S 21. RECHERCHE DES SOLUTIONS SINGULIERES

Reprenons les équations

( 1, = 0, Afc + //;/, = O,

auxquelles doit satisfaire toute solution singulière, et examinons les différents cas qui peuvent se présenter :

i" Elles se réduisent à plus de «4- 1 équations distinctes, et, par conséquent, elles déterminent 2", ^j-,/)/, comme fonctions de moins de n arbitraires indépendantes. Dans ce cas, elles ne peuvent donner une solution.

2° Supposons quelles se réduisent à 7i+ i distinctes et quelles permettent, par exemple , de définir z, p\, ... ,^„ en fonction de Xi, x^, . . . , x„. 11 pourra arriver que /^j , . . , , /;„ ne soient pas les dérivées d^ z, et alors il n'y aura pas de solution singulière. Si au contraire pi est la dérivée de z par rapport à Xi, nous aurons trouvé une solution satisfaisant à la définition de la solution singulière.

Je dis (p-ie, par suite du caractère particulier des équations (76) , cette dernière condition, que /); soit la dérivée de z, sera toujours satisfaite tant que Z sera différent de zéro. En effet, différentions l'équation proposée F = o , en y regardant z , xi.pk comme autant de variables indépendantes, nous aurons

Xi (/j^i + . . . 4- Zdz + Pi dpi H- . . . + Pn dp„ = o , ou, en tenant compte des équations (76), (77) Z(dz~pid'ii— ... —pndxn)^0'.

Si donc Z n^est pas nul, on aura

dz — pi dxi —...—/)„ dxn = o , et, par conséquent, /), est la dérivée de z par rapport à xi.

Supposons maintenant que Z soit nul. Nous avons toujours un moyen assuré : nous pouvons vérifier directement si /^^ , . . . , p„ sont les dérivées de z. On peut aussi employer la méthode suivante.

Si les équations (76) conviennent à la solution singulière, on peut les différentier, ce qui fera apparaître les dérivées secondes de z. Ajoutons au système (76) féquation

qui, par hypothèse est satisfaite, et supprimons F, dont la différentielle est identiquement nulle. Nous aurons ainsi un système de 2 7?+ 1 équations, que nous écrivons

Les dérivées de ces équations contiendront les dérivées secondes

T — y- = p{k' Je suppose qu'elles ne soient pas incompatibles et que

les équations qu'on obtiendra, s'il y a lieu, par félimination des dérivées secondes de z entre les n (2n-|- 1) dérivées des équations précédentes, soient toutes vérifiées par les valeiij's dez, pi déjà données par les équations (76). Ce point étant admis, je reprends le système (77)*, et je le différentie sans y introduire les dérivées secondes de z, mais en considérant z, pi comme des variables indépendantes. Nous aurons des équations du type suivant

Da;, 1 ?p, ' 1 ' '32

Retranchons-en celles que nous avons obtenues en faisant

dz = pi cki+ ... +/j„ dœ„ , dpi == pii dx^^~ ... + Pi,, dxn ,

et qui, par hypothèse, sont vérifiées par des valeurs convenables des quantités pi],. Nous aurons des relations de la forme

Hr^^^-Pi^^^i Pn^'^n)

Ces relations sont au nombre de 2 7? + i ; lorsque tous les déterminants formés avec les lignes

ne sont pas nuls, elles nous donnent, si nous y considérons comme des inconnues les fonctions linéaires

dz —pi dxi ~ . . . ~ p„ dxn,

dpi — pii dXi— ... — Pin dxn ,

des valeurs nulles de ces inconnues. On a donc, en particulier,

dz = pi dXx + ... -\-pn dXn ,

ce qui prouve que p^ , . . . , y5„ sont les dérivées de z et que , par conséquent, nous avons une solution.

Si tous les déterminants que nous venons de considérer sont nuls, on pourra appliquer au troisième ordre une méthode analogue. Comme nous avons déjà la méthode de vérification directe, nous n'insisterons pas davantage sur ce point. L'exemple de l'équation

prouve que Ton pourrait être obligé de continuer ainsi jusqu'à un ordre quelconque.

