APPLICATIONS DE LA THEORIE PRECEDENTE
Prenons d'abord
On a identiquement
dZ — Vd\ — (^cri = — [dz~pdx — qdy).
L'équation dont le premier membre est une fonction de X, Y, Z,
prend ici la forme
(lo) z-px-qy=^f{p,q),
et elle a généralement une solution singulière , obtenue par l'élimination de p et de q entre l'équation précédente et les suivantes
On sait que, le plus souvent, c'est cette solution singulière qui donne la vraie solution de la question proposée. Soit maintenant
Z = z—px
On a
dZ — PcfX - QdY = dz—pdx — qdy.
Si l'on forme l'équation
sa différentielle totale sera
-œdp + qdy=-^^dp-h^dy.
Sav. étrang. t. XXVII. — N° 2. 27
L'intégrale singulière s'obtiendra en ajoutant à la proposée les
deux suivantes
et en éliminant p et q entre les trois équations ainsi formées. L'élimination de q est immédiate.
Il n'est, du reste, pas difficile de faire la théorie géométrique de l'équation (12). Elle exprime que les tangentes à la surface cherchée qui sont parallèles au plan des xz sont aussi tangentes à une surface fixe (S). La solution générale sera donc la surface engendrée par une série de tangentes de (S) parallèles au plan des xz, et la solution singulière sera la surface (S) elle-même.
Prenons encore l'exemple suivant
On a identiquement
dZ — Pc/X — QdY = dz — p dx — qdy. L'équation
a une signification géométrique très simple. En effet, X, Y, Z sont les coordonnées d'un point situé sur la normale , à une distance R du pied de la normale. L'équation (i^) exprime donc que la normale à la surface cherchée vient couper la surface (S), représentée par l'équation
en un point situé à une distance R du pied de cette normale.
Les intégrales générales de l'équation (1 ^) seront : 1° une sphère ayant son centre sur (S) et de rayon R; a" une surface-canal ayant pour ligne des centres une courbe quelconque tracée sur (S).
L'intégrale singulière sera la surface parallèle menée à une distance R de (S).
Il est inutile d'insister; nous savons comment on résoudra d'une manière générale l'identité qui nous a servi de point de départ, et il n'y aurait aucune utilité à multiplier les exemples. Je me contenterai donc, en terminant, de traiter le cas où, pour résoudre l'identité
rfZ — VdX — QdY = p{dz — pdx — q dy) ,
on partirait des deux relations
( Xa:4-Yj-j-Zz = o.
On aurait alors (article 16)
(X + PZ + X(a^ + Pz) = o, -x-/)z + X(X + />Z) = o, ^' ^ (Y + QZ + X(j + Qz) = o, j<7z + A(Y + 7Z) = o.
Ces identités expriment, on le verra facilement, que, si le point m [x,y,z) décrit une surface, le point M (X, Y, Z) en décrit une autre, définie par la propriété suivante. Pour avoir le point M, on élèvera, dans le plan passant par le rayon vecteur Om et la normale, une perpendiculaire OM à Om, égale à Om.
C'est la transformation dite apsidale , par laquelle on passe de l'ellipsoïde à la surface des ondes. On sait que cette transformation est réciproque. L'équation aux dérivées partielles
aurait donc ici la signification suivante : trouver la surface, admettant pour apsidale celle qui est représentée par l'équation
et la solution singulière sera encore la véritable solution du problème proposé. Les intégrales générales de l'équation aux dérivées partielles seront des surfaces lieux de cercles, que l'on définira aisément.
S 38. SUR UNE PROPRIÉTÉ REMARQUABLE DES 11 -{- l FONCTIONS Z , Xj , . . . , Xn SATISFAISANT AUX IDENTITES [ZX/] = 0, [Xi Xt] = G.
Ail lieu de multiplier les applications, je préfère insister sur une propriété remarquable des fonctions Z, Xj, . . . , X„ satisfaisant à l'identité
(17) (/Z — Pi dXi — . . . — P„ dXn = p (dz — pi dxi — . . . — /)„ dx^). Si l'on considère d'abord le cas particulier des trois fonctions
z-px-qy, p, 7,
on voit que les équations
Z-px-qy=f{p), z-px-qy=f,{q),
prises chacune séparément, sont des intégrales premières de la même équation du second ordre
rt — s^ = o.
