EXAMEN DE QUELQUES EXEMPLES

Avant de poursuivre cette étude, examinons quelques exemples particuliers, pour y trouver la confirmation des remarques précédentes.

Prenons d'abord coniine intégrales complètes tous les pians tangents à une surface non développable (S). Les solutions générales seront des surfaces développables circonscrites à (^), Pour avoir fintégrale générale contenant une courbe, il suffira de faire rouler un plan à la fois sur (S) et sur cette courbe, et de prendre l'enveloppe de ce plan. Cette enveloppe se composera, en général, de plusieurs nappes se coupant suivant la courbe et qu'on pourra considérer, si l'ojQ veut, comme des solutions distinctes.

Si la courbe (U) que doit contenir l'intégrale est tracée sur (2), il .y aura deux^ intégrales distinctes tangentes l'une à l'autre en tous les points de la courbe (U), à savoir (2) et la surface développable qui lui est circonscrite suivant la courbe (U).

Les cônes (T) sont ici les cônes circonscrits à la surface (S). Les caractéristiques sont les intersections de deux plans tangents infiniment voisins, c'est-à-dire les tangentes de (S).

Quant aux courbes (C), il n'y a pas lieu de les considérer ici, puisqu'il n'y a aucune intégrale tangente à un plan quelconque non tangent à (S).

En second lieu, prenons comme intégrales complètes des sphères tangentes à un plan (P) et passant par un point A. Les caractéristiques seront des cercles passant par A et tangents à (P). La solution singulière sera le plan (P). Parmi les intégrales générales, nous distinguerons celles qui sont l'enveloppe des sphères passant par un point M. Ces sphères, devant passer à la fois par les deux points A et M et être tangentes au plan (P), envelopperont, comme on sait, une cyclide de Dupin. Par suite, le cône (T) correspondant à un point quelconque M sera un cône de révolution. De même, si nous étudions celles des sphères qui sont tangentes à un plan (Q), elles devront être tangentes à la fois aux deux plans (P) et (Q) etpasserparunpoint A. Elles envelopperont encore une cyclide et elles toucheront le plan (Q) en tous les points d'un cercle. Ainsi les courbes (C) situées dans un plan quelconque (Q) seront des cercles.

On pourrait multiplier les exemples; nous nous attacherons

surtout au premier, car il est très simple et va nous mettre sur la voie de belles propriétés appartenant dans tous les cas aux caractéristiques.

Dans ce premier exemple, où les caractéristiques sont les tangentes à la surface (S), nous savons que toute solution générale ou complète est une surface développable. Or, parmi les surfaces formées avec les caractéristiques d'une manière quelconque , on doit distinguer deux classes principales : i ** les surfaces gauches tangentes à (S), 2° les surfaces développables. Ces dernières seules sont des intégrales; on sait qu'elles se composent de deux nappes venant se raccorder en tous les points d'une arête de rebroussement. En outre, M. Bouquet a démontré qu'alors la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines est du troisième ordre, tandis qu'elle n'est que du premier ordre pour les surfaces gauches. Ce sont ces propriétés que nous allons étendre aux surfaces formées de caractéristiques.

S 8. DES COURBES INTEGRALES; EXTENSION DES PROPRIETES DES SURFACES DEVELOPPABLES.

Reprenons l'équation de la solution générale

Nous désignerons par le symbole S toute différentielle par rapport à a, 6 étant exprimé en a, et par d toute différentielle prise en laissant a et h constants. Alors l'intégrale générale sera donnée par les équations

Adjoignons à ces équations la suivante

Les trois équations

définiront une courbe que l'on appellera arélc de rcbroussemenf de

l'intégrale considérée. Cette dénomination, que Monge a empruntée à la théorie des surfaces développables, se justifiera dans la suite. On peut d'abord démontrer que cette arête de rebroussement est tangente à toutes les caractéristiques situées sur l'intégrale. En effet, si nous différentions les deux premières équations (38) en y considérant a comme fonction de la variable indépendante, nous aurons

ou, en vertu des mêmes équations (38),

Ces équations définissent les rapports de dx, dy, dz, c'est-à-dire la tangente à l'arête de rebroussement. Or elles sont évidemment les mêmes que celles qu'on obtiendrait en différentiant les équations de la caractéristique

où a doit être traitée comme une constante. Ainsi l'arête de rebroussement peut être considérée comme une courbe enveloppe de toutes les caractéristiques situées sur l'intégrale.

