P = o, Q=^o, X + pZ>o, Y + 7Z>o

3" P^o, Q>o, X-hpZ = o, Y + 7Z = o;

à'' Tous les dénominateurs sont nuls.

Dans l'examen de tous ces cas, nous supposerons que l'origine ait été placée au point initial de la caractéristique et que le plan des 3cy ait été amené à se confondre avec le plan tangent; on aura donc au début

Nous prendrons toujours la valeur initiale de t nulle. Le développement de F sera de la forme

(28) Y = ax-{-by-\-cz-\-ap + b'q-\- . . .

et, dans le premier cas, aucun des coefficients a, b, a', b' ne sera nul. Les équations différentielles de la caractéristique deviendront

^^PTTT = 6^^ = HT^ = 6T^==^^' dz==pdx + qdy.

On aura donc, pour les premiers termes des développements en série,

x = o!t-\-... p = — at+...

y = b't+... q = — bt-{-...

2 = -(aa' + 66')-H px + qy — z = -[aa'-\-bb')-A

Ces équations caractérisent évidemment un point simple. II n'y a à l'origine aucune singularité possible de la caractéristique, dont les équations approchées sont

, . b' , aa'-\-bb' o ,

Passons au cas où P, Q sont nuls. Alors a, h' seront nuls, et la formide (28) devra être remplacée par la suivante :

(3o) Y = ax-\-hy + cz + ]){a'x-\-b'y-\-c'z)

+ q{a"x + b"y-^c"z)^^-^Bpq + ^ + Ç>{x,y,z),

(p désignant une fonction homogène du second degré de x,y, z, et les termes négligés étant au moins du troisième degré. Nous avons encore ici

p = — at-{-... q = — bl-\-...

et nous trouvons sans aucune difficulté

px-hqy — z = ^{Aa'+2Bab-i-Cb^)t^-\-- ■ •

Dans le cas le plus simple, celui où les premiers coefficients écrits

ne sont pas nuls, nous voyons que x,y sont de l'ordre de t-, z de

l'ordre de f. Les équations approchées de la caractéristique sont

de la forme suivante ;

i y =hx-\- ...

La caractéristique est donc tangente au plan des xy et elle a un rebroussement.

Quant à la développable caractéristique, elle n'offre aucune singularité; son plan tangent est défini par l'équation

Z — pX — qY = z — px — qy.

ou, en substituant les premiers termes des développements de x,y, z, p, q,

et cette forme n'indique aucune singularité proprement dite de la développable.

Nous obtenons donc la conclusion suivante, qui est la généralisation d'une proposition connue de la théorie des solutions singulières dans le cas des équations différentielles ordinaires :

La surface qu'on obtient en éliminant p, q entre les trois équations

est en général le lieu des points de rebroussement des caractéristiques. A chaque point de la surface correspond une caractéristique déterminée ayant un rebroussement en ce point ^^\

Arrivons maintenant aux points pour lesquels on a

X + /)Z = o, Y-|-<5fZ = o.

On ramène ce cas au précédent en transformant par polaires réciproques, et il est inutile de le traiter directement. La dualité reconnue dans toute équation aux dérivées partielles nous montre que, dans ce cas, la caractéristique développable aura la singularité réciproque d'un point de rebroussement. Nous l'appellerons plan de rebroussement. Ainsi :

La surface, lieu -des poinis pour lesquels on a

X + pZ = o, Y + <yZ = o,

est en général le lieu des points pour lesquels il y a une caractéristique développable ayant an plan de rebroussement ; les courbes caractéristiques n'y offrent aucune singularité.

'*> Voir, pour la proposition analogue relative aux équations différentielles ordinaires, le Bulletin des sciences mathématiques , t. IV, p. i58.

