CL . et flt

à aucune relation, mais elle ne sera satisfaite que si les quantités

a , .... a sont nulles.

*'' Dans l'étude de la question si étendue qui nous occupe, nous laisserons de côté les cas exceptionnels où cette substitution linéaire n'existerait pas. C'est ce qui arriverait , par exemple , si les deux formes quadratiques étaient

18^1 G. DAUBOUX.

ï.es équations de la caractéristique deviennent donc

ce.

P ' =0 4- / (i- fx - 1 '

I n- (i n- fi '

^ / — ce I

n-ft-1 n-fi-i

On voit que l'on pourra déduire de ces formules

1' ' fi' F+i

' ;i - fx - 1 ' n - fi '

qui seront développables en séries ordonnées suivant les puissances de

/^' • • •' Pfi'^fi+i' • • •' -^n-fi'-i' Ai-ft'' ' ' ' ■' Pn'->

mais on ne peut conclure de là que z sera toujours développable suivant les puissances de ^1, ..., x,^; car, les développeiuents de Xn-fji'-, . . . , Xn ayant leurs premiers termes nuls et commençant par des termes du second degré, il ne sera pas possible d'obtenir pour a^-fi', . . . , a„ des expressions développables suivant les puissances de a^i, ..., x,,. Il faut donc, pour que ce développement suivant les puissances de i;^ , . . . , .t„ soit possible , que les équations (61) de la courbe de contact contiennent seulement les variables pour lesquelles les dérivées correspondantes figurent dans (p.

Alors les équations de la courbe de contact seront

Ti = G ,

fA< A.

On aura, pour les caractéristiques,

(i II

fx+i fX+l

et, par suite, les termes du second degré dans z prendront la forme très simple

Xi-\-X^-f- . ■ ■ -j-X'/x .

Nous obtenons donc la proposition suivante : Si V équation aux dérivées partielles ^^^

Y[z,Xi,pu) = o

admet une solution singulière pour laquelle on aZ^o, il y a, en dehors de l'intégrale singulière et de l'intégrale complète déjà étudiée, n— 1 classes d'intégrales , jouant le rôle des intégrales générales de Lagrange

''' A la vérité, ce théorème ainsi que le suivant paraissent démontrés seulement pour le cas où le lieu de contact est représenté par les équations particulières

x^ = o, . . ., Xh = o.

Mais on peut, comme nous l'avons déjà fait à l'article 3o, ramener tous les autres Sav. étbang. t. XXVII. — N° 2. 24

et tangentes à la solution singulière en tous les points d'un lieu représenté par une, deux, . . , n— i équations.

Si la forme quadratique

est réductible à une somme de X carrés, toutes les intégrales pour lesquelles le lieu de contact serait représenté par plus de X équations ne cessent pas d'exister, mais elles ne sont plus développables suivant les puissances de x^, . . . ,^„. Parmi celles pour lesquelles le lieu de contact est défini par X ou moins de X équations, il y en a aussi plusieurs qui, sans cesser d'exister, cessent d'être développables.

Mais nous pouvons compléter ces résultats et donner des exprès-

cas à celui-là. En effet, si les équations du lieu de contact sont, d'une manière générale,

on substituera k x^, . . . , Xh les variables suivantes

Xi = Xi J ^■,

Avec les nouvelles variables, les équations du lieu de contact deviendi'ont

et Ton sera ainsi ramené à la question particulière traitée dans le texte. D'ailleurs toute fonction développable suivant les puissances de

l'est aussi suivant celles de

x^, . . . , x,j , A'ft+i , • • • , a."„

et réciproquement. Nos théorèmes s'étendent donc immédiatement au cas où le lieu de contact est représenté par les équations les plus générales.

sions remarquables pour les équations de ces différentes classes. Reprenons à cet effet l'équation

Xi-\- X^-f- . . . -\- X'f,, .

qui convient à l'une quelconque d'entre elles;

Xy — O , • . • , iXu — O

étant les équations du lieu de contact, il suit de là que, pour

non seulement z , mais px.p^-, > • • -, p^i-, seront nulles, et cela , quelles que soient les variables Xf^^ , , . . . , x,^ qui figurent dans l'expression de z à partir des termes du troisième et du quatrième degré. Or cela ne peut avoir lieu que si tous les termes du développement contiennent, soit le carré de l'une des variables j^j, . . . , j^^, soit le produit de deux de ces variables. L'expression de z sera donc de la forme

, ... { 2=Aix5+ ••• -j-A^^p+g^ ^BikXiXk

Al, . . . , A^, B,fc étant des Fonctions quelconques dont le développement commence : i° pour Ai, . . . , A^^par une constante -; 2° pour

B,t par des termes au moins du premier degré. Cette propriété des développements de A^, B,i résulte de f expression déjà trouvée plus haut pour les termes du second degré du développement de z.

On peut obtenir une expression plus élégante par la décomposition en carrés. Ecrivons

k/A], -^ sont développables suivant les puissances entières et po-

sitives des variables .r,-, puisque le premier terme de Ai est la constante " • Donc on a

x'i désignant une série de puissances entières. Quant à la fonction O, elle contient une variable de moins que z, mais il est facile de voir qu elle jouit des mêmes propriétés. Par exemple, le nouveau coefficient de xl sera

Or, Bi2 s'annulant avec toutes les variables, on voit que le nouveau coefficient de xl sera encore un développement commençant par

la constante -. En poursuivant donc le même raisonnement on

mettra z sous la forme élégante

z = x'^4-^'^+ • • • -hx'^

et Ton aura démontré le théorème suivant :

Quand une équation aux dérivées partielles à n variables indépendantes a une solution singulière pour laquelle on a Z^o, il y a n classes d'intégrales développai les. Si

z =J \^Xi , . . . , X,ij

est V équation de la solution singulière, les intégrales de la première classe seront représentées par une équation de la forme

«1 = o élant l'équation du lieu de contact. Cette première classe contiendra les coefficients d'une fonction arbitraire de n~ \ variables.

