S 30. DE LA SOLUTION SINGULIERE DANS LE CAS D'UN NOMBRE QUELCONQUE

DE VARIABLES INDEPENDANTES.

Les résultats obtenus dans le cas de deux variables indépendantes s'étendent sans difficulté aux équations aux dérivées partielles contenant un nombre quelconque de variables.

Imaginons que, par la transformation déjà indiquée, on ait ramené la solution singidière à être représentée par l'équation

Alors on devra avoir

Pi = o, ..., P„ = o, Xi = o, ..., X„ = o,

pour z = pi= ... =p„ = o, et, par conséquent, si nous supposons encore Z ^ o , on pourra résoudre l'équation aux dérivées partielles par rapport à 2 et écrire

(4i) ■ ^ = (p(/Ji, ...,/j„, ^1, ...,j?„),

(p étant une série dont tous les termes sont au moins du second degré par rapport à ^j, ...,/>„, puisque leurs dérivées doivent s'annuler pour des valeurs nulles de p^, . . . , /j„. Si cette séiio est convergente pour les valeurs de x^, . . . , Xn voisines de quantités a^, ..., a„, en remplaçant Xi par Xi-\-oii on la ramènera à être convergente pour des valeurs suffisamment petites des variables x,. On peut donc, par cette substitution, analogue à la translalion des axes dans le cas de deux variables indépendantes, ramener tous les cas possibles à celui où la série (p est convergente pour des valeurs suffisamment petites des quantités xi, pjç.

Par conséquent, le raisonnement déjà employé à l'article précédent prouvera que les équations de la caractéristique

dx^ dx„ rfp, dp„

où P,, Xfc désignent les dérivées de la fonction (p, ont encore des solutions développables en série, pourvu qu'on ait la précaution de prendre pour la valeur commune des rapports précédents, non df,

mais — Soient

,, d^, p ,, dp, y

les équations ainsi obtenues. Elles donnent naissance à des déve-

Sav. étrang. t. XXVIl. — N" 2. 21

loppenients en série qui sont de la forme

Pn-^n^+ • • • ^H = ^I+H„a +

ai , ag, . . . , a,( étant n constantes arbitraires, xi, • . . , ^° désignant les valeurs initiales de Xy, . . . , x,t. Il est encore évident que, les équations différentielles n'étant pas changées quand on y remplace ii par hu, les développements précédents ne contiennent que les combinaisons ajtt, . . . , a„u.

Cela posé, supposons qu'on veuille associer les caractéristiques précédentes de manière à obtenir une intégrale. L'équation (i5)

d{Sz — piSxi— ... —j)nSxn)-\-'Ldt(§z — i)iSxi-- ... —p„Sx„) = o nous donnera ici , en mettant — à la place de dt et en intégrant ,

Sz — PiSXi — ... — fn^Xn = Ctt.

C est une constante dont on trouvera facilement la valeur en cherchant le coefficient de u dans le premier membre. Ce coefficient

est

C = — cc^Sx^ — . . . —.anSxl.

Ainsi , pour que les caractéristiques associées forment une intégrale , ii faudra que les constantes arbitraires a,, .t° satisfassent identiquement à la relation différentielle

43 ) ai ^.r^ 4- . • . + CL„Sx'^ == o.

Or il y a plusieurs manières de vériiier cette équation. D'abord

on peut supposer que, pour toutes les caractéristiques associées, les valeurs de Xj , . . . , ^^ soient les mêmes. Alors on a

et l'équation (43) est satisfaite. La solution ainsi obtenue correspond à celle qui, dans le cas de deux variables, est formée des caractéristiques passant en un point. Les formules (/is) nous montrent qu'on peut alors exprimer ajH, . . . , a„M en fonction de /jj, , . . , p,, et obtenir par conséquent z, Xi, . . . , x^ développées suivant les puissances de pi^p^, • . . , />„. C'est le résultat déjà rencontré pour le cas de deux variables indépendantes.

