X-|-pZ = o, Y + 7Z = o, P = o

Comme l'étude de celte question est étrangère à notre sujet, j'arrive au point essentiel, à l'examen du cas où il y a une solution

singulière.

S 33. DKS INTÉGRALES TANGENTES À L'INTEGRALE SINGULIERE.

Supposons toujours que la solution singidière soit le plan des xj et que la dérivée Z du premier membre par rapport à z soit différente de zéro. L'équation aux dérivées partielles, résolue par rapport à z, prendra la forme

(54) 2 z = A/)2 + 2 B/J7 + C çH t/' (/^ 7 . '^ . J ) ,

•<^ étant une série dont tous les termes sont du second degré au moins en j) et en 7, mais dont les termes du second degré s'annulent poiu" a? = o , j = o.

Considérons d'abord l'intégrale formée de toutes les caractéristiques passant en un point, à l'origine par exemple, intégrale dont l'existence a été démontrée à l'article 28 et pour laquelle .r,j, z

sont des fonctions développables de p et de 9, dont les premiers

termes ont été donnés à farticle 29 et sont

j = B/) + Cqf+ ...

iNous voyons que , toutes les fois que AC — B^ sera diflérent de zéro, on pourra, des formules relatives à x et à j, tirer p et q en fonctions développables suivant les puissances de x et de j et, par conséquent, développer z suivant les mêmes variables. Nous avons donc démontré la proposition suivante :

Toutes les fois que l'équation aux dérivées partielles admet une intégrale singulière pour laquelle on a Z^o, il existe des intégrales tangentes en un seul point à la solution singulière et formées des caractéristiques tangentes en ce point, intégrales qui joueront par conséquent le râle des intégrales complètes de Lagrange.

Siy^- yj — (y-^)^= o , ces intégrales existeront toujours; mais elles

auront un point singulier à leur point de contact avec l'intégrale singulière, et, par conséquent , ne donneront pas z fonction développablc de X et de y.

Traitons maintenant des intégrales générales, de celles qui sont tangentes à la solution singulière en tous les points d'une courbe, que nous ramènerons à être l'axe des j par les transformations déjà employées.

Les premiers termes des développements qui définissent lès car;ictéristiques tangentes à la solution singulière, dans le voisinage de forigine ont déjà été donnés. On a

/) = att4-... X — Xo=(Aa4-B(S) u -1- . . . 7 = |Stt+ .-. j-j..==(Ba + C(S)M+ ...

Si nous voulons que ces caractéristiques engendrent une intégrale,

il faut que Ton ait, entre les valeurs initiales, la relation dilTérentielle

Dans le cas actuel, la courbe de contact étant l'axe des j, on a Sx,, = o, et il faut prendre jS = o, ce qui donne

p = au -f- . , . x = koLU + . . .

q = o -^Wu^ -\- . . . j==jo + Baif+ . . .

On voit que, toutes les fois que A ne sera pas nul, on pourra tirer u eljoen fonctions développables de x et de j, et, par conséquent, développer z suivant les puissances de x et de y. Or A ne peut être nul que pour des courbes de contact exceptionnelles, à moins que, avant le cbangement de variable qui a transformé la courbe de contact en une droite. Taxe des j, la forme

Ae + Bpî + CÎ-*

ne soit identiquement nulle. Mais, clans tons les cas, au et jo peuvent être déduites des équations précédentes, en fonctions développables de p et de J. Nous avons donc la proposition qui suit :

Toutes les fois qu'il existe une intégrale singulière pour laquelle on a Z^o, il y a une infinité de solutions jouant le rôle des intégrales générales de Lagrange et tangentes à l'intégrale singulière en tous les points d'une courbe.

Mais si, en un point ou sur toute l'étendue de la ligne de contact,

on a

dp^~^' dq^~^' dpiq^^'

ces intégrales, sans cesser d'exister, auront des points singuliers à leur contact avec l'intégrale singulière.