Nous désignerons ces deux surfaces respectivement par les lettres (R), (R). C'est seulement quand elles auront une partie commune, pour tous les points de laquelle on aura à la fois

X+pZ = o, Y + 9Z = o', P = o, Q = o,

qu'il pourra y avoir une solution singulière, et nous avons vu d'ailleurs que cette solution existera toujours si l'on a Z^o. Examinons, enfin, les points pour lesquels on a à. la fois

P = o, Q = o, X + pZ = o, Y-{-qZ = o.

Ils sont généralement en nombre limité, puisque les quatre équations précédentes, jointes à l'équation aux dérivées partielles, constituent un système de cinq équations à cinq inconnues.

Si nous choisissons toujours les mêmes axes, le développement de F sera de la forme

(32) F = cz -{- p (ax -{- by -{- kz)

-hq{a'x-{-b'y^k'z)+X^ + Bpq-hC^-{-(p{x,y,z)-\

et les équations différentielles de la caractéristique deviendront

^^ax + by + kz^Kp-hBq-]

^=^a'x + b'y + k'z-\~Bp-hCq-\- • • •

|^6, + (6' + c),H-^|+..dz dx dy

Tt^Plt-^'fdt'

Les seules solutions qui soient fonctions développables de t sont inacceptables; elles sont

Pour trouver les autres solutions, nous allons réduire les seconds

membres aux termes de moindre degré et intégrer par approximation. En vertu de la dernière équation, z sera infiniment petit par rapport à /), ^, x, j. Nous aurons donc, en gardant les termes de degré moindre et posant

les expressions suivantes des dérivées de x, j, /j, q == aa; + 6 j -}- A/) + B9

L'intégration générale de ces équations fournira des valeurs de la forme

j = Na/^ + Ni ai /'^ + N2 ag /'^ + N3 as q^'^

p = Pa/' + Pi a, /'' + P2 a2 /^' + P3 cl, /^*

^ = Qa,/' 4- Q, aj /'' + Q2 a2 /*' + Q3 «3 /''

où M, Ml, . . . , Pi pi, p^, p, seront des constantes déterminées et a, ai. Os, a5 les constantes arbitraires introduites par l'intégration. On voit qu'il y aura quatre caractéristiques pour lesquelles p, ^, j, z seront des fonctions continues développables de x. Ce sont celles pour lesquelles on ne garderait qu'une exponentielle.

Mais il est facile de reconnaître qu'il y en aura une infinité d'autres passant au point considéré. En effet, remplaçons t par {'k-{-(ii)t, X, pi étant des constantes réelles quelconques, et supposons qu'après cette substitution les parties réelles de p, pi, par exemple, soient positives et que celles de p2, p^ soient négatives. Alors, en ne gardant que les deux exponentielles qui contiennent

p, Pi et faisant varier t jusqu'à — co par des valeurs réelles, on

trouvera, pour ^ = — 00 et quels que soient a, aj.

Au contraire si, annulant a, aj, on conserve les exponentielles contenant P21 Ps 6t dont les parties réelles sont négatives, on retrouvera l'origine en faisant croître ^jusqu'à -}-co.

Mais je n'insiste pas sur ces indications, n'essayant pas de les exposer avec plus de rigueur; l'examen détaillé de la question précédente est très intéressant et mérite d'être fait complètement, mais il est étranger au sujet de noire travail, et j'arrive au cas véritalDlement important dans cette étude, celui où il y a une solution singulière.

8 28. EXAMEN DES CARACTERISTIQUES DANS LE VOISINAGE DE L'INTÉGRALE SINGULIERE,

Je supposerai que, par l'artifice déjà employé, on ait réduit cette solution singulière à être le plan des xy, et je supposerai que, Z n'étant pas nul, on ait résolu par rapport à z.

L'équation prendra alors la forme

et comme , en tous les points du plan des xy, P, Q doivent être nuls, cette fonction Ç) sera nécessairement du second degré, au moins par rapport k p et k q. Nous aurons, en désignant par X, Y, P, Q les dérivées de (p par rapport kx,y,p,q, les équations suivantes de la caractéristique:

dx dy dp dq du

Ici nous représentons, non plus par df, mais par — la valeur

commune des rapports précédents. Les équations peuvent donc être écrites

Quant à z, il sera donné par l'équation (33). Posons

p = pu, q = q'u.

Alors, dans la fonction (p, u? apparaîtra en facteur, et l'on pourra poser

Si nous désignons par P', Q', X', Y' les dérivées de Ç)' par rapport à p', q\x,y, on aura évidemment

P = «F, Q = aQ\ X = a2X', Y = «2 Y',

et les équations (3^4) deviendront

dx pf dy^ ^,

du ''du

Elles sont ainsi ramenées à la forme ordinaire et donnent des valeurs de x,y,p\q' développables en série suivant les puissances de u.

Par exemple, si l'on a pour les premiers termes de (^

on trouvera, pom* les premiers termes des développements relatifs aux caractéristiques passant par le point a; = o, j = o,

p = au+..., :r=(Aa + B(3) tt+ . . ., f/ = |S(iH- . . ., j = (Ba + C|S) 11+ . . .,

a et jS étant deux constantes arbitraires qui sont les valeurs initiales de p' et de q'.

On voit donc que nous retrouvons un résidtatdéjà obtenu, dans la première partie de notre travail, pour les équations aux dérivées

Sav. ÉinANG. t. XXVII. — N" 2. 20

partielles formées par rélimination des constantes, et nous obtenons la proposition suivante :

Quand il existe une intégrale singulière pour les points de laquelle on « Z^ o, il passe, en chaque point de cette intégrale et dans la direction de chacune de ses tangentes, une caractéristique ne présentant en général aucune singularité.

11 résulte des remarques précédentes que, si Ton veut avoir des séries convergentes quand les valeurs initiales ,ro, yo> -^c Pu-, (jo correspondent à un point de la caractéristique qui se trouve sur l'intégrale singulière, il faut adopter la variable auxiliaire u telle que l'on ait

dx dy —dp —dq —du

P Q X + pZ Y + gZ Zii

et l'on pourra alors développer x, y, z, p,q en séries convergentes suivant les puissances de u.

S 29. CONSÉQUENCES DE LA THEORIE PKECÉdENTE RELATIVES AUX SURFACES INTEGRALES.

Nous avons vu que les caractéristiques ont, en général, des points de rebroussement dont le lieu constitue une surface (R), et que les développables caractéristiques ont des plans de rebroussement en des points dont le lieu forme une surface (R'). Voyons quelles sont les conséquences de ces faits relativement à la forme des surfaces intégrales.

Soit (S) une surface intégrale. Elle vient couper la surface (R) en tous les points d'une courbe (G). Mais les cai^actéristiques de (S) n'ont pas toutes sur cette courbe des points de rebroussement. En effet, pour qu'une caractéristique ait un rebroussement, il faut que les valeurs de p et de q satisfassent aux deux, équations

qui , jointes à celles de la surface (S) , ne déterminent qu'un nombre

limité de points. Dans le voisinage de ces points la forme de l'intégrale est très compliquée ; nous la déterminerons plus loin.

Mais on peut former des intégrales particulières douées d'une ligne de rebroussement, de la manière suivante.

Sur la surface (R), soient en chacpje point Tq, jo» ^o^^oi ^o les valeurs de x , j, z , p ^ q , correspondantes à la caractéristicpie douée de rebroussement.

Chercbons sur cette surface les courbes satisfaisant à l'écpiation difFérentielle

dZo = podT., + q^dy^,

et soit (U) l'une de ces courbes. Associons les caractéristirpies aysmt leurs points de rebroussement sur (U), les valeurs initiales z^,, p^,, q<,^JCo,yo seront des fonctions continues d'un paramètre a, et les valeurs de x, y, z, p, q relatives à un point quelconque de la caractéristique seront de même des fonctions continues de t et de a. Donc ces caractéristiques formeront une surface intégrale admettant évidemment (U) comme ligne de rebroussement. On la retrouvera plus loin.

A ces intégrales à ligne de rebroussement correspondront, si l'on transforme par polaires réciproques, d'autres intégrales avant ime ligne singulière située sur la surface (R) et en tous les points de laquelle le plan tangent aura un contact du deuxième ordre avec la surface intégrale.

Examinons le cas, plus important pour la question actuelle, où il y a une intégrale singulière, pour laquelle nous supposerons toujours que l'on ait Z ^ o.

Nous avons vu qu'en prenant pour origine le point de la caractéristique situé sur l'intégrale singidiere, on devra ici introduire une variable u telle que l'on ait

dx dr dz —dp —dq — du

T~Q"~Pp-^Q9~X-T-</Z~V-r(/Z~~ZÛ"

Ces équations, étant intégrées, nous fourniront pour .r,j, z, p, q

des valeurs, fonctions continues de a, de la forme

(36) 1 j=j„ + Bitt+ ... (/ = 9o + |3a+ ...

mais il importe de remarquer que les coefficients de a dans p et dans q seront tout à fait arbitraires, et qu'il passera par chaque point de l'intégrale singulière une infinité de caractéristiques , toutes tangentes à cette intégrale.

Imaginons, d'après cela, qu'étant tracée une courbe quelconque (U) sur l'intégrale singulière, on cherche s'il y a une intégrale tangente en tous les points de cette courbe à l'intégrale singulière. Soient

les équations de cette courbe. Dans les formules (36), Xo,yo-,2^o-, Po, go-, seront des fonctions de v; mais, pour chaque valeur de v, les coefficients a et |3 seront quelconques, et, par conséquent, il ■ existera une infinité de surfaces formées avec des caractéristiques différentes qui toucheront toutes l'intégrale singulière aux différents points de la courbe (U). Pour toutes ces surfaces on a évidemment

dzo = podoco + qodyo,

et comme les valeurs initiales satisfont à toutes les conditions que nous avons posées, on pourrait croire qu'elles donneront toutes des intégrales.

Dans les formules (36) il entre deux arbitraires a et jS; mais les équations différentielles de la caractéristique contenant u seulement dans le quotient — i il est évident que l'on pourra, sans

changer ces équations, remplacer u par hu, h étant une constante quelconque dont on peut disposer de manière à réduire à l'unité l'une des quantités a, jS, et, par suite, par chaque point de la courbe (U) tracée sur l'intégrale singulière il passe une infinité

de caractéristiques correspondantes aux différentes valeurs du rapport -g • Si l'on prend pour ce rapport une fonction quelconque

de V, il est clair que l'on formera ainsi des surfaces engendrées par des caractéristiques, pour lesquelles toutes les conditions indiquées précédemment seront satisfaites , et qu'un premier examen nous porterait, par conséquent, à considérer comme des surfaces intégrales.

Mais reprenons la formule de Cauchy

Sz — pSx-qSy=^ (8z,, — pjx^ - qo^Jo) e J ^

On a bien ici

Szo — poSxo — qoSyo=o;

mais, comme l'intégrale

rz j r^ du

est infinie, le second membre de la formule précédente se présente sous la forme o X oo, qui ne permet pas de conclure que le premier membre est nul. On voit que nous sommes dans un des cas où l'objection de M. Bertrand acquiert toute sa valeur. Nous ne pouvons affirmer que toutes nos surfaces sont des intégrales.

Pour résoudre cette difficulté , reprenons la formule ( i 5 ) , écrite , pour le cas de deux variables ,

d[Sz — pSx — qSy) -j-Zdt [Sz —pSx — qSj) = o.

