ÉTUDE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES PAR L'EMPLOI DES SÉRIES

§ 23. LEMMES ruÉLIMINAlRES.

Caiichy a, le preii.ier, démontré Texistence de l'inlégiale dans les équations aux dérivées partielles. Dans ces derniers temps, M™" de Kowalewsky et Tauteur se sont aussi occupés de cette question. Nous allons ici, pour donner une base solide à nos recherches , exposer les principaux résultats de ces travaux.

Nous dirons qu'une ronction/(j:i , . . . , a:„) est développable pour vm système a", ..., Xn de valeurs des variables lorsque la fonction est développable en une série ordonnée suivant les puissances des différences x^ — x\, ..., x„—x,^, convergente pour toutes les valeurs de ces variables, dont les modules sont inférieurs à un certain nombre.

Théorème 1 (de Cauchy). Soil donné le système d'équations aux dérivées partielles

contenant j) fonctions inconnues, tt^, ..., u., de n-\-\ variables indépendantes, t,Xy, . . . ,Xn et linéaires par rapport aux dérivées des fonc-

lions inconnues, en sorte que les loefficienls A,/,, B/, sont des jonctions des seules variables «i , . . . ,u^,, / , a^j , . . . , a^„.

Il y aura toujours des fonctions «j, . . . , «^ satisfaisant à ces équations et se réduisant pour t=to à des fonctions déterminées x^j , . . . ,ypp de Xi,X2, . . . , J",,, sous les conditions suivantes :

i" Les fonctions -^ seront développables pour le système de valeurs

soit i^h /« valeur de tph pour .T,= a7f ;

2° Les fonctions A,^, B/, seront développables pour les valeurs t^, de t, x- de Xi, ypl de u/,.

Si ces deux conditions sont remplies, il existera un système de solutions et un seul , formé de fonctions u^, . .. , Uj, développables pour les valeurs /o de t, x^ de x;.

Ce théorème donné par Cauchy a été démontré d une manière

extrêmement simple par M"^ de Kowalewsky. Nous Tadmettrons

• dans ce qui va suivre. Mais nous remarquerons qu'au point de vue

des applications, on peut lui donner une plus grande utilité par la

modificaiion suivante, qui ne porte que sur la forme.

Supposons quon ordonne les séries trouvées suivant les puissances de / — /„. On aura pour les fonctions «a des expressions de la forme

«fc=^f'fc+^;.(/-^o)4-*K(/-/„)^+...

Le théorème précédent nous montre que ces séries seront toujours convergentes pour des valeurs sulïisamment petites du module de / - /o tant que les fonctions initiales •\^/, et les coefficients A,fc, Bfc demeureront continus quand on y remplacera a/, par \pi,. Cette modification dans le groupement des termes offre favantage de ne pas faire dépendre la convergence de ces séries des valeurs attribuées aux variables Xi.

Par exemple, si les coefficients Au,, B/, sont toujours développables, ut qu'il en soit de même des fonctions ;^/,, les séries précédentes seront convergentes pour tout système de valeurs de

Sav. étrang. t. XXVIl. — N° 2. 17

.rj, . . . , x„, tant que le module de / — /<, ne dépassera pas une certaine limite, variable d'ailleurs avec le système de valeurs considéré des variables ,r,-.

Théorème II. Les équations

admettent un système unique de solutions développables se réduisant j)ourt=to à des fonctions connues ^pi de x^, ...,x„, pouiDU que les conditions suivantes soient remplies :

1° Les fonctions initiales -^pi sont développables pour le système de

valeurs Xi = x°i; soient ipl, [y^) les valeurs de\ph, —pour j;, = x- ;

2" Les fonctions ^ sont développables pour les valeurs x"; de X{, Sous ces conditions les fonctions ui seront développables pour / = /oi

Ce nouveau théorème se déduit très aisément du précédent.

Il est tout d'abord évident qu'en supposant les fonctions u, développables, les conditions posées déterminent les coefficients des séries. De plus, un raisonnement bien connu permet de démontrer que, si les séries sont convergentes, elles satisfont au système (2). Tout se réduit donc à démontrer la convergence des séries. A cet effet, nous allons joindre aux fonctions Mj , . . . , a^, comme nouvelles

inconnues, leurs np dérivées ^ par rapport a Xy, . . , ,Xn.

