ÉTUDE DE LA METHODE DES ENVELOPPES DE MONGE

S l". DE LA FORMATION DES EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES PAR L'ÉLIMINATION DES CONSTANTES.

Soit

l'équation en coordonnées cartésiennes d'une surface, contenant deux paramètres arbitraires, a et b. Si l'on désigne, suivant l'usage, par /; et q les dérivées de z considérée comme fonction de x et de j, on aura

Entre les équations (i) et (2) éliminons a et 6, nous obtiendrons une certaine relation

qui constitue une équation aux dérivées partielles du premier ordre, à laquelle satisfont toutes les surfaces représentées par l'équation (i).

On a l'habitude de dire que l'équation aux dérivées partielles exprime une propriété du plan tangent à toute surface satisfaisant à cette équation. En effet, si x, j, z désignent les coordonnées d'un point déterminé M de cette surface, et X, Y, Z, les coordonnées courantes, le plan tangent au point M aura pour équation

et comme p et q doivent satisfaire à l'équation (3) , on voit que le plan tangent à toutes les surfaces qui passent au point M et qui

satisfont à l'équation différentielle ne peut être arbitrairement choisi; il devra être tangent au cône qu'on obtient en éliminant p, q entre les équations (3), [k] et la suivante:

On peut encore raisonner de la manière suivante : les équations de la normale au point (^, J, z) sont les suivantes :

!X — XH-»(Z — 2:) = 0, Y-j + r/(Z-.) = o.

En tirant de ces équations les valeurs de p et de q et les portant dans l'équation (3), on aura

Cette équation représente un cône, lieu des normales à toutes les surfaces satisfaisant à l'équation (3) et passant au point (^, J, z).

Ainsi l'on peut dire que l'équation aux dérivées partielles exprime l'une des propriétés suivantes :

Les surfaces satisfaisant à l'équation et passant en im point déterminé doivent avoir leur normale sur un certain cône , que nous appellerons cône des normales, en le désignant par la lettre (N),

Ou, ce qui revient au même :

Les surfaces satisfaisant à l'équation et passant en un point sont telles que leur plan tangent doit envelopper un autre cône, supplémentaire du cône (N), et que nous désignerons sous le nom de cône (T).

Ces remarques ont été faites depuis longtemps; on peut les compléter de la manière suivante :

Cherchons celles des surfaces satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles (3) qui peuvent être tangentes à un plan.

Soit

(8) Z = aX + |3Y + >'

l'équation de ce plan. On devra avoir, pour le point de contact,

et, par conséquent, les coordonnées de ce point devront satisfaire à l'équation

qu'on obtient, en substituant dans l'équation aux dérivées partielles a à p, jS à f/.

L'équation (9), jointe à l'équation (8), définit une courbe (C), sur laquelle doivent se trouver les points de contact des surfaces cherchées. Ainsi , au lieu de dire que l'équation différentielle fait connaître une propriété du plan tangent, on peut aussi remarquer qu'elle exprime une propriété du point de contact, en ce sens que les surfaces tangentes à un plan et satisfaisant à l'équation devront avoir leurs points de départ sur une certaine courbe (C) de ce plan, que l'équation différentielle permet de déterminer. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante : .

Si l'on considère les surfaces satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles comme lieux de points, cette équation définit les surfaces cherchées par une propriété du plan tangent que l'on peut énoncer ainsi :

Pour chaque surface passant par un point de l'espace , la normale doit se trouver sur un cône (N) correspondant à ce point, ou le plan tangent doit toucher un cône (T) supplémentaire du cône (N).

Mais si l'on considère la surface comme enveloppe de ses plans tangents, l'équation indique une propriété du point de contact, c'est-àdire que toutes les surfaces tangentes à un plan doivent avoir leurs points de contact sur une certaine courbe (C) de ce plan.

La symétrie, ainsi introduite dans Tétude de la question qui

nous occupe, nous sera très utile; dès à présent, elle donne la

raison de certains faits analytiques ; elle explique , en particulier,

le succès de la transformation de Legendre, dans laquelle on

Sav. ÉTRA.NG. t. xxviJ. — N" 2. 3

substitue aux trois variables x,y,z, les trois suivantes, p, q et

u = px-\-qy — z.

