S 35. EXAMEN DES SOLUTIONS SINGULIERES EXCEPTIONNELLES

Après avoir traité d'une manière détaillée le cas où Z ^ o , disons quelques mots des solutions pour lesquelles l'équation aux dérivées pari 1 elles ne pourra être résolue par rapport à z. Nous ne nous occuperons que des intégrales pour lesquelles z est une fonction développable de Xj, . . ., x„. Soit

l'équation aux dérivées partielles. Puisque Z, P^, . . . , P,i sont nuls pour 2 = ^1 = ...==/)„ = G, cette équation ne contiendra que des termes du second degré au moins en z,pi, . . . ,/)„.

Ecrivons les termes de degré moindre contenant /j^, ...,/j„, ceux de degré moindre contenant à la fois pi, . . . ,p„ et z, et enfin ceux de degré moindre contenant z seulement. Nous aurons ainsi une écjTiation de la forme

(68) (p(/)i, ..., p„)+Sz^\//,-(/)i, ...,/}„)+Az'^'+ ... =0,

où les termes non écrits sont de degré supérieur par rapport à ceux que l'on conserve et où X' est au moins égal à 2. D'ailleurs le degré de •»//,• ne peut être supérieur à celui de Ç); car autrement le terme z^i\pi serait de degré supérieur à Ç>; par conséquent, la somme ItZ^^ypi se compose toujours d'un nombre limité de termes. La méthode à appliquer étant toujours la même, et reposant sur l'emploi du parallélogramme de Newton, je me contenterai, pour plus de simplicité , d'examiner le cas où la somme S z\\pi se réduit à un seul terme. Alors l'équation aux dérivées partielles peut s'écrire

(68 bis) (p[p^, "'^Pn) + ^^'-^{P, '/>J + A2^ + - • -=0,

A étant une constante. Soient /, /' les degrés de (p et de \p.

Sav. étuang. t. XXVII. — N" 2. aS

Si a est le degré de z^ ceux des différents termes seront

pour "Pl/^i' •••»/>«)> /(a— i),

pour

f (,,,,. ...ft.i^A (>+/>-/'"',

poui

Cela posé , construisons sur un plan (fig. 7) les trois points A, B, C, dont les coordonnées sont respectivement :

pour A, x = U J = ~^'

pour B, x=(X+/'), j=— /',

pour C, j; = A', J=^-

Fig. 7.

''' On pourrait faire à cette détermination du degré des différents ternies une objection qui ne se présente pas dans le cas d'une seule variable indépendante. Quand on substitue dans chacun des deux termes ^ (/J, , . . . ., p„), z'' ip [p^ . . . . p^) , l'expression de z, les degrés de ces deux termes sont, en général, /(a — 1), (A + 1') a — /', respectivement; mais on peut objecter que, si les termes de degré moindre de z satisfont, par exemple, à l'équation

le degré de z^ip pourra s'élever; ce qui mettra en défaut les raisonnements qui vont suivre , et qui s'appuient sur la détermination exacte de ce degré.

On reconnaîtra aisément que cette circonstance ne peut se présenter que si Ion cherche les intégrales tangentes à l'intégrale singulière suivant des coin-hcs exceptionnelles. Nous laisserons de côté l'examen détaillé de cette question, car nous n'avons pas l'intention d'étudier les intégrales singulières exceptionnelles d'une manière aussi complète que dans le cas où l'on a Z différent de zéro.

Nous remarquons que le point A est sur la bissectrice de Tangle des axes rOj, que le point B est au-dessus de cette bissectrice et au-dessous de Or, que le point G est sur Ox.

On verra facilement que, si par les trois points A,B,C on mène des droites de coefficient angulaire négatif égal au degré de z changé de signe, —a, les ordonnées à l'origine de ces droites donnent les degrés des termes conservés dans l'équation, termes dont l'un au moins sera toujours de degré moindre que ceux qui ne sont pas écrits.