Je me suis proposé de rechercher si cette propriété s'étend aux fonctions générales que nous avons obtenues.
Considérons, à cet effet, des fonctions Z , Xj , . . . , X„ satisfaisant à l'identité (17)- L'équation
(18) (p(Xi, ...,X„) = o
sera une intégrale première de l'équation du second ordre
lu) j7-^ ^ V = 0-
Or, omme on a
c/Z = Pi£/Xi+. . .+P„(/X„,
il est évident que le déterminant fonctionnel de Z et de « — 1
quelconques des fonctions X,, de X2, • . . , X» par exemple, aura pour valeur
^^(Z.X, X„) p d{X^ XJ
Ainsi l'équation (19) s'intégrera en établissant deux relations, au moins, entre Z, Xi, ..., X„. Du reste, comme les équations aux dérivées partielles du premier ordre ainsi obtenues sont celles que nous avons intégrées complètement à l'article 36, on voit qu'on aura, non seulement les intégrales premières, mais aussi les intégrales finies de l'équation (19).
Réciproquement, supposons qu'une équation aux dérivées partielles du second ordre puisse admettre deux intégrales premières de la forme
, , ( ^(Xi,X2, ...,X„) = o,
( (Pi(Z,X2, . ..,X„) = o.
Pour que ces deux équations aux dérivées partielles soient compatibles, quelles que soient les fonctions (p, (p^ (^\ il faut que l'on ait, comme on sait,
(ZX;) = 0, (X,-Xa-) = o,
et, par conséquent, les fonctions Z,X,- sont celles qui nous ont servi de point de départ.
'■' Il est facile de reconnaître a pî\ori que le crochet {Ç(^^) doit être identiquement nul. En eÛ'et, les deux équations
(P(Z,X„ ..,XJ = o.
étant par hvpothèse des intégrales premières de la même équation du second ordre, celle-ci peut se mettre sous l'une ou l'autre des deux formes équivalentes
^jZ.X, XJ ^ ^(X.,X, XJ ^
d{x^ xJ ' d{x^, ...,x„)
11 suit de là que, toutes les fois que l'équation aux dérivées partielles du premier ordre
(a) <P(Z,X„ ...,XJ = o
sera satisfaite, et par conséquent aussi l'équation du second ordre, il y aura, en
Ainsi , nous obtenons le moyen de former et d'intégrer toutes les équations aux dérivées partielles du second ordre qui peuvent admettre deux intégrales premières de la forme (20) '^l
vertu de la seconde forme de cette équation du second ordre, et par conséquent comme conséquence de l'équation (a), une certaine relation
(/3) (?,(X,,X„...,XJ = o
entre Xj , . . . , X^. Cette relation doit d ailleurs être la plus générale possible, et la fonction Ç'^ doit être quelconque; car, s'il en était autrement , l'intégration générale de l'équation (a) serait ramenée à celle d'un système de deux équations (a), (|S) ne contenant pas une fonction arbitraire de n— 1 variables; et l'on sait que l'intégration de ces deux équations simultanées ne pourrait donner l'intégrale générale de l'équation (a). Il faut donc que les deux équations (a), (|3) soient compatibles, quelle que soit la fonction Ç^, et par conséquent que le crocbet (^^, ) soit nul; ce qui entraine les relations
(ZX,) = o, (X,.X,) = o, écrites dans le texte.
''' On peut obtenir le même résultat par une métbode toute différente. Puisque féquation du second ordre admet par hypolbèse les deux intégrales premières (20), elle peut prendre les deux formes équivalentes
d(Z.X„...,XJ^^
iQ\ t?(X,,X,,...,XJ ^^ ,
Ces deux équations (a), ((S), étant du même ordre et de même forme par rapport aux dérivées secondes de 2;, ne peuvent différer que par un facteur fonction des seules variables 2, x,, p^. On a donc lidentilé
'^ d{x,, ...,xj ^ ' rf(.x,, ...,xj
où p, ne dépend que de z, a-,, /)^, et ne contient aucune des dérivées secondes de z. Cela posé, je dis que l'équation du second ordre admet, en dehors des deux intégrales premières (20), «—1 autres intégrales premières, dont le type est le suivant
Z = ^(X,. ...,x,.,x,+, ...,xj.
