x, = /Jfc = o

supposons qu'elle soit définie par /j relations, qui donneront «1,. . .,a fonctions de a^^-i, . . . , a„ et dont les différentielles seront :

[ dap = bpx ddp^i + . . . + 6^,,«,, da„, La solution sera définie par les équations V = o,

entre lesquelles il faudrait éliminer ttp^^ , • . . , ««• Mais nous garderons le système (86). Quant aux quantités/},, elles seront données par les formules

Différentlons ces dernières formules en y introduisant, après la dlfférentlation, les hypothèses relatives à félément de contact. Nous aurons

Pour avoir les différentielles dpi \\ faudrait ohtenir les (/a,. On les

déduira de la différentiation des formules (86), qui, grâce aux hypothèses faites, devient très simple et donne

f^c/a, 4-^;^ — ^^dx,) 6,,H-- • •+ ( Vr^^n + s^ — ^— dx'] 6„ \?flï 1 Zia, Da;, ij n ' \dal P i}a^2)Xp pj Pi

('s-Tda,+ ^ — ^-dx)b, „ „+• • • + (^-Tda-^^-^—dxjb,, „

^-Y aa„ + r — c— dx„ == o.

Ces formules (88), jointes aux relations (85), détermineraient (/ai, . . . , (/«„, et en portant ces valeurs dans les formules (87 ) , on aurait <//Ji, ...,dj)n' Cela posé, cherchons les valeurs de dx^^ . . . , c/x„ povu- lesquelles <//)i , . . . , t//j„ sont toutes nulles. I/équation (87) deviendra alors

on, en vertu des relations (84),

11 faut maintenant éliminer les dai entre les formules (85), (88), (89) , ce qui se fera en tirant les (/a, des formules (89) et les portant dans toutes les autres. Les relations (88) seront identiquement vérifiées. Quant aux formules (85), elles assujettiront dx^, ...,dx,t à p relations. Les différentielles dpi, . . . , dp^ ne seront donc pas nulles pour toutes les valeurs de dx^, . . . , dxn- En d'autres termes toutes les dérivées secondes de z ne seront pas nulles.

Donc, dans le cas général, il n'y a aucune intégrale pour laquelle les dérivées du second ordre soient les mêmes à l'élément de contact que pour l'intégrale singidière. C'est l'extension du résultat du paragraphe 1 ^ .

Mais supposons que h des quantités Y-y, par exemple

soient nulles. Alors, en vertu des formules (82), (83), (8/i), on aura aussi

yY :>2V yy ^Y

et, par conséquent, les formules (89) laisseront indéterminées k des quantités dai

Si donc p est égal ou inférieur à A, les équations (85) détermineront ces différentielles ou quelques-unes d'entre elles et n'assujettiront, dans tous les cas, dx-^, . . . , dx^ à aucune condition. En un mot, il y aura contact du second ordre.

Quelle est la signification de ces équations

Elle exprime qu'avant la sidjstitution linéaire , la forme

se réduit à une somme de 71 — ^ carrés. Nous obtenons donc la proposition suivante.

Si, pour tous les éléments de l'intégrale singulière, la forme

se réduit à une somme de n — h carrés, toutes les intégrales générales obtenues en établissant au plus h relations entre les arbitraires ai auront avec l'intégrale singulière un contact du second ordre.

C'est encore l'extension d'un résultat du paragraphe ilx- Voyons comment on reconnaitra ces particidarités sur l'équation aux dérivées partielles, et pour cela introduisons avec z la constante a, en remplaçant z par z + a.

«,«!,.. , a„ sont définis en fonction de z, xi, pk par les formules

V = ^' ^ + /^<^=^^ qui, en différentiant povu' félément 2 =a:, = /?fc = o , nous donnent

!y- (da -{- dz) = o , r — :r-da;-{-T — ^(dz+da] + ^--dp;= o.

On voit que l'C dénominateur commun des valeurs de c/a, da^, . . . , da„ tirées de ces équations se réduira pour cet élément à

Dz dx, Da, Da;„ c)a„

Donc, dans le cas exceptionnel que nous étudions, il deviendra nui. Comme, d'autre part, da est bien déterminé par la première des relations (90), nous voyons : i** que la valeur de da déduite en différentiant féquation aux dérivées partielles devra être indéterminée; 2° que sa vraie valeur étant

da = — dz,

ou, avant la sid)stitution qui ramène fintégrale singulière à un plan,

(91) da = — dz-{-pidXi + ..,-^j)ndx„,

il faudra qu'en passant aux dérivées secondes on obtienne celte valeur. Ainsi on aura pour cette classe de solutions singulières

P,-=o, Xfc=o, Z = o, F = o,

et la valeur de da, obtenue en égalant à zéro la différentielle totale seconde de F, devra être celle qui est donnée par les formules (91), ce qui entraînera un grand nomJDre de conditions et en particulier les suivantes :

^P, ^Pk ' ^Pl Nous confirmerons ce résultat par une analyse plus rigoureuse.