Mais on peut aussi intégrer l'équation (43) en établissant un nombre quelconque de relations entre x", ,.., r°. Nous supposerons que ces relations soient au nombre de k— i et qu'elles aient été écrites sous la forme suivante

x^ ji [Xf^, . . . , ;r„) = G ,

On pourra toujours substituer aux variables x^, . . ., Xk—i les suivantes

!X^ = Xi Ji \^Xi(, • • . , Xjij ,

•^k - 1 ^^ •^k — 1 Jk 1 ^ '^k )•••■) -^u j

et, par ce changement de variables, on aura ramené le système des relations entre les valeurs initiales à la forme simple

On aura alors

ÔX^ ^= . . • = OXfç^ 1 — o ,

et la relation (43 ) se réduira à la suivante :

ci.kSxl-\~ ... +(x„Sxl^o.

Cette équation devant être vérifiée, quels que soient Sx^, . . . , êx'^,

il faut que Ton ait

afc== ... =a„ = o.

Alors les formules (42) nous montrent que l'on a />i = ai tt +.. . iCjt = .r^ -f . . .

et, par conséquent, on pourra tirer de ces formules ol^u, ..., J,

a/f j«, xl, . . . , jj^, et les développer suivant les puissances de pi, ..., pk-i-, Xj,, ..., Xn. En substituant ensuite dans les formules relatives aux autres variables, on voit que l'on pourra développer

Z , X-^ , cCg , . . . , X]^ \^ Pk^ ♦ • • > Pn '

suivant les puissances des variables

Pli Pi 1 ' ' • 1 Pk — 1 1 '^'ki • • ' ■, ^n-

Toutefois, cette proposition ne paraît établie que pour l'équation aux dérivées partielles que l'on obtient en faisant le changement de variables défini par les formules (43 bis), et qui ramène les relations entre les valeurs initiales à la forme simple

Mais il est aisé de reconnaître qu'il s'applique à l'équation aux dé- f

rivées partielles primitive.

En effet, soient p\, p'^-, • • • , Pn les dérivées de z après que Ton aura fait le changement de variables indiqué. Nous venons de démontrer que

Z , Xy, . • . , OCjf i , pi^ , . . . , p„

sont développables suivant les puissances de

Or, on a

dz = p\dx[+ . . . +/)i iC?4-i+Kc^fr+ • • • +p'ndx„\

si l'on remplace dx[, . . ,, J.x^j par leurs valeurs déduites des formules (43 bis), on aura

ce qui donne

Pi=p'n • • •' Pk-i = Pk-i

Pk-Pk-Pii^, Pk-1-^

Pn-Pn-Pl^^ Pk-i-J^-

On voit donc: i" que, pi, . . . , p'^ étant développables suivant les puissances de p[, . . . , pl i, Xk-, . . . , a;„, ou, ce qui est la même chose, suivant les puissances de ^i, . . . , ph—i-, ^k-, . . • , x„, il en sera de même de pi,, . . . , p„; 2" que, x[, . . . , J7^i étant développables suivant les puissances des mêmes variables, il en sera de même de

Xi = X^ ~\~Ji [ Xh 1 • • • 1 ^n ) 1 • • • 1 "^k ^^^ '^k "Vjk y^k i • • • i ^n ) •

Donc, avant le changement de variables,

Z, u7j , . . • , Xk } , Pki • • • 1 Pu

sont bien développables suivant les puissances de

Pli • • • 1 Pk — 1 1 ^ki • « • 1 **« 1

et nous sommes ainsi conduits à la proposition suivante :

Il y a, outre la solution singulière, n classes d'intégrales , la (A — i)'*™* classe étant formée d'intégrales pour lesquelles

z , Xi , . . . , Xk 1 , Pk 1 • • • 1 Pn

sont développables en série suivant les puissances de

Pi, . . . , pk—i, Xk, . . . , x„

et qui sont tangentes à la solution singulière en tous les points d'un lieu

défini par k — i équations.

Pour l'étude ultérieure de ces solutions, il ne set'a pas inutile de donner plus de précision aux formules (4^2 ). Ecrivons l'équation aux dérivées partielles

z =f[x^ , . . . , x„ , pi , ...,/)„) + ;f/ ,

f contenant tous les termes du second degré en ^i , . . . , ^„.