Les intégrales de la k""" classe seront représentées par une équation de la forme

i = f{-r^. . . .,.r„) + «; + '/:jH f H

qui contiendra les coefficients de k fondions arbitraires de n ~ k variables.

Les intégrales de la n'""" classe seront représentées par une équation de la forme

z = f{x^, . . . j;J + ttj4- . . .^u],

et dépendront de n constantes qui sont les coordonnées du point de contact avec l'intégrale singulière.

Si la forme

est réductible à une somme de n — ^ carrés, les ^ dernières classes subsistent, mais les développements précédents ne leur sont plus applicables.

On peut, ici encore, étendre le résultat de Poisson et éliminer la solution singulière. En effet, l'équation aux dérivées partielles, résolue ou non résolue par rapport à z, peut se mettre sous la forme

(65) 29(Xj, . . .,xj2+22A.-fc/^.7^)t+22^</^'~' + ^Cr = o,

A,A, B,-, G étant des fonctions quelconques de tontes les variables. Effectuons la substitution

qui donne, en désignant par p^ la dérivée de z par rapport à i;,-,

p'iz' = pi.

L'équation précédente deviendra donc

La solution singulière est ainsi mise en facteur et ne satisfait plus à la nouvelle équation qu'on obtient en supprimant 2'^, et qui , pour z' = o, ne présente aucune singularité. On retrouverait ainsi tout de suite notre première classe de solutions générales. Car il est

évident que la nouvelle équation admet des solutions dévelop-

pables z' , d'où l'on déduira

Les autres classes apparaîtraient d'une manière beaucoup moins simple.

Les résultats précédents nous paraissent établis en toute rigueur; mais comme le calcul direct des termes du second degré de z présente un intéressant problème d'analyse, j ai cru utile de le traiter directement. Soit

l'équation aux dérivées partielles. Le calcul des termes du second degré se ramène à la solution de la question suivante :

Trouver fous les polynômes homogènes du second degré satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles

Pour résoudre cet intéressant problème d'analyse, nous supposerons d'abord cpie, par une substitution linéaire quelconque, on ait ramené (p à une somme de carrés. Alors l'équation à résoudre sera

Quoique z soit inconnue, nous admettons qu'il y aura toujours ^^^

'"' En e£fet, on peut toujours écrire la valeur inconnue de z sous la forme

z = (p{x,, ....x^)-hx,P,^ +x^V^ + yp{x^^, xj.

P , . . ., P, étant des fonctions linéaires âe x. ,x. Effectuons sur les va-

riablesa;^, ...,x. une substitution orlliogonale qui ramène (p à une somme de carrés , 2 prendra la forme

2 = A,x?+ HAf,a:'f, + a;,P,H wx^P^ + ^l^ [x^^^ .xj.

où fx est au plus égal à A et l'équation aux dérivées partielles sera toujours

(a) 2z=pl+ \-p\.

Je dis que toutes les fonctions P,^ pour lesquelles h > (x sont nulles. En efliét , si l'on

une substitution orthogonale, la ramenant à une somme de carrés, et laissant invariable la somme

p'h — +pI'

Supposons effectuée cette substitution inconnue; z prendra la forme

et Ton devra avoir

+ a„aj-;

ce qui donne les équations

substitue la valeur de z dans l'équation précédente, le second membre ne contiendra pas a;^ si /( > fx; il faut donc que le premier membre ne le contienne pas non plus et, par conséquent, que l'on ait

SI

On peut donc donner à z la forme suivante 2 = A,a:;i-t- ■ • ■ + A.^x^^^.^^ P, + • ■ Substituons aux variables x„ les suivantes

les dérivées p^, ..,,p„ne seront pas changées. L'équation aux dérivées partielles conservera sa forme et z deviendra

z = A,x'*+--+Af,x'^-^yi/^{x^^, xj.

Si l'on efTectue enfin sur <2?j^,. • • • > ^„ une substitution qui ramène la fonction ip^ à

une somme de carrés, on aura obtenu la forme de z qui va nous servir de point de départ.

Nous obtenons ainsi les diverses solutions suivantes

iz = o^ -^-x"^ .

J^a première correspond évidemment à la solution singulière. Mais il faut maintenant effectuer en sens inverse la substitution orthogonale qui a ramené z à une somme de carrés en laissant invariable la somme

Les substitutions de ce genre contiennent î- arbitraires. Mais

pour avoir le nomljre de constantes réellement distinctes contenu, par exemple, dans la solution

il faut retrancher :

1° Le nombre ^—^ — - de constantes arbitraiies qui sont contenues dans la sul^stitution orthogonale effectuée sur j^i, ...,x^, substitution qui n'aurait aucun effet sur z\

2° Le nombre ^ -~^~^i ^ç. constantes contenues dans la

sid)stitution orthogonale effectuée sur

qui laisserait cette somme invariable et ne changerait pas z. Il reste ainsi (x(X — fx) constantes arbitraires pour la classe considérée.

Dans le cas général où A = «, cela répond bien aux résultats précédemment obtenus, \k fonctions de k — ju, variables contenant bien ^[n — \l) coefficients dans leurs termes du premier degré.

Signalons ce résultat curieux : ce n'est pas l'intégrale la plus générale qui contient le plus de coefficients arbitraires dans les termes du second degré.