Que fait-on dans la pratique pour abréger le calcul

13. Que fait-on si un dividende partiel ne contient pas une fois le diviseur? — 14. Que fait-on pourdiviser l’un pâr l’autre deux nombres quelconques? — 15. Comment essaye-t-on les chiffres du quotient avant de les écrire , et comment reconnaît-on qu’on a placé au quotient un chiffre trop fort ou trop faible? — 16. Peut-on savoir à l’avance combien de chiffres aura le quotient? — 17. Donnez un exemple qui présente l’application ae la règle générale et des deux observations qui suivent: soit 472878 à diviser par 567. Que fait-on dans la pratique? — 18. Dana quel cas le quotient est-il complet ou approximatif, et, quand il est approximatif, que faut-il y ajouter pour le rendre complet?

— 19. En quoi consiste la division lorsque le diviseur ne renferme que 1 unité suivie d’un ou de plusieurs zéros? — 20. Ne peut-on pas abréger la division quand le dividende et le diviseur sont terminés par des zéros? — 21. A quoi reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 2? par 3? par 4? par 5? par 6? par 8 ? par 9?

|. — La division est une opération qui a pour objet gé-

nëral de chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre.

2. — On appelle dividende le nombre à diviser; diviseur, le nombre par lequel on le divise, et quotient, le résultat de l'opération.

3 . — Le dividende et le diviseur se nomment conjointement termes de la division.

4. — Les signes de la division sont — , | ou qui signifient divise par. Ces signes s'emploient ainsi :

3 . — La division est une espèce de soustraction ; car, pour obtenir le quotient, on peut soustraire le diviseur du dividende autant de fois qu’il est possible; le nombre des soustractions sera évidemment le quotient cherché.

Soit à diviser 48 par 8,

On peut dire : 48 — 8 = 40, 1 er reste. 24 — 8 = IC, 4 e reste.

40 — 8 = 32, 2 e • IC — 8=8,8"

H y a eu 6 soustractions; le quotient cherché est donc 6.

Mais le calcul serait trop long si le dividende était un peu fort ; il faut donc abréger l’opération.

6. — Le quotient exprimant combien de fois le dividende contient le diviseur, il est clair qu’en répétant le diviseur autant de fois que l’indique le quotient, on doit reproduire le dividende. Ainsi :

8 répétée fois ou 8x6 = 48.

7. — Pour trouver le quotient d’un nombre d’un ou de deux chiffres divisé par un nombre d’un seul chiffre, il suffit de bien savoir la table de multiplication; caron voit tout de suite par quel chiffre il faudrait multiplier le diviseur pour reproduire le dividende : ce chiffre multiplicateur est précisément le quotient cherché.

Il peut ici se présenter deux cas : ou le nombre à diviser se trouve dans la table, ou il ne s’y trouve pas. Dans le premier cas, le quotient est complet; dans le second , il n’est qu'approximatif. Ex. :

En 48 combien de fois 8? — Le quotient est 0, parce que 8 fois 6 font 48.

En 52 combien de fois 8 ? —Le vrai quotient tombe entre G et 7 : car 8 X G ou 48 est moindre que 52, et 8 X 7 ou 5G est plus grand que 52. Le nombre G, le plus petit des deux multiplicateurs , est pris, dans ce cas, pour le quotient; mais ce n’est qu'un quotient approximatif : il y a un reste 4 moindre que l’unité du diviseur.

8. — Le quotient d’une division peut être considéré de deux manières :

i° Comme le nombre de fois que le dividende contient le diviseur;

2° Comme une partie du dividende, qui s’y trouve contenue autant de fois que l’indique le diviseur.

1° Soit 32 fr. à distribuer de manière que chaque personne ait 4 fr. : à combien de personnes devra-t-on donner ? — à 8.— Ici 8 exprime le nombre de fois.

2° Combien recevront 8 personnes entre lesquelles on veut partager 32 fr.? — 4 fr. — Ici 4 exprime une partie du dividende.

9. — En général, le quotient est le nombre de fois que le dividende contient le diviseur, quand les deux termes de la division ont la même unité; il est une partie du dividende, lorsque les deux termes |je la division n’ont pas la même unité.

10- — Lorsqu'une chose est divisée en parties égales, on forme ordinairement le nom de chacune en énonçant le nombre des parties et en y ajoutant la terminaison ième.

Ainsi on dit le huitième , le septième, le sixième, le cinquième, etc., d’une chose partagée en 8, en 7, en 6, en 5, etc., parties égales. — La deuxième partie se dit la demie ou la moitié ; la troisième partie, le tiers ,■ la quatrième partie, le quart.