En chaque point de l'intégrale singulière, il y a, on s'en assu-

Sav. étrasg. t. XXVII. — N° 2. 28

rera par un calcul des plus simples, deux directions possibles de la courbe de contact, qui, prises pour axes des j, feraient évanouir le coefficient A. Par suite, si la courbe de contact était tangente à Tune ou l'autre de ces deux directions, l'intégrale générale ne serait plus développable et aurait une singularité. C'est la confirmation des résultats donnés à l'article lo de notre première partie. Nous avons vu, en effet, qu'il existe des intégrales ayant une ligne de rebroussement sur la solution singulière, et qui sont analogues aux surfaces développables circonscrites à une surface donnée en tous les points d'une ligne asymptotique.

On peut donner de belles propriétés des solutions générales dont nous venons de démontrer f existence, en effectuant une transformation remarquable de féquation aux dérivées partielles; et cette transformation nous fera retrouver, en l'étendant aux équations aux dérivées partielles, un curieux et intéressant résultat établi par Poisson ^^^, relativement aux équations différentielles ordinaires.

Quand l'intégrale singulière est le plan des xy, féquation proposée, sans même qu'il soit nécessaire de la résoudre, est de la forme

F étant une fonction dont les dérivées P, Q,X,Y doivent s'annuler pour p = q = z = o. On pourra donc la mettre sous la forme

(55) 2(^(.r,j)z-f A/j2 + 2B/)9 + C72 + D/)z + E9z-hFz2 = o,

A, B, C, D, E, F étant des fonctions quelconques. L'équation précédente comprend du reste, comme cas particulier, la forme sous laquelle se présente féquation résolue par rapport à z. Cela posé, faisons la substitution

^'' Poisson. Sur les solulions particulières des équations difFérentielles et des équations aux différences. [Journal de l'Ecole polytechnique, i3' caliier, p. 70.)

qui donne, en appelant p\ q les dérivées de z\

noire éfjuation deviendra

/^r2<^(a;,j) + Ap'^+2BpY + Cr/^ + D/y^ + Ef/'^ + FÇl=o.

La sohifion singulière est mise en fadeur. Quant à la nouvelle équation obtenue en supprimant ce facteur, elle ne présente plus de singularité en aucun point de la solution singulière. Pour j' = o, j? = ,ro, j=joi elle devient

2(p {x„yo) + A„//'-^ + 2B0//7' + Co^'- = o ,

Ao, B,., Co étant des fonctions de ^„,jo- Ainsi, pour chaque point du plan des xy, le cône (T) des tangentes aux caractéristiques devient un cône du second degré , et la solution singulière a été complètement éliminée; elle ne satisfait plus à l'équation transformée.

Il serait facile de déduire de cette proposition une nouvelle démonstration des propriétés des caractéristiques, qui sont, comme nous l'avons vu à Tarticle 1 o , la généralisation de celles des tangentes conjuguées.

Mais il est un fait plus important, que l'on peut conclure de l'analyse précédente.

Les anciennes intégrales générales, celles qui étaient tangentes en tous les points d'une courbe à la solution singulière, deviennent maintenant des intégrales développables de la nouvelle équation. On a donc le théorème suivant :

S'il existe une solution singulière

pour laquelle on ait Z^o, les intégrales qui lai sont tangentes en tous les points d'une courbe sont représentées par l'équation

z' étant une série convergente ordonnée suivant les puissances de x et dey.

Cette proposition était loin d'être évidente. Car toute série ordonnée suivant les puissances de deux variables et dont le premier terme n'est pas une constante n'est pas nécessairement le carré d'une autre série.

L'intégrale complète donne lieu à un théorème du même genre; on verra facilement c[u on peut donner à son équation la forme

où M et i; sont deux séries de puissances entières. Je n'insiste pas sur ce résultat, qui sera confirmé plus tard et généralisé pour le cas d'un nombre quelconque de variables,

S 34. DE LA SOLUTION SINGULlÈUE DANS LE CAS D'UN NOMBRE QUELCONQUE

DE VAhIABLES INDEPENDANTES.

Nous supposerons toujours que la solution singulière a été ramenée à la forme

et nous écrirons l'équation aux dérivées partielles

(56) z = <p{pi,p^, ...,/;„) +i//(/9i,...,/j„,^i, ...,x„),

(p étant une forme quadratique dont les coefficients sont des constantes, et ^p ayant tous ses termes du second degré au moins en /),, ...,/)„, mais de telle manière que les termes qui sont seulement du second degré en pi, . . . , p^ contiennent de plus en facteur une des variables Xj , . . . , ,r„.