3^ Examinons maintenant le cas où les 2«+ i équations (76) se réduisent à moins de n-|- 1 distinctes. L'examen de ce cas est d'autant plus nécessaire que, d'après une remarque déjà faite à l'article 1 9, les équations aux dérivées partielles formées par l'élimination des constantes jouissent de celte propriété que les 2 n -h 1 équations (76) sont vérifiées quand on établit seulement deux équations entre z,X{,pk. Il importe donc de reconnaître si à une telle solution du système (76) ne pourraient pas correspondre des solutions singulières.

Il résulte d'abord de la forme particulière des équations (76) que, dans ce cas, Z sera toujours nul.

118 G. OARBOUX.

En effet,, ici encore réquation (77) anara lien, et si Z n'était pas nul on en déduirait

dz = pi clxi -i- . . .+/)„cte„,

identité qui, d'après le iemme III, équivaut au moins à aï -h 1 relations distinctes entre les quantités z,Xi,pk.

Comme il y en a ici , par hypothèse , moins de n + 1 , il faut donc que l'on ait

Soient

/i = o , /a = G , . . . ,yi, = o , /î <C n + 1 ,

les relations distinctes auxquelles se réduit le système (76).

S'il y a une solution singulière pour laquelle toutes ces relations sont satisfaites, ces relations , considérées comme autani d' éqwaiions aux dérivées partielles , devront avoir une solution commune.

Or on sait reconnaître si de telles équations sont incompatible», ou si elles admettent des solutions communes, et, quand elles admettent des solutions communes, on sait ramener la recherche de ces solutions à l'intégration d'une seule équation aux dérivées partielles. On intégrera, si on le peut, cette équation et l'on aura les solutions singulières.

Il n'y a rien de particulier à dire sur le système d'éq^uations simultanées que nous rencontrons ici. Quoiqu'il soit dérivé d'une seule fonction, il pourra être tout à fait général.

Soient, par exemple,

Fi = G, F2 = G , F3 = G , trais^ équations admettant des solutions conmiunes. L'équation

admettra ces solutions communes comme solutions singulières.

Voici un exemple simple où il y aura encore des solutions singulières en nombre illimité. Soit

une équation à intégrer. Toutes les équations (76) sont vérifiées par le système

qui admet les différentes intégrales

[x-aY

Tontes ces solutions, satisfaisant à notre définition, sont pour nouts d«$ solutions singulières.

Le poÏTit eesentiei de la ihéorie des solutions singulières conskte iiiaiîîtenant dans la solution rigoureuse de la question suivante :

Rechercher s'il y a des solutions ayani des éléments communs avec la solution singulière et comment elles sont disposées dans le voisinage de cette solution; en un mot intégrer l'équation aux dérivées partielles dans le vêisinage de la solution singulière, afin de reconnaître si les relations de contact signalées pour les équations aux dérivées partielles formées par l'élimination des constantes subsistent dans tous les cas.

Mais cette étude se iie à celle de l'intégration des équations aux dérivées partielles par les méthodes de Cauchy, étude qui fera l'o'bjet de notre troisième partie.

A^ant de la commencer, nous examinerons encore quelques questions relatives aux équations formées par l'élinnuation des constantes.

S 22. DE L'ORDRE DU CONTACT DES INTEGRALES GENERALES AVEC L'INTÉGRALE SINGULIERE.

Considérons l'intégrale complète.

(79) V(2:,Xi, ...,j-„,ai, ,..,a„) = o,

et supposons que l'élimination de «i , . . . , a„ entre l'équation précédente et les suivantes

conduise à une relation

(81) z=f{xi, ...,x„),

qui représentera la solution singulière. Nous supposerons que , pour chaque solution de cette équation ou, si l'on veut, pour chaque élément de l'intégrale singulière , «j , . . . , a„ soient des fonctions indépendantes et déterminées de ^1, . . . ,a;„. C'est ce qui arrivera toutes les fois que chaque intégrale complète aura en commun avec la solution singulière un nombre limité d'éléments. Si nous efléctuons la substitution