Les formules relatives à une caractéristique pourront s'écrire , en faisant h = i ,

OÙ l'on a posé

Rappelons qu'entre les arbitraires cci,xl devra avoir lieu l'identité différentielle

ai «5^:° -)-...+ a„ Sx^ = o.

S 31. D'UNE AUTRE METHODE POUR L'INTEGRATION DES ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.

La théorie précédente repose tout entière sur l'emploi des caractéristiques. Mais on peut aussi déterminer directement les intégrales par une méthode qui sera applicable aux équations aux dérivées partielles de tous les ordres.

Soit l'équation

(46) F(z,a?i, ...,a;„,pi Pn) = o,

et supposons qu elle admette une intégrale finie et continue. 11 est clair que, si Ton fait ^i = a:", z se réduira, au moins en général, à une fonction déterminée de ^Tg, ...,x„. Réciproquement, je dis qu'il y aura une intégrale développable se réduisant, pour x^=x\^ à une fonction (^ de x^^ . . . , a7„, sous les conditions suivantes :

i" Celte fonction (p sera supposée développable dans le voisinage des valeurs x\^ . . , j:;° de a?2, • . • , x^. Soit />" la dérivée de (^ par rapport à X{ et (p° la valeur de (^ pour X]^ = x\.

2"' L'équation

donnera une valeur de p^ pour laquelle la dérivée — ne sera pas nulle, et Ja fonction F sera développable pour

.2==(p«, Xi=^x^, Pr-=P"'

En effet, sous ces conditions, l'équation (/i6) définit p^ comme fonction développal3le de z,Xi, . . . , .r„,^2i • ■ - iPn

Pl =J [^y ^i, . . , ^ X,i, P21 • ' • 1 Pn) 1

et le théorème il des Préliminaires démontre l'existence d'une fonction z satisfaisant aux conditions indiquées et développable en série de puissances.

Mais la proposition précédente est loin de résoudre toutes les questions qu'on peut se proposer sur l'existence de l'intégrale. Par exemple, dans le cas de deux variables , les conditions auxquelles nous assujettissons fintégrale expriment que la surface qui la représente passe par une courbe plane, située dans un plan perpendiculaire à l'axe des x. Cette dernière condition a l'inconvénient de dépendre du choix des axes; elle est d'ailleurs extrêmement particidière. Ainsi, elle ne donne pas la solution de la question suivante : Trouver une intégrale passant par une courbe donnée plane ou gauche.

Pour obtenir toute la généralité voulue, il suffira de faire le changement de variables suivant, dont la théorie ne présente

aucune difficulté. Supposons que l'on recherche l'intégrale dont l'équation sera vérifiée identiquement lorsqu'on établira entre les variables deux relations quelconques

Z =J \X^ , X^ , . . . , Xjij ,

Xi ^=^yi \X2i x^i . • • , x,ij.

On substituera aux variables z, x^ les deux suivantes

z = z J ^ X<2^ , . . . , Xfi j , X^ = Xi J ^ Xc^ , . . . , Xfi j ,

et l'on sera ainsi ramené du problème général au suivant : Trouver une fonction satisfaisant à une équation aux dérivées partielles et se réduisant à zéro pour Xi = o. Le problème étant ramené à cette forme simple , nous allons le discuter complètement. Soit

r \^Z , Xi, , . . , Xfi, pi, . . . , pnj ^ o

l'équation proposée, dont nous désignerons toujours la différentielle par

Zdz + Pi f//>i + ... + Xi dxi + ... =0.

D'après le théorème déjà rappelé, si, pour z = Xi= ... =a;„ = o, Pi n'est pas nulle, il y aura une solution développable suivant les puissances de o^i , . . . , x^.

Supposons maintenant que Pj soit nulle et faisons la substitution

z — z — Di X-^ — Jj^ X^'

On déduit de là

( 47 ) dz'=-Xi^ dpi - X2 dp^ + /)3 c/j;3 + . . . + /?„ dx,,.

Prenons comme variables indépendantes

Pli P21 '^31 • • • ■, x^.

