PAR L'EMPLOI DES CARACTERISTIQUES

Considérons une équation aux dérivées partielles

dont nous écrirons toujours comme précédemment la différentielle totale. Supposons qu'il existe une intégrale de cette équation définissant z comme fonction de Xj, . . . , .r„. Les équations différentielles

/ /. \ dx^ dx^ dx^

déterminent complètement ce qu'on peut appeler un système de courbes tracées sur cette intégrale, si toutefois Ton suppose connue l'expression de z en fonction de Xj, . . . , a:„. Nous allons d'abord montrer qu'il n'est pas nécessaire de connaître cette expression et que l'on peut joindre aux équations (6) d'autres équations différentielles qui permettent de définir complètement la variation des variables z, x,, p],.

Supposons que, partant d'un système de valeurs z, x^, . . . , x„, ou, si l'on veut, d'un élément de l'intégrale, on donne d'abord à z, .x'i, . . . , Xn, pi, . . . , pn des accroissements infmiment petits déiinis par les formules (6) et l'équation de l'intégrale, accroissements que nous désignerons toujours par la lettre d. Donnons ensuite aux mêmes variables un autre système d'accroissements S satisfaisant à l'unique condition

(y) Spi dxi -h • . . -f- ^Pn dxn = o .

Tout le succès de la méthode repose sur ce fait analytique qu'on peut donner à l'équation (7) la forme

(8) dp^Sx^-}- . . . -\-dp,tSx„ = o.

Ce fait est très facile à établir. En désignant, en effet, par pii^ les dérivées secondes de z, on a identiquement

§PidXi-j-...= dpi§x^-{-... =/}]if/xi^.ri 4- .-. 4-/?i2 {dxiêx2-\- dx^Sxy)-^...

Ainsi les équations (7) et (8) n'expriment qu'une seule et même relation entre les différentielles §x;.

Ce point étant admis, clifférentions l'équation proposée (5) dans le système d'accroissements S. En tenant compte de l'équation

Sz = piSx^+ . . . +p„§x„, nous aurons

(Xi + Z/Ji) Sxi+ ... -h (X„ -\- Zp„) Sx,, + Pi Spi-\- . . . ^ P„ Sp„ = o.

Mais en vertu des équations (6) et (7) on a identiquement

F^Spi+ . . . 4-P„<5/j„ = o.

Il reste, par conséquent,

(9) (Xi + Z/)i)<5'xi+ . . . 4-(X„ + Z/j„)<^.r„ = o.

Or entre Sx^, ... ,<^x„ une seule relation a été établie, la relation (7) ou son équivalente (8). Il faudra donc que les équations (8) el (9) expriment la même relation entre les différentielles Sx{, et

par conséquent que les coefficients de ces différentielles dans les deux équations soient proportionnels. On a donc

v'"^ ' x^+zp, x.+zp, ••■ X„+Zp/

Ce nouveau système d'équations, joint au système (('•) et à l'équation aux dérivées partielles, définit les rapports de toutes les différentielles, el Ton a ainsi

Nous introduisons, on le voit, une variable auxiliaire t, dont l'emploi nous sera très utile et permettra de présenter la théorie de ce système d'équations différentielles avec beaucoup plus de symétrie.

Le système précédent est indépendant de toute surface intégrale, et cette remarque nous conduit au théorème fondamental qui suit :

Si deux intégrales ont en commun le même élément [z°,x"i,f)l), elles auront aussi en commun tous ceux que l'on obtiendra en intégrant le système (i i) et prenant pour élément initial l'élément commun.

Le système (i i) peut s'écrire

dx, r, dp, y y

Nous voyons que , tant que les seconds membres de ces équations seront finis, ce que nous supposerons constamment, ces équations donneront ipour z,Xi, pu des valeurs fonctions continues de ^ et des valeurs initiales de 2*', .r-, pi. Nous supposerons que la valeur initiale de t soit zéro. Un seul cas doit être écarté, c'est celui où l'on aurait à la fois pour les valeurs initiales

P.= o, Xfc-f-Z/}fe=o.

Alors la seule solulion développable serait donnée par les formules

el elle serait inacceptable.

Ainsi, en supposant que l'équation proposée soit mise sous forme entière, nous voyons, d'après le corollaire II de l'article précédent, que les équations (12) nous donneront toujoiu-s pour z, Xi, pk des valeurs fondions continues de ( cl des 2/7+1 valeurs initiales 2°, j"", pi, pourvu que ces valeius initiales ne donnent pas des

valeurs nulles de toutes les dérivées -—-, ~j- Ou voit que Tintro-

d action de la variable / offre le grand avantage de supprimer les cas où les coefficients diff"érentiels deviendraient infinis.

