INTÉGRALE
Nous avons vu que les courbes caractéristiques passant en un point y ont pour tangentes les génératrices rectilignes du cône (T). Si donc
est l'équation de ce cône, les génératrices satisferont à l'équation différentielle
Mais elles ne sont pas, évidemment, les courbes les plus générales satisfaisant à cette équation. Il est clair, en effet, que l'équation précédente doit admettre une solution avec une fonction arbitraire. Il suffit d'y poser
et l'on aura à intégrer une équation difPérentielle ordinaire à deux variables j et z^ qui donnera des solutions, la fonction/(2:) étant arbitrairement choisie.
Quelle est donc la propriété qui distingue les caractéristiques de toutes les autres courbes que nous appellerons courbes intégrales, satisfaisant à la même équation?
Pour répondre à cette question, nous commencerons par rappeler ce que nous avons dit des cônes (T) et des courbes (C), et par montrer comment on peut établir entre les courbes et les cônes une liaison géoinétrique indépendante de toute intégrale.
Considérons un plan (P) et la courbe (C) de ce plan. Il est clair, d'après la définition de la courbe (C), que le cône (T) correspondant à un point de cette courbe devra être tangent au plan (P). Ainsi la courbe (C) est le lieu des points pour lesquels les cônes (T) sont tangents au plan (P).
De même, le cône (T) correspondant à un point M est l'enveloppe des plans pour lesquels les courbes (C) passent en M. On voit donc que l'on pourra toujours déduire les courbes (C) des cônes (T) et réciproquement, en faisant usage des propriétés géométriques qui précèdent.
Cela posé, nous avons vu que, si l'on se déplace sur une caractéristique, le plan tangent enveloppe une développable dont les génératrices sont les tangentes aux courbes (C). Ainsi
Les courbes caractéristiques se distinguent de toutes les autres courbes intégrales de Véquation (17) par la propriété suivante : Menons en chaque point M de la caractéristique le plan tangent (P) au cône (T) de ce point, ayant pour génératrice de contact la tangente à la carac-
téristicjue. Quand on se déplace sur la courbe, ce plan enveloppe une surface développable dont la génératrice rectiligne passant en M est précisément la tangente en M à la courbe (C) du plan (P).
On voit que , sans faire appel à aucune propriété des surfaces et en nous servant sevilement de la remarque faite au début sur le double point de vue sous lequel on peut considérer l'équation aux dérivées partielles, nous obtenons une propriété des caractéristiques qui va nous permettre de former leurs équations différentielles. Soit, en effet,
F(x,y,z,p,q) = o Téquation proposée. On aura d'abord
(18) -dx + ^dy + ^dz + ^dp + ^dcj^o,
(19) dz=^pdx-i-qdj.
Le plan tangent suivant la tangente à la caractéristique au cône (T) a pour équation
et, d'après la tliéorie des enveloppes, sa génératrice de contact avec le cône (T) s'obtiendra en ajoutant à l'équation précédente la suivante
qu'on peut écrire en remplaçant X — a:, Y — j par les quantités proportionnelles cZr, dj
ip ()(/
mais les équations (19), (21), conviennent à toutes les courbes intégrales.
Exprimons la propriété énoncée dans le théorème précédent, et cherchons d'abord la tangente à la courbe (C). Cette courbe passe
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au sommet clu cône, elle est dans le plan tangent. Elle est donc
définie par l'équation (20)
Z-z = p(X~x) + ci{Y-y).
jointe à la suivante
où p et 9 sont des constantes, et X, Y, Z les coordonnées d'un point variable de cette courbe; sa tangente au point [x,y,z) sera donc définie par les deux équations
ISz= pSx-i- q Sy, qui donnent
Il faut maintenant exprimer que, lorsque le plan tangent (20) se déplace en roulant sur la caractéristique, son intersection avec sa position initiale coïncide avec la tangente à la courbe (C) définie par les équations (22 ) ou (2 3). Pour avoir cette intersection, différentions l'équation du plan (20), nous trouverons
dz = dp[X — x) + dq (Y —y) — pdx — qdy,
ou
dp (X — x)-^ dq (Y —y) = o.
Il faudra donc que l'on ait
( 2 /l ) dpSx + dqSy=o,
on, en déduisant la valeur de ^ de l'équation (2.3),
lr.r\ dp dq