Elle fait donc partie de ces courbes que nous avons appelées courbes intéçjrales , et qui ont pour unique propriété d'admettre comme tangentes en chaque point les génératrices du cône (T) relatif à ce point.

Je dis que réciproquement toute courbe intégrale (U) peut être obtenue comme arête de rebroussement. Pour le démontrer, je mène en chaque point M de (U) la caractéristique tangente. J'ai une suite de caractéristiques définies par les équations

où 6 et y sont des fonctions de a. En passant d'un point de la courbe (U) au point infiniment voisin, x,y, z,a varient, et l'on a

Mais la tangente a la courbe (U) étant la même que pom- la caractéristique (39), on doit avoir

f/V = o, ce qui entraîne

()a db da

Comparons à la seconde des équations (Sg), nous voyons que y

doit être égal à j- • Ainsi les caractéristiques tangentes à la courbe

intégrale sont bien celles qui engendrent une intégrale de l'équation aux dérivées partielles. Soient

les équations de l'une de ces caractéristiques. En se déplaçant sur la courbe (U), on a

fiV + ^V = o, Sy-^S''Y = o.

Mais en marchant sur la caractéristique, on a

f/V = o, dS\=o.

Les tangentes devant être les mêmes, il faut que l'on ait

La courbe (U) est donc l'arête de rebroussement de l'une des intégrales, et elle est représentée par les équations

entre lesquelles il faudra éliminer a.

Nous voyons que, pour obtenir une surface intégrale, il sulfil d'associer les caractéristiques de telle manière qu'elles soient tangentes à une courbe. C'est ainsi que, si, revenant à l'exemple de l'article précédent, nous considérons le cas où les caractéristiques sont les tangentes d'une surface, nous voyons que, pour obtenir une intégrale, il faut associer celles de ces droites qui sont les tangentes à une courbe.

La théorie précédente offre un moyen, que Monge n'a pas négligé, d'intégrer une classe remarquable d'équations différentielles, celles qui définissent des courbes par l'unique relation

Cette relation exprime que les tangentes qui passent en un point y forment les génératrices d'un cône (T). Il suffira d'intégrer l'équation aux dérivées partielles définissant les surfaces dont les plans tangents enveloppent les cônes (T), pour avoir aussi l'intégrale complète de l'équation précédente. Voir le mémoire intitulé Supplément, où l'on fait voir que les équations aux différences ordinaires pour lesquelles les conditions d'intéqrabilité ne sont pas satisfaites sont susceptibles d'une véritable intégration , etc. ('l

Mais, pom^ généraliser d'une manière plus complète les propriétés des siu"faces développables, il importe que nous rappelions (juelques notions siu' la génération des surfaces par les courbes, et que nous les précisions un peu.

Soient

les équations d'une courbe contenant un paramètre variable a. Cette courbe engendre une surface dont on obtiendra l'équation en éliminant a entre les deux équations précédentes. En général, et c'est ce que nous supposerons dans la suite , deux courbes correspondantes à des valeurs différentes de a ne se coupent pas. Même dans ce cas, il y a lieu de distinguer deux espèces bien différentes de surfaces engendrées.

Supposons d'a])ord que chaque courbe soit rencontrée par la courbe infiniment voisine, ce qui veut dire que le système des quatre équations

*'^ Mémoires de V Académie des sciences j i-]8ft, p. 5o2.

est vérifié pour toute valeur de a, qu^e rélimination de a entre ces quatre équations conduit, non pas à un nombre limité de points, mais aux deux équations d'une courbe (R). Il est facile de voir que la courbe (R) sera tangente à toutes les génératrices (/4i). En effet, la tangente à Tune de ces génératrices, au point où elle rencontre la courbe (R), sera définie par les deux équations

dx l^y '^ ôz

Au contraire, la tangente à la courbe (R) sera définie en différentiant les mêmes équations [li 1 ) où a sera considérée comme variable.

Mais comme les coefficients ^, ^ seront nuls, on obtiendra le

même résultat que pour les génératrices. Toutes les génératrices seront par conséquent tangentes à la courbe (R). Pour éviter la locution incorrecte : deux génératrices infiniment voisines se rencontrent , nous dirons qu'elles ont une enveloppe, que nous appellerons arête de rebroussement de la surface engendrée.