Puisque deux intégrales qui ont en commun le même élément en contiennent une inlinité d'autres, définis par les équations différent ielles (ii) et (12), il est clair que toute intégrale s'obtiendra en intégrant ces formules (12), qui donnent

z=j[i,x^,z\pl]

Xi==.f;[t,xlz\pl)

pu-^k{t.xlz^,pl)

et y considérant ol], z^'^pl, comme des fonctions de n — 1 arbitraires «1 , «21 • • • 1 tt„ j. Toute la difficulté se réduit donc à savoir comment on déterminera les 2«4- 1 valeurs initiales x'-^z^^pl en fonction de ces arbitraires «, de telle manière que féquation aux dérivées partielles soit satisfaite.

Or le système (11) admet fintégrale

F(z,a^i, ...,/)i, . . .) = constante = F (2°, a;j, ...,/j°, ...).

Il faut donc d'abord que les valeurs initiales satisfassent à la relation

(i3) F{z'>,x'!,pl) = o,

et si cette condition est remplie, on aura toujours

(i/i) F(2,a:i, .. .,/Ji, ...)=- G.

Il ne reste donc plus qu'à choisir les valeurs initiales de telle manière que Pi soit la dérivée de z par rapport kxi, ou, ce qui revient au même, que, lorsque t^Ui.u^, ..., u„i varieront, les différentielles de z y Xi, . . . , Xn soient liées par la relation

Sz=PiSXi+ . . . -j-pn^JC,,.

Or désignons par cl les différentielles correspondantes à un déplacement sur la caractéristique, c'esl-à-dire relatives au cas où / varie seule. L'identité

S [dz — p^ dxi — ... — ^„ dxn) — (/ [^z — pi Sxy —...—/;„ §Xn ) == dpi Sxi — dxi Spi-\- ... -h dp,i êxn — dx,i Sp^

nous conduit aux conclusions suivantes.

Remarquons d'abord que l'on a

dz = pi dxi -\- . . . -\-pn dXn,

et remplaçons f/y?,, dxi par leurs valeurs tirées des formules (12); nous trouverons

J^ (8z — Pi Sx]^— . .. —pnSx„) = (Xi H- Z/)i) Sxi-{- ... + (X„ -|- Zp„) Sx^ H-Pi^/)i ... -i-?,Jp„.

Mais z , Xi,pk vérifiant féquation ( 1 4) , on a

ZSz -\-XySxi-h ... + P„ Spn = o ,

et par conséquent

( 1 5) d{Sz—piSxi—... —pn Sx,,)

= — Z [§z — pi Sxi — . . . — jo„ Sx„) dt,

ou, en intégrant cette équation,

I 7 ri t

(1 5 6/5) Sz-p,Sx,- . . .-pnK- {Sz'-plSx",-. . . -/)°^0 e'Jo Les équations de la caractéristique nous donnent z, Xi,pk fonctions finies et continues de /. L'intégrale 1 Zdt demeurera finie; il suf-

SaV. ÉTBAN6. t. XXVK. — lN° 2. 18

fira donc, pour que le premier membre de Tégalité précédente

soit constamment nul, que l'on ait

(16) Sz'^-p'lSxl,- ... -ffJx° = o.

En résumé, les valeurs initiales doivent dépendre de n — 1 variables indépendantes , satisfaire à l'identité (16) et à l'équation ( 1 3) . Si ces conditions sont remplies, nous aurons une intégrale.

On peut satisfaire à toutes ces conditions en prenant

x[ = constante,

et pi sera définie par l'équation aux dérivées partielles. C'est la solution de Cauchy, et nous allons d'abord la discuter. Si dans l'équation

¥{2^, xi, ...,x:,p% ...,/;;;) = o,

la valeur de pi n'annule pas P" = y^' /^i sera une fonction dévelop-

pable de ^2 , . . . , ^^. Donc les valeurs de z , Xj , . . . ,x„,pi, ...,/>„, sont, d'après les théorèmes préliminaires, des fonctions continues de ^ a?2i • . . , a:°, c'est-à-dire de n arbitraires indépendantes. Le déterminant fonctionnel

se réduit au début à f^V^P^, qui n'est pas nul par hypothèse.