Si l'on substitue en effet celte expression de Z dans féquation (a) , on trouve
^ rf(X., X,,...,X„)^ i)X, d[x^, . . ., xj
résultat identiquement nul en vertu de la seconde forme (|2) de la même équation;
Par exemple, dans le cas de deux variables indépendantes, nous obtiendrons les équations aux dérivées partielles admettant deux intégrales premières de la forme
c'est-à-dire celles pour lesquelles les équations de la caractéristique sont exactement intégrables. Voici le théorème qui résulte, en ce qui concerne le cas de deux variables indépendantes , des recherches précédentes.
Pour trouver toutes les équations du second ordre admettant deux intégrales intermédiaires de la forme
on prendra d'une manière quelconque cinq fonctions X, Y, Z, P, Q donnant naissance à l'identité différentielle
dZ-?dX-QdY = p (dz - pdx - qdy).
en répétant donc le raisonnement qui nous a conduit à l'identité [y], nous établirons de même l'identité
d{x^, ...,xj ~ ' d{x^, ...,xj '
analogue à l'identité [y) et où P^ ne dépend, comme P^ , que de z, x-, p^, et ne contient pas les dérivées secondes de z. On reconnaîtra aisément que les identités [y], (S) peuvent être remplacées par la suivante
(e) t/Z = P,dX,+ --.+P,dX„.
Il suffit en effet d'écrire , en égalant à zéro les coefTicients de dx^ , . . . , dx,^ , les n équations comprises dans la précédente, et de les résoudre par rapport à Pj , • . • , P„ pour retrouver les formules (y), (S).
D'ailleurs, comme Pj, P^, .... P„ ne dépendent que de z, Xi, p^, il faut qu'en ordonnant l'idenlité (e) par rapport aux différentielles de z, x,, p,,, les coefficients des différentielles dpi^ soient nuls , et que ceux des différentielles dx^ le deviennent quand on aura remplacé dz par
p^dx,+ -'- +p,dx^.
C'est là précisément le résultat établi dans le texte.
Cela posé, l'équation aux dérivées partielles du second ordre prendra
l'une des trois formes équivalentes
et son intégrale finie s'obtiendra en éliminant p et q entre les trois équations
i=P^'(Z) + Qf(Z).
C'est ainsi que les trois fonctions
Rp
y/i + pM^
donnent naissance à l'équation aux dérivées partielles du second ordre
?,^rt-s')+R}^i-{-p''-^q^[{i^q'')r-2pqs + {i+p^)t]
qui a été intégrée par Monge et caractérise toute surface-canal.
Une propriété importante de cette classe d'équations consiste en ce que les deux systèmes de caractéristiques sont confondus et se ramènent à un seul.
• tH 39. APPLICATION DE LA THEORIE PRÉCÉDENTE À LA DETERMINATION DES EQUA- TIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE QUI ONT DEUX INTEGRALES INTERMÉDIAIRES.
La théorie précédente va nous permettre de former et d'intégrer toutes les équations aux dérivées partielles à deux variables indépendantes qui ont des intégrales premières, correspondant chacune à une caractéristique différente.
Soient, en effet,
ces deux intégrales premières. Les deux équations précédentes devant être compatibles, quelles que soient <p,\p, on aura
(22) [XY] = o, [XV] = G, [UY] = o, [UV] = o.
Réciproquement, si quatre fonctions satisfont à ces équations, les deux équations (21) seront toujours compatibles et, par conséquent, donneront naissance, par Télimination des fonctions (p, ip respectivement, à la même équation du second ordre.
Les deux fonctions X, Y étant liées par la première des équations (22), il existera toujours une fonction Z satisfaisant aux deux équations
(ZX) = o, (ZY) = o,
et distincte de X et de Y. Nous ferons même remarquer que, lorsqu'on aura trouvé une fonction Z satisfaisant à ces équations, la fonction plus générale Ç> (X, Y, Z) jouira de la même propriété. Cela posé, d'après un lemme énoncé à la page 85, il sera possible de trouver deux fonctions P, Q telles que Ton ait
dZ — FdX — QdY = p [dz — pdx — qdy).
Effectuons maintenant la transformation de contact qui substitue les variables X, Y, Z, P, Q aux variables primitives x,y, z, p, q. Nos deux intégrales intermédiaires prendront la forme
et les équations (22) deviendront
Nous voyons que les fonctions U, V sont indépendantes respective-
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ment de q et de p. Quant à la dernière équation, on peut Técrire
sous la forme
c^U , DU cW , DV