Il peut se faire que la génératrice soit définie d'une autre manière, par exemple que les coordonnées x,y, z soient exprimées en fonction de a et d'un autre paramètre t, varicdDle sur chacpie courbe. Alors on aura

et il est facile d'exprimer que les génératrices ont une enveloppe.

Fig. 1.

Soient en effet [y) fenveloppe et (jS), (jS) deux génératrices. Si à

SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS. kl

partir du point M on se déplace sur l'une des génératrices, on aura

dx = '~dt, dy=^~dt, dz = ^dt:

si on se déplace sur l'enveloppe, a et ^ varieront à la fois; on aura donc

dx = ^dt + ^dcf,, dv^^dt-h'r^da, dz = ^dt -{-^da. ôt cci ^ ot t'a Cl c'a

Les tangentes aux deux courbes doivent être les mêmes; il faudra que l'on ait

dx iy t)2

Jt '^ Jt

dx Liy ^z <)a tta Da

et cela en tous les points d'une courbe, c'est-à-dire en prenant pour t une certaine fonction de a, a restant arbitraire.

Nous sommes maintenant en mesure de généraliser le beau théorème que M. Bouquet a établi pour les surfaces réglées.

Reprenons les équations (43)

qui définissent la génératrice, et supposons d'abord qu'il n'y ait pas d'enveloppe.

Passons d'un point (a, t) sur la génératrice (a), et de coordonnées x,y,z, à un point (a -h A, t-hk) situé sur la génératrice {oL + h) et de coordonnées x,y',z'. On aura

x'-x = ^^h-hUk+ ■ ■•

t'a tu

Comme les dérivées par rapport à a ne sont, pour aucune valeur

de /, proportionnelles aux trois dérivées par rapport à ^ on ne

pourra pas annuler les termes du premier ordre dans les trois se-

Sav. étrang. t. XXVn. — N" 2. 6

[i2 G. DARBOUX.

conds membres, et, par suite, la distance de deux points infiniment voisins sera toujours du même ordi^e.

Si au contraire les génératrices ont une enveloppe, il y aura un point sur la génératrice a pour lequel une valeur convenalile-

ment choisie de t fera disparaître les termes du premier ordre,

et, par conséquent, dans le voisinage de Tarête de rebroussement, la distance de deux génératrices infiniment voisines sera au moins du second ordre , par rapport à leur distance en une région éloignée de Tarête de rebroussement. Je dis que cette distance sera, en général, du troisième ordre.

Pour bien établir cette proposition, je vais choisir, à la place de f et de a, des variables indépendantes, dont la signification géométrique soit connue. Je définirai la position d'une génératrice

tangente en M à l'arête de rebroussement (R) , par l'arc 5 = 0M de cette courbe de rebroussement, compté à partir d'une origine fixe 0, et la position du point P sur la génératrice par l'arc <t = MP, compté à partir du point M. Alors les coordonnées d'un point quelconque P de la surface engendrée seront des fonctions de ^ et de «r, et pour exprimer que la génératrice est tangente à l'arête de rebroussement, il suffira d'écrire

que l'on a

dx dx dy dy ?2 ^z

ds dcr^ })s c)<t' Ds ?<t'

pour

Remarquons, en outre, d'après le choix des variables, que l'on aura toujours

quels que soient s et a. En tenant compte de ces relations et supposant que la tangente au point M ait été prise pour axe des a;, que

l'origine 0 des arcs s ait été prise en M, on voit que ^ et cr seront infiniment petites dans la région de la surface voisine de M, et l'on obtient sans difficulté des développements de la forme suivante :

iàà)

en négligeant les termes du troisième ordre, qui n'ont aucune influence sur le résultat.

Cela posé, soit Pun point, pris sur la génératrice tangente en M,

correspondant aux valeurs (o, <t) de 5 et de <t, et P' un point sur

la génératrice voisine , correspondant aux valeurs h = MM' de s et a

p-„ 3 de cr. Supposons h donné, et

^ , voyons si on peut disposer de

<T et de <t\ de manière à rendre la distance PP' infiniment petite du troisième ordre par rapport à h. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que les trois différences x —x, y —y, z —z des coordonnées des points P, P' soient du troisième ordre. Or ces différences ont pour valeurs

y'-y^a[{ll + (7'Y-a^]+b{fT'^-(7^)-h . . .

