J XI

Celte intégrale ne deviendra pas infinie, au moins pour des valeurs suffisamment petites de Xi — x^, si son premier élément n'est pas infini, c'est-à-dire si l'on n'a pasPi = o. Supposons Pi = o; alors, en vertu des équations de la caractéristique, on peut remplacer

-p-i par l'un quelconque des rapports

dXf — dpi

P, X, + Zp,

Par suite, tant que les dénominateurs

P., Xi + Zpi

ne seront pas tous nuls pour les valeurs initiales, l'intégrale de Cauchy conservera une valeur finie. Le seul cas à traiter est donc celui où tous ces dénominateurs sont nuls en même temps, et nous retrouvons les conclusions auxquelles conduit naturellement notre première méthode.

.S 27. DISCUSSION DES SINGULARITES DE LA CARACTERISTIQUE DANS LE CAS DE DEUX VARIABLES INDEPENDANTES.

Soit

l'équation aux dérivées partielles, et soient

(on\ dx 4y dz -dp -dg ,

^'^ll P~Q Pp + Q*/ X + pZ Y + qZ

les équations de la cai-actéristique. Tant que tous les dénominateurs ne seront pas nuls, ces équations nous donneront pour x,y^ z,p,q des valeurs fonctions continues de / et des valeurs initiales. Le seul cas d'exception est donc celui où tous les dénominateurs sont nuls; mais il y a des propriétés géométriques très reraai-

quables de la caractéristique correspondante au cas où quelquesuns d'entre eux, convenablement choisis, sont nuls. Ce sont ces propriétés que nous allons exposer.

On voit d'abord facilement que, si P est nul sans que Q le soit, on pourra toujours changer les axes des x et des j de telle manière que ni P ni Q ne soient nuls; et, de même, si X + /)Z est nul sans que Y + </Z le soit. La discussion est donc ramenée à l'examen des quatre cas suivants :

1° Aucun des dénominateurs n'est nul;