Elle devient ici, en remplaçant les S par des dérivées par rapport à w et Zdt par — — ,

(> /^z ^x dj\ ^z ^x dy

iu\dv ' dv ' ^v J dv 'Du 'iv^

ce qui donne, en intégrant,

/o \ àz dx lIY /-^

158 Cr. DARBOUX.

Cette formule, on le voit, est bien vérifiée pour « = o, puisqu'on a

alors

hv f^o Dv ^ ^o ^v

Mais on reconnaît aussi que toute surface formée avec les caractéristiques de la manière indiquée ne sera pas une intégrale. Il faut associer les caractéristiques de telle manière que la constante C soit nulle , ce qui exige que l'on ait au point initial

En développant les calculs et retranchant la quantité identiquement nulle

il restera la condition

Cette équation déterminera, pour chaque point de la courbe (U),

la valeur qu'il faut choisir du rapport -. Il n'y aura donc qu'une

intégrale tangente à l'intégrale singulière en tous les points de la courbe (U).

Supposons, par exemple, que, la solution singulière ayant été réduite au plan des xy, on veuille trouver l'intégrale qui lui est tangente en tous les points de l'axe des x. D'ailleurs on peut toujours, par des changements de variables, ramener à ce cas si simple tous les autres.

Les développements de x,y, z,p,q seront de la forme

/) = att -)-... a^ = Xo + AjttT}- . . . f/ = |3tt+... j = jo + Bitt+...

On aura ici, pour les points de la courbe de contact,

X„-^V, Jo=0, 2o = 0, Po==0. 7„ = 0,

et, par suite, *

'^Jo <52o t'Po ^Qo

Jv di' Ji; ' dv

La relation (38) deviendra donc

Ainsi, il faudra associer les caractéristiques pour lesquelles a= o; quant à |S, on pourra le prendre égal à l'unité.

La formule (38) permet de démontrer encore un autre résultat très essentiel. Si l'on associe toutes les caractéristiques tangentes en un point à l'intégrale singulière, elles formeront une surface intégrale. En effet, les valeurs initiales de /j, q, x, y demeurant constantes, leurs dérivées par rapport à v seront nulles, et la condition (38) sera satisfaite.

Cette surface intégrale, formée par toutes les caractéristiques passant en un point, joue le rôle des intégrales complètes dans la méthode des enveloppes , et il sera bon que nous en disions quelques mots.

Reprenons l'équation aux dérivées partielles, écrite sous la forme

et considérons les caractéristiques qui passent à forigine des coordonnées. Nous avons vu que , si l'on pose

/ o \ dx du

(39) p-=-/-=ir'

x, j, z, fj, q sont fonctions développables de u données par les formules

I p = att+ • • • ^==jS«+ • • •

(4o) x==(Aa + B|3)a4- • • • j = (Ba-}-C|3)ttH

a et j2 étant deux constantes arbitraires. Je dis d'abord que x, j, z

ne dépendent que des produits an, ^u. En effet, a et |3 étant les valeurs initiales de^,^, si l'on change u en /m, elles sont changées en ^, p D'ailleurs, comme le seul rapport ^ entre dans les formules (39), il faut que les valeurs de x,y,z,p,q ne changent pas et, par conséquent, qu'elles ne dépendent que des produits aw, jSu. Or la forme des équations (4o) nous permet de reconnaître que des deux premières on pourra toujours tirer au, jStt en fonction de p et de q et les porter dans x,y, z. Donc :

Pour l'intégrale formée par les caractéristiques passant en un point de l'intégrale singulière, x,y, zsont toujours des fonctions développahles suivant les puissances de p et de q.

Les premiers termes des valeurs de x,y,z seront

Donc , si l'on a AC — B^ ^ o , on pourra tirer des deux premières de ces équations p et q en fonction de x et de j et, par suite, développer z suivant les puissances de x et de y.

Mais si AC — B^ = o, z ne sera plus développable suivant les puissances de a: et de j; l'intégrale obtenue aura une singularité d'une nature assez compliquée à son point de contact avec l'intégrale singulière.

On peut caractériser la singularité obtenue en disant qu'elle est la réciproque d'un point parabolique ordinaire.