On voit donc que x^, . ..,Xn seront des fonctions indépendantes, que l'on pourra déduire des séries qui donnent j:, , . . . , Xn les quantités t^x^, . . . ,x°, en fonction de x^, . . . , x„, et par conséquent que z sera une fonction continue développable des variables J7j, . . . , x„. Ce cas si simple ne présente donc aucune difficulté.

Mais la solution précédente n'est pas la seule que l'on ait à considérer. En prenant, par exemple, le cas de deux variables indé-

pendantes x , y, elle exprimerait que l'intégrale doit contenir une courbe plane située dans le plan

Or il existe des solutions d'un autre genre. Par exemple, on peut demander que l'intégrale coupe le plan x = Xo en un seul point, comme ferait un cône dont le sommet serait en un point de ce plan. On voit que, dans ce cas, la relation entre x, y, z, qui est unique, doit être remplacée par deux équations quand on coupe par le plan qui contient le sommet du cône.

Pour être sûr de ne laisser échapper aucune intégrale, il faut donc trouver les valeurs initiales les plus générales satisfaisant aux conditions posées. La première de ces conditions est que l'on ait

Sz^-plêx";- ... -/j°^.r° = o.

Cette équation exprime qu'il y a entre 2", a;", ...,x^ une ou plusieurs relations indépendantes de /j° , . . . , pi, et comme les valeurs initiales dépendent seulement de n — 1 arbitraires, il faut qu'il y en ait au moins deux. Cauchy a choisi les suivantes

x" = constante ,

Prenons en un nombre quelconque k

tïTi(z°,xî, ...,0 = 0, ..., 'cyfc(z°, d;°, ...,jc°) = o,

et, pour simplifier les calculs, supposons que , par un changement de variables, on les ait ramenées à la forme simple

(17) 2"=0, XÎ = 0, ..., Xl,=0.

Alors, pour que l'on ait identiquement

il faudra que les coefficients de

sxi ...jx:

soient nuls, ce qui donne

(18) pl = o, ..., pl=o.

Il restera donc 71 valeurs initiales

Pli ' • • tPk - ï •> '^ki • • ' 1 ^« '

qui seront assujetties à la seule condition de vérifier l'équation aux dérivées partielles

(19) F{xl, ...,x''^,p1, ...,pl,) = o.

Supposons que , pour ces valeurs initiales, quand elles varient entre certaines limites, une des dérivées

Xo Vo po p°

kl • • • ) -^n •> -"^ 1 ' • • • 1 ^ k - i ■>

Pj, par exemple, ne soit pas nulle. De l'équation (19) on pourra déduire Pj, qui sera une fonction développable des autres variables. En intégrant les équations de la caractéristique on obtiendra pour z,X{,pk des valeurs fonctions continues de

< 1 P21 • • • -1 Pk - i 1 '^k 1 ' • • 1 "^n'

Je dis que ces valeurs de z, Xi, pk ne sont pas reliées par plus de n -f- 1 équations.

En effet, prenons le déterminant fonctionnel

d[t,pl,...,pl„xl afj '

Pour / = o, ce déterminant fonctionnel se réduit à

qui, par hypothèse, n'est pas nul. Donc les lornuiles trouvées permettent d'exprimer t^p^, • • -^pl-ii^l-» • • -, -^n en fonctions continues

dexi, P2-, ■ ■ -.pk — ii^ki i^ni 6t les autres variables 2, Xj, . . ., a:fc i,

/jfc, ...,p„ s'exprimeront en fonctions développables des n pre-

SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS. Mil

mières. On sera donc assuré d'avoir des valeurs z, xi.pk satisfaisant à l'équation

dz =pi dxi +...+/)„ dxn ,

et n'étant pas reliées par plus de n-\- i équations, c'est-à-dire une solution de l'équation dans le sens plus général que nous avons donné à ce mot (article i y).

Nous avons admis que toutes les dérivées

yo vo po p"

ne peuvent être nulles en même temps.

Si elles le sont, les équations différentielles de la caractéristique donneront pour les valeurs initiales

dpk = o , . . . , dpn = o , dxi = o , . . . , dxjt — 1 = 0,

équations qui coïncident avec celles que l'on obtiendrait en differenliant les relations (17), (18) entre les valeurs initiales.

Ainsi la restriction que nous avons faite a la signification suivante : il ne faut pas qu'en différentiant les équations établies entre les valeurs initiales z", xf, pi, les relations différentielles ainsi obtenues soient des conséquences des équations diflérentielles de la caractéristique. Tel est l'énoncé de notre hypothèse, rendu indépendant de la forme parliculière donnée par un changement de variables aux relations entre les valeurs initiales.