DU , 7,DU\ , /DU' , ,, DU'N /DV, , DV.N , /DV, , DV

Cette équation, comparée à celle qu'on obtient en différentiant la seconde des équations (27) de la caractéristique , nous donne

dx dy

ou, h désignant une variable auxiliaire,

(X = /t dx^ V = hdy.

En portant ces valeurs dans les formules (3o), on trouve

pfz-''[^(S^-^p^-^)-^-^M^

ou

et de même

|X et V étant, en vertu des équations (29), proportionnels à -r-i ^,

on a

dx dy

DF~DF' dp (iq

et, en vertu des équations (32),

dp dq

DF~ DF~"Dr~ ÏF'

5i+Pyz ry"'''Tz

Ces deux relations suffisent, jointes aux deux suivantes, qui sont évidentes

c?F = G , dz = pdx+q dy,

et l'on retrouve ainsi les équations différentielles de la caractéristique, telles qu'elles sont données par les formules (26).

§ 0. DÉTERMINATION DES INTEGRALES SATISFAISANT À DES CONDITIONS DIVERSES.

De tout ce qui précède il résulte une propriété essentielle des caractéristiques : si deux surfaces sont tangentes en un point (M), elles le seront en tous les points d'une caractéristique. Considérons, en effet, une surface passant en M et y étant tangente à un ceitain plan tangent (P) du cône (T) de ce point. 11 est clair, d'après la définition des caractéristiques, qu'elle contiendra tout entière celle de ces courbes passant au point M et qui y admet pour tangente la génératrice de contact du plan (P) et du cône (T). En

outre, en tous les points de cette caractéristique, elle sera tangente à la développalile caractéristique contenant cette courbe. Il suffit donc que deux surfaces intégrales aient en un point le même plan tangent pour qu'elles soient tangentes en tous les points d'une caractéristique.

Ainsi, pour qu'une surface intégrale contienne une caractéristique, il suffit qu'elle passe en un point de cette caractéristique et ait pour plan tangent en ce point le plan tangent au cône (T), suivant la direction de cette caractéristique. C'est ce qu'on peut aussi établir par le calcul suivant. Soient

V(j:,j,2,a,6) = o, ^^ les équations d'une caractéristique, et

iV . i\'

celles qui définissent une intégrale. Pour qu'elle contienne la caractéristique précédente, il suffit que les deux équations

soient satisfaites. Donc une surface intégrale pourra contenir autant de caractéristiques qu'on le voudra et renfermer encore une fonction arbitraire.

Si deux intégrales correspondantes à deux fonctions / (a) , (p(a), contiennent en commun m caractéristiques, les fonctions /(a), 9 (a) et leurs dérivées seront égales pour m valeurs de a; nous dirons qu'elles ont en commun m caractéristiques infiniment voisines quand les deux fonctions et leurs dérivées jusqu'à l'ordre m seront égales pour une valeur déterminée a de a. Je dis que les deux surfaces auront alors en tous les points de cette caractéristique un contact d'ordre m. En effet, il suffît de jeter les yeux sur les équations d'une intégrale générale

d'où l'on dédiiil

pour reconnaître qu'en calculant les dérivées de z par rapport à x et à j jusqu'à l'ordre m, on introduira seulement les m premières dérivées de/ (a). Si donc ces m premières dérivées sont les mêmes pour deux fonctions, il y aura contact d'ordre m pour les deux surfaces correspondantes en tous les points d'une caractéristique commune.

Voilà donc une propriété essentielle des caractéristiques :

Si deux surfaces intégrales passent en un point et y ont un contact d'ordre m, ce contact se maintiendra en tous les points d'une caractéristique passant en ce point et y admettant le même plan tangent que les deux surfaces.

11 était d'ailleurs évident, a priori, comme le montre le calcul précédent, qu'il suffit de m conditions pour assurer un contact d'ordre m entre deux intégrales en un point. Car la différent! atiori de l'équation aux dérivées partielles donne déjà entre les dérivées d'ordre supérieur des relations dont il faut tenir compte.

Proposons-nous maintenant de rechercher les surfaces intégrales satisfaisant à certaines conditions. Par exemple, cherchons d'ahord celles qui passent par une courbe donnée.

Si cette courbe se trouve sur l'intégrale singulière, nous avons une première solution, l'intégrale singulière. Dans tous les autres cas, il faut chercher une solution seulement parmi les intégrales complètes ou générales.