Cette remarque étant admise, considérons les différentes dispositions des points A, B, C. Supposons d'abord que les points B, C, comme cela a lieu dans la Qgure précédente, soient à la droite de AG, ce qui équivaut aux inégalités

Dans ce cas, toute droite menée par A et ayant un coefficient angulaire négatif et supérieur à i en valeur absolue laissera B, G au-dessus d'elle, et, par conséquent, les termes de degré moindre dans l'équation seront

(p(/Ji, ...,/)„).

Donc les termes de degré moindre de z devront satisfaire à l'équation

(69) Ç>{ih, ...,/J„) = o.

Je dis que, dans ce cas, il ne saurait y avoir d'intégrale générale tangente à la solution singidière en tous les points d'un lieu quelconque.

Supposons, en eff'et, que, par un cbangement de variables, on ait ramené l'équation de ce lieu à la forme

si le lieu de contact a été choisi d'une manière quelconque, la forme (^ (^1, ....p,,) sera complète et contiendra notamment le terme en p[. Gela étant, substituons les termes de degré moindre de z.

z s'annulant avec.rj, son développement et, par conséquent, ses premiers termes contiennent Xy en facteur. Soit

le premier terme du développement. On voit bien que, si on le substitue dans Téquation

le terme en /;' sera de degré moindre par rapport à .Tj, et ne pourra se réduire avec aucun autre. Il est donc impossible de satisfaire à l'équation aux dérivées partielles.

Cette conclusion, dont nous aurons à faire usage plus loin, s'applique sans aucune modification à féquation générale (68) toutes les fois que le degré de (p(/)i, . . . , /)„) est manifestement inférieur à celui de tous les termes conservés.

Remarcpions bien que, si l'analyse précédente exclut les solutions tangentes suivant vm lieu quelconque, elle n'indique rien sur le cas exceptionnel où le lieu de contact serait tel, que le terme en j)\ disparaîtrait de la forme <p. Nous montrerons plus loin sur un exemple particulier qu'il peut exister de telles solutions, que l'analyse précédente n'exclut pas.

Quoi qu'il en soit, un point essentiel est obtenu : nousvoyoïis que la théorie des enveloppes ou de l'élimination des constantes ne nous aurait pas conduits à de telles solutions singulières.

Examinons maintenant le cas (fig. 8) où, le point C restant à droite de AH, le point B est placé à gauche et, par conséquent, dans l'angle OAH. Nous venons d'examiner les solutions dans lesquelles les termes en 0 seraient de degré moindre, et nous les avons écartées.

Mais ici il y en a de nouvelles, pour lesquelles les termes correspondant aux points A et B seraient de même degré.

Le degré de z sera le coefficient angulaire, changé de signe, de la droite AB. 11 faut que ce degré soit entier, et f examen do la figure montre qu'il sera alors au moins égal à 2. Soit a ce degré.

Posons

on aura, en désignant par p[ la dérivée de z' par rapport à r,,

L'équation aux dérivées partielles contiendra 2'^*"*' en facteur et deviendra, après la suppression de ce facteur,

k désignant la différence positive X'a— /(a— 1).

Fig. 8.

On voit que la solution singulière n'est pas éliminée ; mais on est ramené à une équation qui admettra, en dehors de l'intégrale z' = o, des solutions pour lesquelles p[, ..., />„ ne seront plus nulles, et qui seront par conséquent développables en série. A ces solutions de l'équation transformée correspondront des solutions de la proposée de la forme

U désignant une série de puissances.

Remarquons que la proposition précédente s'appliquera encore si le point C, étant à gauche de AH, reste à droite de la ligne AB.

Supposons maintenant (fig. 9) que le point C soit à la gauche du point B', où AB coupe Ox. La solution précédente ne pourra plus

Fig- 9-

convenir, mais il y en aura une, dans laquelle les termes correspondant à A et G seront du même degré. Supposons que ce degré soit entier et égal à a.