Différentions par rapporta Xh une quelconque des équations (2), nous aurons

c est-à-dire im système de np équations, qui, jointes aux équations (2), définissent les dérivées par rapport à / des p fonctions

inconnues Ui et des np dérivées —■, que nous ajoutons à ces fonctions en les considérant comme de nouvelles inconnues. Or ce système de [n-\~ i) p équations est de la forme du système (1). D'aillem's, puisqu'on connaît les valeurs initiales des fonctions a, , on

connaît aussi celles de leurs dérivées ^- Le théorème 1 s'applique

donc ici et nous montre que les séries seront convergentes.

Ici encore, en ordonnant suivant les puissances de / — /,,, on verra que les séries demeureront convergentes pour des valeurs suffisamment petites de / — /o, pourvu que les fonctions J demeurent continues quand on y remplace m, et les dérivées ^ par leurs valeurs initiales.

Théorème 111. Soit le système (3)

contenant q paramètres variables définis par les équations

ià)

et p fonctions inconnues Ui, . . . , Up de n-{- i variables, t, Xi, . . . , Xn; les fonctions u, se déterminent comme dans le théorème précédent , pourvu que, aux conditions déjà énoncées, on ajoute les suivantes :

1° Pour les valeurs initiales de UiJ,Xi, y-^» les équations (4) donneront un système de valeurs de cti, . . . , a,^.

2** Ces valeurs seront développables pour les valeurs initiales de

u,-,^.r,, —, condition qui sera toujours satisfaite si les fonctions ts

sont (lève loppab les , ei si le déterminant fonctionnel

d[TS, -srj

nesl pas nul au début, mais qui pourra l'être dans d'autres cas.

3" Les fonctions ^seront dévcloppahles pour les valeurs initiales de toutes les variables qu'elles renferment.

Cette proposition se ramène iniinédiatement à la précédente, car les conditions énoncées permettent de tirer ai, ...,(Xa des équations (4) et de les substituoi- dans les seconds membres des formules (3).

Théorème IV. Les hypothèses des théorèmes précédents étant conservées, si dans les équations aur dérivées partielles il entre une ou plusieurs constantes arbitraires a^, . . . , «^, que les fonctions ^ [et tff, s'il y a lieu) demeurent continues quand on fuit virier ces constantes entre certaines limites, si, en outre, les fonctions initiales sont choisies de manière à contenir ces paramètres et à en être des fonctions continues, on peut affirmer que les solutions trouvées sont des fonctions continues jle ces paramètres aussi bien que des autres variables indépendantes.

La démonstration se fait d'un mot; il suffit en elFet d'adjoindre ces paramètres comme nouvelles variables indépendantes aux anciennes.

Corollaire I. Si les fonctions initiales contiennent des paramètres ne figurant pas dans les équations et dont elles soient des fonctions continues, les valeurs des intégrales seront continues par rapport à ces paramètres tant quelles seront fondions continues des variables indépendantes.

En efTet, supposons que les séries soient convergentes pour des valeurs inférieures à certaines limites des différences ,r, — jr°. En vertu du théorème précédent, elles seront, tant qu'elles seront convergentes, des fonctions continues des paramètres considérés.

Supposons maintenant que nous voulions franchir les limites de convergence des séries, nous prendrons successivement d'autres développements, qui permettront de franchir ces limites. Comme les nouvelles valeurs initiales seront des fonctions continues des anciennes et des paramètres qu'elles renferment, nous voyons que le raisonnement poiu ra s'appli([uer tant que les intég aies demeureront continues.

Corollaire II. Etant donné un système d'équations différentielles ordinaires du premier ordre déterminant des fonction"! jj, ....jndex, Yi, . . . , J„ seront des fonctions continues de leurs valeurs initiales tant qu'elles seront des fonctions continues de x.

Cette proposition, simple cas particulier de la précédente, nous permettra d'établir sur une base solide l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre par la méthode des caractéristiques.

8 24. INTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE