S 25. EXAMEN DU CAS DE DEUX VARIABLES INDEPENDANTES

Appliquons ces conclusions au cas de deux variables indépendantes, où elles auront une signification géométrique très nette, et supposons d'abord qu'il s'agisse de faire passer une intégrale par une courbe donnée (U), ou plutôt traitons directement ce problème, et nous retrouverons les résultats établis.

Imaginons, ce qui est l'hypothèse la plus générale, que les coordonnées de la courbe soient données en fonction d'un paramètre u.

Alors les valeurs initiales oîo, Jo, ^o seront fonctions du paramètre a.

Les valeurs initiales po,qo, seront données par les deux équations

( F(xo,yo,^o^Po. 7o) = o (20] ] , , ,

( dZo^PodXo-\-qodyo^

qui expriment, la première, que Téqualion aux dérivées partielles est satisfaite, la seconde, que le plan tangent contient la tangente à la courbe (U).

Cela posé, si le déterminant fonctionnel

relatif aux valeurs de po-, Retirées des équations (20) n'est pas nul, ces équations définissent po^ 7o comme fonctions développables de M, et l'intégration des équations de la caractéristique nous donnera x,y,z,p,q, fonctions continues de t et de a. Du reste, la valeur Initiale du déterminant fonctionnel

l)x dy 'dx ?j'

étant

° du ^° du

ne sera pas nulle, et nous voyons que les équations qui développent x,y peuvent être résolues par rapport à f et à m, et nous donneront z fonction développable de x et de y.

Or le déterminant fonctionnel (21) ne sera nul que dans le cas où la courbe (U) serait tangente à la caractéristique. Nous voyons donc que, tant que l'intégrale sera assujettie à passer par une courbe qui ne sera tangente en aucun de ses points à la caractéristique, c'est-à-dire à une génératrice rectiligne du cône (T), nous aurons une intégrale donnant z fonction développable de x,y et, par conséquent, ne présentant aucune singularité.

Cette intégrale n'aura, bien entendu, d'existence que jusqu'aux points où les caractéristiques présenteraient des singularités. Mais nous exaniinerons à part cette question.

Supposons maintenant que, pour un point rie la courbe initiale correspondant à la valeur u^ de u, le déterminant

soit nul. Alors l'intégrale aura des singularités, mais elle ne cessera pas d'exister.

Dans ce cas, en effet, les équations (20) ne définissent plus Po-, (fo comme des fonctions développables de m; mais, en général, po, qo deviennent des fonctions continues, développables, de \/u—Uo, et, par conséquent, x, j, z, /j, q des fondions continues

de t et de v/u— Uq. Ainsi, il y aura deux nappes de l'intégrale venant se raccorder en tous les points d'une caractéristique, celle qui correspond à la valeur u = «o-

Ces résultats sont bien confirmés par quelques explications géométriques. Considérons l'intégrale qui doit passer par une courbe (U). Pour avoir chacune de ses nappes, il faut mener par chaque tangente en un point de la courbe (U) un plan tangent au cône (T) de ce point; les caractéristiques ayant leurs premiers éléments dans ces plans tangents envelopperont les différentes nappes de f intégrale. Supposons que la tangente à la courbe (U) , d'abord en dehors du cône (T), s'en rapproche. Alors deux des plans tangents tendront à se confondre, et, à la limite, deux nappes réelles viendront se raccorder. Si, sur les points qui suivent de la courbe (U), la tangente est au dedans du cône (T), les deux nappes, après s'être raccordées, disparaîtront et deviendront imaginaires.

On pourrait traiter d'autres hypothèses. Par exemple, supposons que Ton connaisse une des courbes que nous avons appelées intégrales, en tous les points desquelles la tangente est génératrice du cône (T). Alors po.qo satisferont constamment aux trois équations

i F(xo,ro,2o,/)o,9o) = o, (23) < dzo-=-podx^-\-qody^,

( Qo t/jo - Po c?^o == o ,

qui, en général, détermineront po-,(/o comme fonctions développables de u. Il y aura donc une intégrale continue formée par les caractéristiques tangentes à cette courbe.

Traitons maintenant le cas où l'on voudrait associer toutes les caractéristiques qui passent par un point ,To,Joi^~o- Nous n'avons encore qu'à appliquer la méthode générale; po, qo seront assujetties à l'unique condition

d'où l'on pourra tirer soit /)o en fonction de 7°, soit q^ en fonction de po' Supposons , paj exemple , que , dans une certaine étendue

des valeurs de po, (/o, la dérivée ^ ne devienne pas nulle, l/é-

quation précédente permettra de développer p^,, et par suite, X, y, z, p, c/ deviendront des fonctions continues de <yo, t. Le déterminant fonctionnel

^ ' dq~ c^„ ' M

se réduira, pour les valeurs initiales, à

i[P(X + pZ) + Q(Y + 7Z)].

Tant que cette expression ne sera pas nulle, les équations qui développent p et q pourront être résolues par rapport à t, qo, etx,y, z deviendront des fonctions développables de p et de q. U ne saurait être question évidemment de développer z suivant les puissances de X et de y, car une série de ce genre ne peut jamais représenter une intégrale à point conique comme celle qui est formée des caractéristiques passant en un point.

Ainsi se trouvent établis, par une voie à l'abri de toute objection, les résultats que nous a donnés la première partie de notre travail, pour les équations aux dérivées partielles formées par l'élimination des constantes.

-i Zdt

§ 26. EXAMEN DE L'OBJECTION DE M. BERTRAND ^^l

Nous avons trouvé la formule

(2-4) Sz — piSx^—. . .—p„§Xn= {Sz°—plSx°^—. . .— p'^^Sx'^) e

et nous avons conclu que, si les conditions initiales ont été choisies de telle manière que l'on ait

Sz'^-plSxl- ... -/j°^< = o,

on aura de même, pour tous les éléments de la caractéristique,

§Z — pi SXi — . . . — Pn^^n = O-

Dans notre méthode, cette conclusion est évidente. Les équations de la caractéristique , étant

fourniront pour z, ^,, pk des valeurs fonctions continues de /.

Z n'étant jamais supposé infini, l'intégrale 1 Zdt conservera une

valeur finie. Un seul cas, nous l'avons fait remarquer, mettrait cette méthode en défaut; c'est celui où l'on aurait pour les valeurs initiales

car alors les intégrales continues fournies par les formules (25) n'auraient aucune utilité. Elles seraient

xi=^x^, pi = p% z = z°,

et ne donneraient pas la caractéristique, s'il y en a une.

^'* L'objection dont nous voulons parler ici, et qui s adresse à toutes les méthodes complètes d'intégration des équations aux dérivées partielles, est bien connue des géomètres ayant étudié cette théorie. Elle a été développée dans le tome XIV des Comptes rendus de l'Académie des sciences, p. 617, et elle a donné lieu à différents travaux, parmi lesquels nous citerons ceux de M. J. A. Serret, insérés dans les Annales scientifiques de l'Ecole normale, 1" série, t. III, p. i/i5.

Sav. étrang. t. XXVII. — N° 2. i q

11 est facile de voir que robjection de M. Bertrand peut être levée sans l'introduction de la variable t. L'intégrale à examiner prend alors la forme suivante

^^1 Z dx,

çx,