QUATRIEME PARTIE

ÉTUDE D'UNE CLASSE IMPORTANTE D'EQUATIONS AYANT DES SOLUTIONS SINGULIERES.

La théorie des solutions singulières trouve son origine dans l'étude de l'équation de Clairault

y ~ ' ^ dx" f [(ix)

Jusqu'à l'époque de Clairault, les géomètres avaient essayé de résoudre les équations différentielles en les mettant sous une forme intégrable. Il fallait au contraire différentier l'équation précédente pour en avoir la solution. Ce fait frappa vivement les géomètres : Euler, Lagrange , le citent dans leurs travaux sm^ les solutions singulières; Lagrange surtout l'a beaucoup étudié, et il a fait connaître toute une classe d'équations différentielles analogues à celle de Clairault, qu'elles comprennent comme cas particulier, et dont l'intégrale s'obtient également par une simple différentiation.

La théorie de Lagrange a été beaucoup étendue dans un des plus beaux mémoires de M. Serret [Journal de Liouville, t. XVIII, p. i, i"^ série). Mais rien encore de général n'a été fait dans cette voie, croyons-nous, pour les équations aux dérivées partielles. Cette partie de notre travail montrera que la théorie de Lagrange et de M. Serret peut s'étendre aux équations aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables indépendantes.

Prenons d'abord l'équation de Clairault généralisée

(l) Z—piXi—p2r2— ... ~PnXn=-f{py. ••-, />«);

si on la différentie totalement, on trouve

Cette différentielle totale ne contient les dérivées du second ordre que dans les n différentielles dp^, . . . , dp^. Cette remarque suffit à en donner la solution, sur laquelle je n'insiste pas, et qui se trouve dans le mémoire déjà cité de Lagrange. Mais elle va nous mettre sur la voie de la généralisation de cette théorie particulière.