Si nous faisons

,a- 1 , Pi-^ Pi-

l'équation aux dérivées partielles prendra la forme

La solution singulière sera en facteur; mais ici la suppression de ce facteur l'éliminera complètement. Il restera une équation au\ dérivées partielles ne présentant plus aucime singularité , et donnant des solutions développablesU, auxquelles correspondront des solutions de l'équalion proposée

Un dernier cas très remarquable (fig. lo) est celui où la ligne brisée ABC tourne sa concavité du côté des y positifs.

Fig. lo.

Dans ce cas, deux groupes de solutions distinctes pourront se présenter dans la même équation. Il y aura d'abord les intégrales déjà considérées en premier lieu, et pour lesquelles les termes correspondant aux points A et B sont du même degré. Mais il pourra y en avoir d'autres encore, pour lesquelles ce seront les termes correspondant aux points B et G qui seront du même degré. C'est ce qui arrivera toutes les fois que le nombre déterminé par l'équation

Xa-f/'(a— i) = Xa

sera entier. Si l'on pose alors

l'équation prendra la forme

In' a.'-

Ici encore, la nouvelle équation en z\ après la suppression du facteur 2'^^ *, n'admettra plus la solution singulière , qui se trouvera ainsi éliminée. Il y aura donc des intégrales générales de deux espèces différentes, tangentes à la solution singulière. Suivant la même courbe, il y en aura une de chaque espèce.

Nous nous contenterons de ces indications très rapides, et nous appliquerons les résultats précédents à l'examen des cas les plus simples.

Dans le cas où il y a une solution singulière formée du plan des xy et pour laquelle Z est nul, la forme la plus simple de l'équation est celle dans laquelle les termes de degré moindre sont

(7O 221^,iP,-P;c + ^21/'/P/ + ^^'-

Dans ce cas, quel que soit le degré de 2, les termes de degré moindre en .t^ , . . . , Xn seront

et, par conséquent, il n'y aura pas d'intégrale tangente en tous les points d'une courbe quelconque à cette solution.

Il ne sera pas inutile de confirmer ce résultat par quelques exemples simples.

Prenons, par exemple, l'équation

qui admet les deux espèces d'intégrales

Les premières pourront être tangentes au plan des xj, mais ce sera alors en tous les points d'une droite parallèle à l'axe des x. Les secondes pourront aussi être tangentes au même plan, si Ç>{x) et (p' [x) s'annulent pour une valeur de x. Mais alors elles seront tangentes en tous les points d'une parallèle à l'axe des j. On voit, d'ailleurs, qu'il y aura une infinité d'intégrales qui ne seront pas tangentes à la solution singulière.

Traitons encore l'équation

pq^z\ On reconnaîtra facilement que, s'il existe des solutions dévelop-

pables tangentes à la solution singulière, à Torigine par exemple, leur développement est de la forme

ou de celle qu'on obtiendrait en échangeant a? en j et j en x. Le développement précédent peut s'écrire

Cette remarque va nous permettre d'en déterminer les coefficients. Si nous substituons en effet cette expression dans l'équation aux

dérivées partielles, nous trouvons, en posant a = ^j et ^'= ^

ce qui donne

(la

En prenant le signe -\- au radical, on trouve une valeur de (p restant fmie pour a = o

{h-\-sJh'^^xy) d'où résulte pour z l'expression

z = Lx -

[hi-s/h'i-àxy)

qui représente toutes les solutions tangentes à l'intégrale singidière suivant l'axe des j. On am^ait des solutions analogues pour toutes les parallèles aux deux axes.