Il est facile, en effet, de reconnaître que les deux caractères que nous avons mis sur la même ligne se transforment l'un dans l'autre , quand on soumet les surfaces satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles à une transformation par polaires réciproques. Prenons, par exemple, le premier, d'après lequel les surfaces qui passent en un point doivent y être tangentes à un certain cône (T). Aux surfaces passant en ce point correspondront des surfaces tangentes à un plan; au cône (T) correspondi^a une certaine courbe (G) de ce plan; et, par suite, la proposition précédente nous montre que les surfaces transformées satisferont , elles aussi , à une équation du premier ordre.

D'après cela, considérons le plan tangent à l'une des surfaces

Z = pX H- 9 Y — tt , où l'on a

u^px-\-qy — z.

Il est facile de voir que p, q, a sont les coordonnées ordinaires du pôle de ce plan tangent par rapport à la surface

2zZ==X2 + Y2,

et l'on voit, par conséquent, que a considérée comme fonction de p et de ^ devra satisfaire à une équation aux dérivées partielles du premier ordre. En prenant une surface quelconque du second degré, on aurait des transformations plus générales, indiquées pour la première fois par M. Cliasles, dans X Aperçu, historique.

L'équation (i) a été nommée par Lagrange intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles (3), et Tillustre géomètre a montré que la connaissance d'une intégrale de cette espèce suffit pour l'intégration complète de l'équation aux dérivées partielles.

En effet, l'équation (3), étant le résultat de l'élimination de a et de b entre les équations ( i ) et ( 2 ) , peut évidemment être remplacée par le système des équations (i) et (s), pourvu qu'on y

regarde a et 6 non plus comme des constantes, mais comme des fonctions quelconques de x et de j. D'après cela, si l'on différentie l'équation (i) en y tenant compte des équations (2), on aura

(10) ^c/a + ^rfè = o.

Cette équation ne peut être vérifiée que de trois manières différentes :

1** En laissant a et 6 constants. C'est la solution d'où l'on est parti.

2° En supposant

La solution correspondante s'obtiendra en éliminant a et 6 entre ces deux équations et l'équation (1). C'est le lieu des intersections successives des surfaces correspondantes aux différentes valeurs de a et de b.

3° En établissant entre a et 6 une relation

(p(a,6) = o, que nous écrirons, en laissant de côté le cas où elle se réduirait à

b = Ç){a); alors la solution correspondante sera donnée par le système

Cette dernière solution contient une fonction arbitraire, et Lagrange l'a appelée intégrale générale. La précédente , ne contenant ni constante ni fonction arbitraire, a reçu le nom d'intégrale ou solution singulière. Enfin l'équation (1) donne, nous l'avons dit, une intégrale complète.

La solution générale est donc définie de la manière suivante.

Parmi les intégrales complètes on forme d'une manière quelconque une suite simplement infinie de surfaces , en établissant une relation entre a et b. L'enveloppe de toutes ces surfaces constitue une intégrale générale de l'équation proposée. Il sem])lerait donc qu'il y a trois classes d'intégrales : i" les intégrales générales; 2° les intégrales complètes; 3" l'intégrale singulière. Il importe donc de remarquer qu'aucune différence essentielle ne sépare les intégrales complètes des intégrales générales.

Imaginons, en effet, que, dans le système (12) la fonction/(a) contienne d'une manière quelconque deux constantes arbitraires a\ b\ que l'on ait

Le résultat de l'élimination de a entre les équations (12) donnera une nouvelle équation

Vi(3;,j, z,«', 6') = o,

qui jouera le rôle d'intégrale complète par rapport aux constantes a\ b'. Une des anciennes intégrales complètes, celle, par exemple, que l'on obtiendrait en faisant « = «01 6 = ^0, sera maintenant l'intégrale générale qu'on obtiendra en établissant entre a et b' la relation

bo=f[ao,a\b').

