zda + Uz + Xi (iri + ... + P^ d^i 4- • • . -\-P„dp„ = o.

Il faudra donc que l'on ait

F = o, Z=o, X, = o, Pfc=o,

et, par conséquent,

(67) F = o, X,-f-p.Z = o, Pfc=o, Z = o.

Ainsi, nous arrivons à cette conclusion que le système (66), joint à

l'équation proposée et qui paraîtrait à un premier examen être plus que suffisant pour définir la solution singulière, est encore susceptible d'une autre solution, dans laquelle il équivaudra seulement à deux relations entre les 2w4- i variables z, x-^, pi^, et pour laquelle on aura, en outre,

C'est la généralisation d'un résultat déjà obtenu pour les équations aux dérivées ordinaires. On peut le confirmer et l'expliquer par quelques remarques géométriques relatives au cas de deux variables indépendantes. Démontrons-le même directement pour ce cas particulier.

Considérons une intégrale complète quelconque. Les plans tangents à celles des intégrales complètes qui passent en un point M y enveloppent un cône que nous avons appelé cône (T), et les normales à ce point décrivent un cône, le cône (N) des normales. Or ces deux cônes, étant formés par élimination , auront régulièrement, l'un, le cône (T), des plans tangents doubles, et l'autre, le cône (N), des droites doid3les. Prenons, par exemple, comme intégrales complètes, les plans tangents à vme surface (S). Le cône (T) sera le cône de sommet M circonscrit à (S) ; il aura pour plans tangents doubles tous les plans tangents doubles à la surface qui passent par le point M.

Ainsi, en tout point de l'espace, il y aura des droites doubles sur le cône des normales, et, par conséquent, si

est l'équation aux dérivées partielles, il existera des valeurs de p et de q

(69) p = (p(x,y,z), q = ^P{x,y,z), pour lesquelles on aura

D'autre part, considérons l'une des intégrales complètes tangentes

en M à ce plan tangent double. Pour cette intégrale l'équalion aux

dérivées partielles et par conséquent ses dérivées seront satisfaites.

En prenant les dérivées, on trouve

Ainsi les trois équations (68), (71), devront être vérifiées par les valeurs de p et de g déduites des formules (70). C'est, pour le cas de deux variables, le résultat général que nous avons obtenu plus haut.

S 20. DU RÉSULTAT PARADOXAL AUQUEL CONDUIT LA THEORIE DE LA SOLUTION SINGULIERE.

Les conséquences de la théorie précédente relatives à fintégrale singulière nous conduisent à ce résultat très remarquable que, étant donnée Téquation

(72) F{z,Xi, ...,x„,pi, ...,/)„) = 0,

elle admet une solution, la solution singulière, pour tous les éléments de laquelle les relations suivantes

l-ii = o,..., i,( = o,

( Xi-fZ/^i = o,...,X„ + Z/;„=o,

doivent être satisfaites. 11 suit de là que, si nous nous contentons de fexamen du cas normal, celui où la solution singulière est représentée par une seule équation entre z,Xi, . . . , .r„ (et nous savons qu'on peut ramener tous les cas à celui-là), les 2n+ 1 équations (72), (78) doivent être vérifiées en y mettant pour z, p^, . - • .p,, des fonctions convenablement choisies de Xj , . . . , o'n, et telles en outre que pi soit la dérivée de z par rapport à ^,. Or im tel résultat est tout à fait extraordinaire, car ces 2/1+1 équations ne contiennent que 2n-\~ 1 variables, et il semble qu'elles doivent les déterminer toutes.

Toutefois, comme elles ne sont pas formées d'une manière quelconque , mais au moyen d'une seule fonction et de ses dérivées,

SOLUTIOiNS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS. 113

il est indispensable de démontrer directement que, la fonction F étant prise arbitrairement, elles ne peuvent être, en général, vérifiées par des valeurs de z, p^, ...,/)„, fonctions de o^i , . . . , x,^.

Au raisonnement de farticle i 3 , qui s'applique ici sans modification, nous ajouterons le suivant :

Soient

, Z=J[Xi, . .. ,Xn)

{ Pi — Ji 1^1 1 • • • i^n)

les valeurs de z,pi tirées des n-\- 1 équations

S'il y avait une solution singulière, pi serait la dérivée de z par rapport à Xi. On aurait

Or je dis que cela n'a pas lieu, en général. Supposons en clfet que F contienne une constante a, qui figurera nécessairement dans une des fonctions /,yi. Si Ton remplace a par une fonction quelconque de ^1 , . . . , ^„ , la constitution des équations ( 7 5 ) ne sera pas changée. On aura les mêmes valeurs (7^) de z,pi, mais a ne sera plus constante. Si /;, était toujours la dérivée de /par rapport à X, on devrait avoir maintenant

«^ ' Z>a.v du 1)0;, '

quelle que soit la fonction a, résultat évidemment impossible. Par conséquent, nous obtenons la proposition suivante ;

Une équation aux dérivées partielles , formée directement cV une manière quelconque, n'a pas en général de solution singulière.

Ainsi, pendant que, partant de la notion de fintégrale complète , nous avons reconnu comme un fait normal, confirmé par un grand nombre d'exemples, fexistence de la solution singulière, au contraire, en partant de féquation aux dérivées partielles nous oble-

SaV. ÉTRA.NG. t. XXVII. — N° 2. l5

lia G. DARBOUX.

lions cette conclusion qu'il n'y a pas d'intégrale singulière. Cette contradiction ne détruit pas le mérite de la belle conception de Lagrange; mais elle montre, elle fait prévoir que l'intégrale complète n'a pm d'exislence dans un champ assez étendu des variables dont elle dépend pour qu'on ait le droit d'appliquer les principes de la théorie des enveloppes.

Nous voyons bien que les équations formées par l'élimination des constantes auront, en général, une intégrale singulière; mais les équations, en bien plus grand nombre, qu'on ne sait pas intégrer dans le sens habiluellement attaché à ces mots, celles qui ont été formées directement et d'une manière quelconque, n'en auront pas.

Pour donner une définition de l'intégrale singulière s'appliquant à tous les cas, nous adopterons la convention suivante :

Toute intégrale d'une équation aux dérivées partielles

sera dite singulière, si pour chacun de ses éléments les in relations

1 ] == o „ ^ . ,. , r.„ = -O , X)+Z/jj = o X„^-Z/;„-=Q,

sont satisfaites, et s'il existe en outre des intégrales de l'équation ne satisfaisant pas à ces relations.

Celte dernière restriction a pour but d'éliminer, par exemple, des équations dont les premiers membres seraient des puissances m''"'" parfaites

11 est clair, du reste, que, si les 2n équations

P,- = o , X/,. + Z/Jt = o

sont satisfaites en même temps que la proposée, cela tient à ce (jue l'on n'a pasia forme délinitive et la plus simple de cette équation.

Nous commencerons en indiquant les moyens de trouver ies solutions singulières, quand il y en a.