GÉNÉRALISATION DE L'EQUATION DE CLAIRAULT

A cet effet, nous chercherons les équations aux dérivées partielles

qui jouissent de la propriété fondamentale de l'équation (i), c'està-dire qui sont telles que leur différentielle totale soit de la forme

dZ = FidXi-\- . . . -\-VndXn,

P^, . . ., P„, Xj, . . ., X„ étant des fonctions de z, x^, . . .^x^^Pi, . . ., pn- Pour que dZ soit de cette forme , il faut que , dans l'expression

uZi — 1 1 dX-i — ... — r „ u A„ ,

ordonnée suivant les différentielles des variables xi, pi,, z, les coefficients de dpi, . . . , dpn soient identiquement nids, et que les coefficients de dxi, . . . , dxn le deviennent après qu'on a remplacé dz par

Pidxi^ . . . +pndxn.

11 faut donc, si l'on considère les différentielles de z, Xi, p^. comme indépendantes au même titre, que Ton ait identiquement

(3) c/Z — Pi(/Xi~ . . . —FndXn=^p{dz—pidxi— . . . -~p„dx„).

C'est l'équation que nous avons traitée au commencement de la deuxième partie, et dont nous avons donné la solution générale.

On sait que cette solution s'obtient en écrivant h relations quelconques entre Z , Xj , . . . , X,i , z , a^j , . . . ,x„

et en écrivant que l'équation (3) est équivalente à une com])inaison linéaire

X^dypi+ ... 4-A/,(/TfA=o

des différentielles des équations précédentes.

Nous avons vu aussi que l'intégration de toute équation aux dérivées partielles permettra de trouver des fonctions Z,X,-, P/, satisfaisant à l'identité (3).

Réciproquement, supposons qu'on ait trouvé 2n4- i fonctions Z, X,-, P^., satisfaisant à l'identité (3). Je dis que toute équation de la forme W U=/(Z,X,,X„ ...,X„) = o

pourra être intégrée et aura, en général, une solution singulière. En effet, on a identiquement

ou, en substituant à la place de dZ sa valeur déduite de l'identité (3),

Maintenant, si l'on considère z comme une fonction de^Tj, . . .,x„ et /;|, . . . , pn comme ses dérivées, on a

dz = pi dxy + • • • +/^« dxn, et il reste

Puisque dU est nul, il faut qu'il y ait une ou plusieurs relations entre Xj , . . . , X„. Soient

( X| =fi (X/,, . . . , X„) , (7)

( X/.i =yi i (Xa, ...., x„),

toutes celles de ces relations qui sont distinctes. En substituant les

expressions de c/Xi, . . . , c/Xa..i déduites des formules précédentes,

et en écrivant que la différentielle de dl] est nulle, on aura

Ces n — k-\-i relations, jointes à l'équation proposée [l\) et aux relations (7), établiront n -{- 1 relations entre les 2n-\-i indéterminées 2:, a:;, p^.. Du reste, en vertu de l'identité (5), ces relations établies entre Z, X,, Pa donnent

dz — pi dxy — ... — Pu dxn = o .

ISous aurons donc une solution de l'équation proposée.

Dans ce qui précède, nous avons négligé le cas où, dans la formule (6), on annulerait tous les coefficients de c?Xi, ...,6/X„, ce qui donnerait

Ce système, qui, joint à l'équation proposée, définit généralement z, pi, . . . , pn en fonction de x^^, . . . , x^, correspond à la solution singulière. En effet, si les équations (9) sont satisfaites, U considérée comme fonction des 2n-\- 1 variables indépendantes z,Xi,pi, satisfera , en vertu de l'identité ( 5 ) , à l'équation

ce qui est la définition même de l'intégrale singulière.

Toutefois, l'existence de la solution singulière demeure évidemment subordonnée à cette condition que les équations qui la définissent ne deviennent pas impossibles.

Remarquons aussi que, si la méthode précédente nous conduit à une première solution singulière, elle n'exclut pas la possibilité d'autres solutions de même nature.