Nous aurons

Les conditions initiales posées nous donnaient, pour .Xj^ = o,

et par suite

/J2 = 0, . . ., Pn = 0.

Nous aurons donc avec la nouvelle fonction , pour p2 = o,

quelles que soient les autres variables /^j, x^, . . ., x„. La nouvelle équation aux dérivées partielles deviendra

j. f t 7)2' ^z' 7)z' Dz' \

et la dérivée par rapport à ^ du premier membre sera

si donc elle n'est pas nulle , z et par conséquent z seront développables suivant les puissances de

Nous avons donc la proposition suivante :

Quand Pi sera nul, si Xi^^Zp^, k étant différent de i , n'est pas nulle, z, Xk,-z\, P2, . . . , pk — i-, pk-t-i-, ••-,/>« seront développables suivant les puissances de

P\ 1 -^2 ■>••••> ^k — 1 ■> Pk 1 •^A-t- 1 1 • • • 1 '^n-

Mais il y a encore un autre point, déjà signalé au paragraphe ilx, et dans lequel la théorie de Cauchy peut être complétée, z étant une fonction de Xj, . . . , x^, il peut se faire que la seule hypothèse Xi = x'{ introduise entre ces variables plusieurs relations. Nous avons déjà cité l'exemple de l'intégrale qui, dans le cas de deux variables, serait engendrée par toutes les caractéristiques passant en un point x=Xo,y=yo'> ^ = ^o- La seule hypothèse x = Xo exigerait que l'on eût à la fois y=Joi z='Zq.

SW. ÉTRANG. t. XXVn. — N° 2. 2 2

Par un changement de variables nous ramènerons encore tous les cas possibles à un seul, de la manière suivante :

Supposons que l'équation de l'intégrale cherchée doive être vérifiée identiquement quand on établit entre les variables les k équations suivantes :

.Tk-i=fk-i{Xk, . . ., ^„).

On substituera aux variables z, Xy, . . ., Xk i les suivantes

Z =Z j\X]i^ • • • t Xfiji Xi = X'i Ji [^Xj., ... 1 X„j ,

Xj^ — 1 — ^A — 1 Jk^l\^lf> • • • 1 -^/iji

et l'on sera ramené avec les nouvelles variables au problème suivant : Chercher une intégrale dont l'équation soit vérifiée, quels que soient .r^, . , . , ,t„, quand on a

z = o, Xi = o, ..., .r2-i = o.

Alors la différentielle de z

dz = pi dxi -[- . • •+ /^« dx„

devant être nulle, quels que soient .r/,, . . . , r„, quand on a rj = . . . =.r/,i = o, il faut que l'on ait

quels que soient dxj,, . . ., (/.r„, ce qui donne

Prenons comme variables indépendantes

et introduisons la nouvelle fonction

on aura

du = pi dx^ — x^ dp^ — ... — Xk i dpk-i

-hphdxk+ . . . -\~p„dx,;

a sera donc une fonction des variables indépendantes qui, pour .ri = o, devra se réduire à zéro, quelles que soient les autres variables indépendantes. Nous sommes donc ramenés au problème déjà traité en premier lieu. Du reste, comme on a

on formera aisément l'équation à laquelle satisfait la fonction (/ , et l'on reconnaîtra par un calcid des plus simples que, pourvu que Pi soit différent de zéro, elle donne pour u une fonction développable de

■^1 ' P^ 1 • • • 1 Pk — 1 1 •*'/f •■ • • • 1 '^n •

Les formules (48), (49) feront connaître les autres variables.

Nous pouvons avoir ainsi ces intégrales nouvelles, que nous avons introduites avec M. Lie, et qui sont représentées par plus d'une relation entre z, .Ti, . . . , jr„. Soit, par exemple, féquation

c = ap -{- hq -\^ z — /?.t — qy^

qui exprime que le plan tangent à une surface passe par un point fixe. Clierchons fintégrale telle que, pour ,r — o, l'on ait

L'application des méthodes précédentes conduit an résultat suivant : Posons

et prenons pour variables indépendantes x et q; nous trouverons pour u l'équation

Du

u~c^{a-x)^-}-bq =

L'intégrale de cette équation se réduisant à o pour x= o est

c-bq

d'où l'on déduit

c — bq ' a

ay — bx = o , ex — az = o , en sorte que x, y, z sont liées par les deux relations

qui représentent la droite passant par le point fixe et l'origine. Les éléments à deux variables indépendantes dont se compose l'intégrale sont un plan quelconque passant par cette droite, associera un point quelconque de la droite.