11. — Soit un nombre de plusieurs chiffres à diviser par un seul, tel que 4o38 par 8.

On dispose ainsi l’opération :

Dividende 453G

8 diviseur.

5 centaines.

1 er reste 536

6 dizaines.

2 e reste 56

7 unités.

3 e reste 0

567 quotient total.

On cherche d’abord I’cs- ± péce des plus hautes unités t du quotient.

\ 4 mille , étant divisés en

T 8 parties égales, ne peug vent donner un mille au ' S quotient: ainsi le quotient I- renferme au plus des centaines.

4 mille et 5 centaines, ou 45 centaines, divisés en 8 parties égales, donnent pour chaque partie 5 centaines avec un reste. Or, S fois 5 centaines font 40 centaines ou 4000 ; en retranchant ce nombre de 4536, il reste 53G à partager en 8 parties égales.

636 contient 53 dizaines, qui divisées en 8 parties égales, donnent pour chaque partie 6 dizaines avec un reste. Or, 8 fois 6 dizaines font 48 dizaines ou 480; en retranchant ce nombre de 536, il reste 56 à partager en 8 parties égales.

66 unités, divisées en 8 parties égales, donnent pour chaque partie 7 unités sans reste. En effet, 8 fois 7 unités font 56 unités, qui, retranchées de 66, donnent 0 pour reste. Le quotient se compose donc de 6 centaines , 6 dizaines et 7 unités ou de 567 unités.

12 . — Dans la pratique, on abrège le calcul de la manière suivante :

4536 | 8 On prend , à gauche du dividende , autant de chiffres 567 qu’il en faut pour contenir au moins une fois le diviseur, et l’on écrit le premier chiffre du quotient sous les unités du premier dividende partiel. Le reste, s’il y en a, est joint comme dizaines au chiffre suivant du dividende total, pour former le second dividende partiel ; mais on ne l’écrit pas. On place le second chiffre du quotient à droite du premier ; puis on continue de la même manière, jusqu’aux unités du dividende total.

1 3 . — Si le dividende partiel ne contient pas même une fois le diviseur:

4025 | 5 On écrit zéro au quotient ; puis on joint le dividende 805 partiel, comme dizaines, au chiffre suivant du dividende

-.tjotal.

14. — 11 y a cinq choses à faire pour diviser deux nombres quelconques l’un par l’autre :

1° Ou écrit le diviseur à la droite du dividende, et l'on sépare ces deux termes par un trait vertical ; on met sous le diviseur un trait horizontal, au-dessous duquel on écrit les chiffres du quotient à mesure qu’on les trouve.

2° On prend sur la gauche du dividende assez de chiffres pour former un nombre qui contienne le diviseur, et l’on cherche combien de fois le dividende partiel contient le diviseur ; on écrit ce nombre de fois sous le diviseur, et l’on a ainsi le chiffre des plus fortes unités du quolieut.

5 U On multiplie le diviseur par le chiffre obtenu; on retranche le produit du dividende partiel, et l’on abaisse à droite du reste le chiffre suivant du dividende, pour former avec le reste un nouveau dividende partiel.

4° On opère sur le second dividende partiel comme sur le précédent : on détermine ainsi le second chiffre du quotient, que l’on écrit à la droite du premier, et l’on répète les mêmes opérations jusqu’à l’entier épuisement des chiffres du dividende.

3° Si un dividende partiel est moindre que le diviseur, on met un zéro au quotient.

1 o. — On essaye tout chiffre du quotient avant de l’écrire, en multipliant de tête, par ce même chiffre, les deux premiers chiffres de gauche du diviseur; on voit alors si le produit peut se retrancher des deux premiers ou des trois premiers chiffres de gauche du dividende partiel.

On reconnaît qu'un chiffre du quotient est trop fort, lorsque cette soustraction ne peut avoir lieu. On le diminue alors, unité par unité, jusqu'à ce que la soustraction soit possible.

On reconnaît qu'un chiffre du quotient est trop faible, lorsque le reste est plus grand que le diviseur ou que seulement il lui est égal ; on augmente alors ce chiffre, unité par unité, jusqu’à ce que le reste soit plus petit que le diviseur.

IG- — On peut toujours savoir à l'avance combien de chiffres aura le quotient. Il suffit pour cela de marquer le premier dividende partiel , de compter tous les chiffres suivants du dividende total, et d'ajouter 1 à leur nombre.