Examinons maintenant le cas où les termes du second degré en pi, . . . ,pn manqueraient dans l'équation, et seraient remplacés parles termes du troisième. L'équation deviendra

Sav. étrang. t. XXVII. — N° 2. 26

Ici, conformément à la théorie générale, posons

L'équation deviendra

On voit que la solution singulière ne peut s'éliminer : elle subsiste dans la nouvelle équation, mais comme solution ordinaire. La nouvelle équation n'offre d'ailleurs aucune singularité. Pour 2 = 0^1 = ... = j:,( = 0 , elle se réduit à

11 y aura donc une infinité de solutions développables pour z' et, par conséquent, pour z une infinité de valeurs de la forme

Supposons enfin que les termes en piz, disparaissant à leur tour, soient remplacés par des termes du second degré en ^^ , . . . , p„. On aura l'équation

^^iidPiPkPi+^^^^ii.PiPk'^9^^''^ • • • =o-

En posant, conformément à la méthode générale, 2: = ^, nous trouvons

(73) ^'°(E«.-«A>i/';+'-'i:^-'^/'.'rt+A+ • • •)

La solution singulière est mise en facteur et ne satisfait plus à l'équation transformée , qui, pour / = Xi= ... =jc„ = o, se réduit à

I^«VA7/^iKPi + A==0

et n'offre aucune singularité. Il y aura donc pour z des solutions de la forme

» Nous ne poursuivrons pas ces applications de la méthode gé~

nérale; mais nous ferons remarquer, en terminant, une conséquence des recherches précédentes.

A l'article 2 2 , nous avons considéré certaines équations aux dérivées partielles dont les intégrales générales ont, avec l'intégrale singulière, un contact du second ordre au moins, suivant une courhe que l'on peut choisir arbitrairement; ces équations sont telles que Ton a Z = o , pour tous les points de l'intégrale singulière, et par conséquent elles sont de la forme de l'équation (G8) que nous venons d'étudier. D'ailleurs nous avons établi, à l'article 22, que les dérivées secondes du premier membre d'une telle équation, par rapport k pi, ..., /j,j, doivent s'annuler, quand on y substitue les valeurs de z, xi, pk, relatives à un élément quelconque de l'intégrale singulière : cela signifie que, pour l'équation aux dérivées partielles écrite sous la forme (68), les dérivées

y-^t -^^ ^ du premier membre doivent s'annuler pour z = pi = o,

c'est-à-dire que la fonction <^(/?i, •.., pn) doit être du troisième degré au moins, par rapport aux variables p, dont elle dépend. C'est ce dernier résultat que nous pouvons maintenant confirmer et démontrer d'une nouvelle manière.

En effet, toutes les fois que la fonction Ç) (p^, . . . , p„) est du second degré seidement en p^^, ..., /)„, les termes (p [p^, . . . , p^) sont ceux du plus petit degré de féquation aux dérivées partielles; et les recherches précédentes nous ont appris qu'alors l'équation ne peut pas admettre d'intégrale tangente suivant un lieu quelconque à l'intégrale singulière. Toutes les fois qu'il y aura de telles intégrales générales, ce qui a lieu pour les équations aux dérivées partielles considérées à l'article 2 2 , il faudra donc que la fonction Ç> [pi^ ■ . ., Pu) soit au moins du troisième degré.

C'est ce qu'il est aisé de vérifier sur tous les exemples que l'on peut former directement.

Considérons, par exemple, les surfaces

qui sont osciilatrices au plan des xy. Leur équation aux dérivées

partielles est

ou, en développant,

C'est bien la forme que nous devons trouver, celle de l'équation (68), où les termes indépendants de z sont du troisième degré au moins, en p, q.

D'une manière plus générale, considérons le cas de n variables et partons de l'intégrale complète

on aiu'a ici

Pi = Xi — tti , pour i <c m 4- i ,

Pi = {^i — o-i)] pour i:>m,

et, par conséquent, l'équation aux dérivées partielles admettant l'intégrale complète (7^) sera, sous forme irrationnelle,

Si l'on rend cette équation rationnelle , on verra sans peine que la fonction (^(pi, ...,/)„) est de l'ordre 3 X 2"~'"~\ toujours égal ou supérieur à 3.