S 32. EXAMEN DES SINGULARITES DES INTEGRALES, CORRESPONDANT À L'ETUDE DES SINGULARITÉS DES CARACTERISTIQUES.

Après avoir examiné les intégrales en général, il sera utile d'étudier les singularités qu'elles peuvent présenter. Mais nous nous contenterons de traiter le cas de deux variables, où les résultats obtenus pourront s'interpréter géométriquement.

Nous allons d'abord étudier la forme des intégrales qui , dans le cas général, sont tangentes en un point donné à un plan donné. Le résultat obtenu nous servira ensuite de terme de comparaison.

Prenons le point pour origine, le plan donné pour plan des ry

et cherchons les premiers termes du développement de l'intégrale. En admettant que l'intégrale est développable , nous n'excluons que les seviles intégrales suivantes : i" celle qui est formée des caractéristiques passant au point; 2" celles qui seraient assujetties à contenir une courbe tangente à la caractéristique dont le premier élément est situé dans le plan des xy. Soit

l'équation proposée. On peut supposer jS = o, ce qui revient à admettre que l'axe des x est la tangente à la caractéristique. Le calcul des premiers termes de z n'offre aucune difficulté. On trouve

(5i) -a2 = ^ + 6xj-^^-|

h étant une constante arbitraire. On voit que l'intégrale a un point ordinaire à l'origine, toutes les intégrales différentes étant osculatrices les unes aux autres dans la direction de la caractéristique, conmie cela doit être, puisqu'elles contiennent cette courbe. Passons maintenant au cas où l'on aura

Si l'on applique les résultats de farticle précédent, et que Ton prenne comme fonction u = px-\- qy — z et comme variables indépendantes p et q, on verra sans peine que u et par conséquent .r, j, z sont développables suivant les puissances de p et de q,

La forme de l'équation aux dérivées partielles est alors

o = ax-hby-irCZ-{-p[a'x-i-b'y-^c'z)-{-q ( )

OU. en mettant en évidence les termes de degré moindre,

o = a.a: + 6j + A^' + bpq + C ^' + • • •

nti G. DARBOUX.

a et 6 ne pouvant être nuls en même temps, car alors on aurait

Il est clair qu'on peut choisir les axes de telle manière que b soit nul, et réquation prend la forme

(52) ir = A2! + B/J7 + C^H

Il existe une première intégrale, qui, si Ton réduisait l'équation (52) aux termes écrits, s'obtiendrait en supposant 9 = 0, ce qui donnerait

^ 2: = ^KIt^ +

Nous retrouvons ainsi , quoique par une méthode peu rigoureuse , les intégrales à ligne de rebroussement signalées à l'article 27.

Voyons maintenant les intégrales générales. On a a; = r- et, par

suite, l'équation (52) devient

i=Af+B,,+c2:+...

En intégrant on a donc, pour les premiers termes de «,

H désignant une constante arbitraire, et, par suite,

^ ' ùVi

J = i = Bf + C„ + Hl'+...

Si entre ces équations on veut éliminer j) et ^, le résultat est compliqué. Ainsi, en chaque point de la surface (R) lieu des rebrous-

sements des caractéristiques, celles des intégrales qui contienneni la caractéristique ayant un rebroussement ont une singularité d'ordre assez élevé.

Je n'examinerai pas le cas où l'on a

Cette hypothèse se ramène à la précédente au moyen d'une transformation par polaires réciproques. On aura alors des surfaces représentées par l'équation

z = ax^ -\hx^y -f- cxrf -)■- /ij^,

c'est-à-dire ayant un contact du deuxième ordre avec leur plan tangent.

Je ne traiterai pas non plus le cas où l'on a