Cela posé, les formules (44) ^ relatives à une caractéristique quelconque, deviennent ici

A la vérité, (p n'est pas identique à la fonction que nous avons désignée par y,, dans les formules (44); pour avoir^o, il faudrait ajouter à (p les termes de ;^ qui, tout en étant du second degré par rapport à. pi, ..., />„, contiennent l'une au moins des variables Xj, . . . , Xn^ mais ces termes étant de degrés supérieurs à ceux de (p, si l'on considère les variables r° comme infiniment petites, nous pouvons supposer qu'on les ait réunis aux termes non écrits dans les fornudes précédentes.

Pour avoir une surface intégrale, il faut établir entre les arbitraires aj, . . . , a,i et les valeurs initiales x°, . . . , .r° des relations telles que l'on ait identiquement

Ces points étant rappelés, considérons d'abord l'intégrale formée (les caractéristiques qui passent au point

de l'intégrale singulière. On a, dans ce cas,

Donc, si le déterminant des n fonctions linéaires

n'est pas nul, ou si, ce qui revient au même, la forme (p n'est pas réductible à une somme de moins de n carrés, on pourra tirer aj , . . . , a„ en fonction de Xj, . . . , .r„, et, par conséquent, développer z, ^i , . . . ,pn suivant les puissances entières de Xj , . . . , x,^. Dans tous les autres cas, l'intégrale existera encore puisque, comme nous l'avons déjà remarqué, a^, ... , a„ et, par conséquent, z, x^, ... , r„ peuvent se développer suivant les puissances de p^, ..., p„, mais elle aura des singularités à son élément de contact. Nous avons donc le théorème suivant :

Toutes les fois qu'il existera une solution singulière pour laquelle

on aura Z^o, il y aura une intégrale langenle en un élémenl de la solution singulière, et jouant, par conséquent, le rôle d'une intégrale complète ordinaire.

Si la forme

vy ^'F

OL; a.

est réductible à une somme de moins de n carrés, cette intégrale existera encore, mais elle ne sera plus développable suivant les puissances

Examinons maintenant les différentes classes d'intégrales dont nous avons reconnu l'existence à l'article 3o, et qui sont tangentes à l'intégrale singulière en tous les éléments d'un lieu représenté par une ou plusieurs équations.

Supposons d'abord que l'on ait, par l'artifice employé à Tarticle 3o, ramené les équations du lieu des éléments de contact à la forme

Pour simplifier la résolution de la question que nous avons à traiter, nous commencerons par effectuer une substitution linéaire, définie comme il suit :

Considérons la forme quadratique formée avec les variables

(59) 2f, = œ]-i- . . . -\-xl,

et la forme quadratique qui figure dans féquation (56)

il est évident que, de quelque manière que Ton transforme /j en une somme de carrés, on retrouvera, en égalant chacun de ces carrés à zéro, un système de relations équivalent aux équations (58) qui définissent le lieu de contact.

Or, lorsqu'on soumet les variables œ^, . , . , .t„ à une substitution

linéaire, les dérivées p^, . . . ,pn sont transformées par la substitution inverse. Il y aura donc, en général, au moins une substitution linéaire qui amènera yi et (p à des sommes de carrés ''). Soit alors

(60) 2(p=pl-{-pl+...+pl

l'expression de (p, X étant généralement égal à n, mais pouvant lui être inférieur. La forme la plus générale que puisse prendre /i est alors

f\ =- ax'^ -i- • • • -\- a x'^ -\- a , x^ /-}-•••-■!- a x"^ ,

«/ 1 11 ' fi fi ' n - fjL n - IX ' n II

où les ju, premiers carrés coirespondent à des dérivées figurant dans 0, les autres à des dérivées qui disparaissent de Ç>. Le système (58) sera donc remplacé par le suivant

sur lequel nous allons raisonner. La condition

a, <5^x -f • • • -f- a ^x -h • • • + a 'Sx ,+ ••• -^-a,Sx =0

n'assujettit