Il n'en est pas de même de la solution singulière, et les caractères qui distinguent cette solution ne cbangentpas quand on passe d'une intégrale complète à une autre. Il est clair, en effet, que les intégrales générales touchent la solution singulière en tous les points d'une courbe, et, par conséquent, l'enveloppe de toutes les intégrales complètes qu'on pourra choisir sera toujours la solution singulière. Nous reviendrons, du reste, sur ce point dans la seconde partie de notre travail.

8 2. DES cahactéristiques.

Nous délinirons ainsi les courbes tracées sur toute surface intégrale et qui, en chaque point de la surface, admettent pour tan-

gente fa génératrice de contact du plan tangent à la surface et du cône (T) correspondant à ce point. Il est clair que, si deux surfaces intégrales se rapprochent indéfiniment Tune de l'autre et viennent se confondre, leur ligne d'intersection aura pour limite une caractéristique.

Nous allons d'abord trouver les équations de toutes les caractéristiques.

Soient d'abord les intégrales complètes

Leur intersection avec une intégrale infiniment voisine a pour équations

Ces deux équations définissent les caractéristiques qui se trouvent sur les intégrales complètes; il est facile de voir qu'il n'y en a pas d'autre.

Considérons, en effet, la solution générale

V(a;,j,z,a,6) = o, qu'on peut écrire , en y posant

Ces équations, en y considérant a, 6, y, comme des constantes, représentent une des caractéristiques déjà définies par la formule (i3); l'intégrale générale est donc engendrée par ces courbes, et comme il y en a une passant par chaque point de la surface, nous voyons qu'il n'y en a pas d'autre sur chaque intégrale générale.

Donc, étant donnée une intégrale complète, on peut en déduire toutes les caractéristiques par les formules (i3).

Ces caractéristiques dépendent, on le voit, de trois constantes. On pourra non seulement les faire passer par un point quelconque de l'espace; mais encore en ce point leurs tangentes prendront toutes les directions des génératrices du cône (T). Nous verrons plus loin la définition des caractéristiques indépendamment de toute surface intégrale. Remarquons seulement qu'en même temps que la caractéristique est donnée par les équations (i3)

on a

p et q étant les coefficients angulaires du plan tangent à la surlace intégrale ou au cône (T) en chaque point de la caractéristique.

S 3. DES développables caractéristiques.

Nous appellerons ainsi les développables circonscrites à chaque surface suivant une caractéristique. D'après les formules (i4) et d'après la définition des caractéristiques, toutes les surfaces qui contiennent une caractéristique sont évidemment tangentes en tous les points de cette courbe. La développable correspondante à chaque caractéristique est donc unique. C'est la limite de la développable circonscrite à une des surfaces intégrales et à toute surface infiniment voisine. Il suit de là que la caractéristique jointe à cette développable constitue un système qui se transforme dans le système semblable, quand on soumet les sm^faces intégrales à une transformation par polaires réciproques. De là aussi résulte un moyen de former les équations de toute développable caractéristique. Ecrivons f équation tangentielle de l'intégrale complète

a ayant la signification déjà donnée et la valeur u=^px + qy^z.

On aura pour la caractéristique développable les équations

tout à fait pareilles au système (i 3) et (i 4)-

De même que toutes les caractéristiques passant en un point ont pour tangentes les génératrices du cône (T) de ce point, de même les caractéristiques développables tangentes à un plan ont pour génératrices rectilignes de contact les tangentes de la courbe (G) de ce plan. En effet, soient deux surfaces intégrales tangentes à ce plan en deux points m, m'. Les points m, m' sont sur la courbe (G), et la droite mm est une génératrice de la développable circonscrite aux deux surfaces. Cela posé, si l'une des surfaces se rapproche de l'autre , le point m' se rapproche de m et la droite mm' vient se confondre avec la tangente en m à la courbe (G).

Donc

Les caractéristiques développables tangentes à un plan ont pour (jénératrices rectilignes situées dans ce plan les différentes tangentes de la courbe (G) de ce plan.

S 4. DE LA DÉFINITION DES CARACTERISTIQUES INDEPENDAMMENT DE TOUTE SURFACE