Supposons que la courbe ne soit sur aucune des intégrales complètes (et, dans ce cas, elle ne sera jamais une caractéristique); il est clair qu'il suffira de considérer les intégrales complètes tangentes à la courbe , leur enveloppe donnera la seule intégrale générale passant par la courbe.

Supposons que la courbe soit sur une intégrale complète; alors, si elle n'est pas une caractéristique, elle coupera les caractéris-

tiques de cette intégrale complète, et, d'après le théorème donué au commencement de cet article, la surface intégrale qui contient la courbe devra contenir toutes ces caractéristiques et, par conséquent, se confondre avec l'intégrale complète.

Enfm, si la courbe est une caractéristique, nous savons que le problème sera indéterminé.

En résumé, le problème ne sera indéterminé que si la courbe est une caractéristique.

Si la courbe n'est pas une caractéristique et qu'elle ne soit pas placée sur l'intégrale singulière, à la vérité il pourra y avoir plusieurs intégrales passant par cette courbe, mais ces intégrales correspondront aux divers plans tangents qu'on peut mener par les tangentes de la courbe aux cônes (T) de ces points, et se couperont sous un angle fini. Ce seront plutôt des nappes d'une même surface.

Enfin, si la courbe est située sur l'intégrale singulière, elle sera située sur deux intégrales tangentes en tous les points de la courbe. C'est là une propriété distinctive de l'intégrale singulière. Ces deux intégrales seront : i° l'intégrale singulière; 2" l'enveloppe des intégrales complètes passant aux différents points de la courbe et qui y sont tangentes à l'intégrale singulière.

Voici un autre problème dont nous n'étudierons pas en détail la solution : Trouver les siu^faces intégrales tangentes à une surface donnée en tous les points d'une courbe. Soit

l'équation de la surface donnée. Cherchons la courbe de contact de cette surface et de la surface intégrale demandée. En ses points on aura

En substituant les valeurs de/) et de q dans l'équation aux dérivées partielles, on obtiendra une relation entre x,y, z, qui, jointe à la

précédente, déterminera la courbe de contact, et l'on sera ramené au problème précédent.

Une intégrale complète très remarquable permet d'exposer avec élégance la solution des problèmes précédents. Soit

une intégrale complète quelconque. En exprimant qu'elle passe par le point Xq, Jq, z^^ on aura une relation entre a et 6, que j'écris

En cherchant ensuite l'enveloppe de toutes les intégrales complètes pour lesquelles cette relation est satisfaite, on obtient une intégrale

jouissant de propriétés remarquables.

D'abord si Tony considère ^0 comme un nombre, jo-, Zo comme des constantes arbitraires, elle peut jouer le rôle d'intégrale complète.

En second lieu, Xo.jo-, ^o étant considérées comme les coordonnées d'un point quelconque, elle donne le lieu géométrique des caractéristiques passant par ce point. C'est donc la condition pour que les deux points {x,y, z) (a:o,jo,2o) soient sur une même caractéristique. Cette propriété nous montre qu'elle est symétrique en x,y, z et Xo^y^^ Zo- Or, si l'on appelle p et q les coefficients angulaires du plan tangent au point x,y,z, on a

En appelant po, qo les mêmes coefficients angulaires au point ;z;o, yo-,Zo-, on aura donc

Les intégrales (3/i) ont évidemment au point Xo, jo' ^o> un point

Sav. étrang. t. XXVII. — N° 2. 5

Sk G. DARBOUX.

multiple dont les tangentes sont les génératrices du cône (T). On

pourrait donc les appeler intégrales à point singulier.

On pourrait de même former des intégrales à plan singulier en prenant l'enveloppe de toutes les intégrales complètes tangentes à un même plan (P). L'intégrale ainsi obtenue sera tangente à ce plan en tous les points de la courbe (C) de ce plan, et elle sera engendrée par toutes les caractéristiques tangentes à ce plan aux différents points de la courbe (C). On la déduirait de la précédente par la méthode des polaires réciproques.

Servons-nous maintenant de la formule (34) , pai^ exemple pour trouver les intégrales passant par une courbe donnée. Soient

les équations de cette courbe. 11 suffira d'effectuer les substitutions

et de chercher l'enveloppe de la surface

lorsque varie Xf,.

De même, s'il s'agit de trouver l'intégrale tangente à une surface, on adjoint à l'équation (3^) les trois suivantes