2'2 = ai[(/<-ho-')--cr2] + 6i(o-'2-cr-2)-}- . . .

en négligeant les termes qui seront du troisième ordre, si <t, «r' sont du premier. Posons d'abord

(45) puis

k-j-a —cr = (xh^ -h

les constantes a, jS étant quelconques, on en déduira

et

(A + <T')2-(72=(/i + cr'-(T)(A + <T' + cr) = aA3(^ + |3/i2),+ . . .

Ces dernières différences étant au moins du troisième ordre, il en sera de même de j; — a;', j— j, z — z^ et, par conséquent, de la distance PP'.

On voit que les arcs <t, g' sont sensiblement égaux et de signes contraires. Les points des deux courbes qui sont à une distance infiniment petite du troisième ordre sont donc très voisins du point où les génératrices paraissent se couper sur la figure, ou, si l'on veut, paraissent se couper quand on les regarde d'un point quelconque de l'esjDace.

Un point qu'il est intéressant d'examiner, c'est la forme de la surface engendrée, dans le voisinage de l'arête de rebroussement. En remplaçant 5-|-cr par u et en choisissant de nouveaux plans des zx.yx, qui ne seront plus rectangulaires, on aura

/£'(6iy-6z)==Zi=^Bcr2+ . . .

les termes du troisième degré étant négligés; si l'on supposait u

et o- du même ordre, — > — seraient infiniment petits avec «, et

Ton aurait des points tels que la droite qui les joint à l'origine fasse un angle très petit avec Taxe des x, c'est-à-dire soit très voisine de la tangente à l'arête de rebroussement. Pour avoir les points de la surface tels que cette droite fasse un angle fini avec l'arête de rebroussement, il faut supposer que u soit de l'ordre de <j^.

aura

Alors — sera fini et, en gardant les termes de degré moindre, on

d'où résulte l'expression approchée

de l'équation de la surface dans le voisinage de l'arête de rebroussement. Cette forme de l'équation justifie bien le nom que nous avons donné à la courbe (R)- Ji ne sera réelle que si Zi est du signe de B, et elle aura deux valeurs. On a donc deux nappes de la surface venant se raccorder tangentiellement. Les génératrices, en venant toucher l'arcte de rebroussement, passent d'une nappe sur l'autre. Tous ces faits concordent avec ceux que l'on connaît pour les surfaces développablcs.

L'application de ces remarques aux surfaces intégrales est évidente. Nous voyons que l'enveloppe des caractéristiques a été nommée à bon droit arête de rebroussement, et nous reconnaissons aussi que ces courbes se succèdent de telle manière que la plus courte distance de deux de ces courbes consécutives soit un infiniment petit du troisième ordre dans le voisinage de l'arête de rebroussement.

Nous terminerons cet article en démontrant quelques propositions qui ont déjà été signalées par M. Lie dans un Mémoire inséré au tome V des Mathematiscfie Annalcn, p. i53.

Si deux surfaces intégrales contiennent la même caractéristique et qu'elles n'aient pas un contact du second ordre suivant cette caractéristifpie , il n'y a aucune relation de contact entre leurs arêtes de rebroussement. Supposons, au contraire, qu'elles aient un contact du second ordre suivant une caractéristicpie, leurs arêtes de rebroussement seront tangentes.

i5 G. DARBOUX.

En efiet, soient

V = o, SV = o, ^2v o

les équations finies de Tarète de rebroussemenl, et

(/v=-o, cm^o

ses équations différentielles du premier ordre. Soit b=f[a) la fonction de a qui figure dans l'intégrale. Si pour deux intégrales et

pour la même valeur de a, les quantités ^^ j-' ji ont la même

valeur, nous savons que les intégrales auront un contact du second ordre en tous les points de la caractéristique correspondante. En outre , les équations précédentes mettent en évidence que les arêtes de rebroussement des deux surfaces passeront au même point de cette caractéristique et y seront tangentes.

En général, si deux intégrales ont un contact du n'^"' ordre en tous les points d'une caractéristique, les arêtes de rebroussement auront un contact d'ordre Ji — i .

Nous ajouterons une dernière et curieuse propriété des courbes intégrales. Elles ont un contact du second ordre avec les surfaces intégrales qui sont assujetties à la seule condition de leur être tangentes. Soient, en effet,

V = o, SY^o, S'\=o les équations d'une courbe intégrale. On en déduit

Les trois équations

montrent bien que fintégrale complète

est coupée en trois points consécutifs par la courbe intégrale.

Ce raisonnement s'étend à toutes les intégrales, aussi bien générales que complètes.