Z == Zi -jrj ( ^1 , . . . , ^„ j ,

nous ramènerons la solution singulière à être représentée par l'équation

Remarquons que les dérivées de V par rapport à «i, . . . , a„ demeureront les mêmes qu'avant la substitution. En outre, les dérivées de z seront augmentées chacune d'une fonction de a;i , . . . , .2;„, et par suite cette substitution ne changera nullement, si l'on peut s'exprimer ainsi, l'ordre du contact de deux intégrales, c'est-à-dire l'ordre de la différence des valeurs d^e z correspondantes, pour chacune de ces deux intégrales, à un même système de valeurs de

pour X, = ^2 =

• • • — **'// ' — •^^ — C^ ^ Cf 1 ^

Les valeurs

Z = o 1 J?! == Otj , , . . , >T,i == Ot„ ,

délinissant un élément de l'intégrale singulière, nous pouvons toujours supposer qu'en remplaçant xi par Xi -\- a, on ait ramené cet élément à être déterminé par les valeurs

2=0, œi=Q, /Jfc = 0.

Enlin, pour simplifier les calculs, nous allons elïectuer une dernière transformation.

Nous soumettrons à la fois les variables a; et les variables xi à des substitutions linéaires différentes, choisies de telle manière que l'on ait

, a,i ayant alors les valeurs qui sont données par les formules (79), (80). On démontrera sans peine fexistence de telles substitutions ^. Cela posé, p{ étant défini par la formule

' En effet, je puis toujours effectuer sur a?j , ...,x„ une substitution linéaire qui ramène

.m^ Jtmi c'X,t> Xk

l\ la forme

dx\-^dxl^... +dx-L^.

Cela posé, puisqu on a, en tous les points de la solution singulière,

on aura aussi , en dîfférentiant ,

^id dx ^ da,,

Comme, pau" hypothèse, les fonctions «, sont indépendantes, leurs différentielles Sav. étuang. t. XXVII. — iN" 2. i6

on voit qiie pour tous les éléments de l'intégrale singulière les

2n relations

seront satisfaites. Différentions ces équations en nous déplaçant sur la solution singulière, c'est-à-dire de telle manière que z soit tou-

peuvent prendre toutes les valeurs , et l'équation précédente ne peut subsister que si l'on a

D'autre part, on aura, en différentiant les équations

ûXi

où i est au plus égal à n—p.

dui, — o

el par conséquent les n—p fonctions linéaires des différentielles du,,

li=n U,= y\ dan

^aà dXi dai,

sont indépendantes. Car, s'il y avait entre elles une relation

Xj U, + Xj Uj + . . . + A„p U„p = o ,

on aurait aussi, en vertu de l'équation («),

X^dx^ -{-...-{- A„^da;„p = o ,

ce qui est impossible, les différentielles dxi ne pouvant être assujetties à aucune condition.

On pourra donc soumettre les quantités «; à une substitution linéaire, réduisant les fonctions U,- à un seul terme et telle que l'on ait au point considéré

U, = 2 dui.

Alors les équations (a) prendront la forme

(&) dXi-\-dai= o.

et l'on aura

jours nul. En vertu des formules (82), nous trouverons simple-

ment

d'où l'on déduit

toutes les fois que i ne dépassera pas 11— p et que k sera différent de /. Différentions maintenant les équations

Si ; est supérieur à n—p, on aura, en remarquant que toutes les dérivées du premier membre par rapport aux variables a?,, sont nulles ,

ou , en égalant à zéro les coefficients de chaque différentielle ,

r — T— = o pour i > n—p.

ùai c'a,. '■

Au contraire, quand i est au plus égal à n—p, on a

li=n 2 dXi + 7 r-^-TT— dUu = O.

En remplaçant ctr, par sa valeur tirée de l'équation [b] et en égalant à zéro le coefficient de chaque différentielle, on trouve

cVV D^V

En résumé, on voit que, par deux substitutions linéaires effectuées séparément sur les Xi et les «,, on peut ramener la partie de la diflérentielle seconde d'V qui ne contient pas dz à la forme

da\-[-...-\-da\^-\-2 dui dx, ■{■... -\- 2 da„^dx„^^-\-dx]-^...-\-dx\p,

p étant un nombre entier qui, au moins dans le cas général, est égal à zéro. C'est le résultat que nous admettons dans le texte.

12a G. DARBOUX.

équation que Ton peut remplacer par le système des deux suivantes :

Cela posé, considérons une intégrale générale quelconque ayant en commun avec la solution singulière Télément considéré