On reconnaît qu’un nombre est

1° Divisible par 2, quand le premier chiffre à droite est un nombre pair, 2, 4, 6, 8 ou 0. Ainçk;

248 et 250 sont divisibles par 2.

2° Divisible par 3, quand la somme de ses chiffres est ^visible par 3. Ainsi :

240 est divisible par 3, parce que la somme 15 de ses chiffres 2, 4 et 0, est divisible par 3.

3° Divisible par 4, quand le nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités est divisible par 4. Ainsi ;

2248 est divisible par 4, parce que 48 est divisible par 4.

4° Divisible par 5, quand le nombre est terminé par O ou par-S. Ainsi :

220 et 2245 sont divisibles par 5.

5° Divisible par 6, quand le nombre est pair et qu'en outre la somme de ses chiffres est divisible par 5. Ainsi :

2268 est divisible par 6, parce qu’il est pair et que la somme 18 de ses chiUres est divisible par 3.

6° Divisible par 8, quand le nombre formé parles chiffres des centaines, des dizaines et des unités est divisible par 8. Ainsi :

32664 est divisible par 8, parce que 664 est divisible par 8.

7° Divisible par 9, quand la somme de ses chiffres est divisible par 9. Ainsi :

32265 est divisible par 9, parce que la somme 18 de ses chiffres est divisible par 9.

N. B. Pour la preuve de la division, voy. pag. 50 i.

§ 4. Preuves des quatre opérations fondamentales de l’arithmétique sur les nombres entiers.

1° Preuves de l’Addition des nombres entiers.

1. Qu'appelle-t-on preuve d’une opération? — 2. Quelle est la

preuve la plus simple de l'addiliun ? — 3. Comment se fait la

preuve de l’addition par la soustraction ?

1 . — On appelle preuve d'une opération, une autre opération faite pour prouver l'exactitude de la première.

2. — La preuve la plus simple de l’addition se fait par l’addition même, en recommençant le calcul de bas en haut. Comme les chiffres de chaque colonne ne sont plus ajoutés au même nombre, on n’est pas exposé à commettre de nouveau les erreurs qu’on a pu faire en additionnant de haut en bas, et par conséquent, si l’on retrouve tous les chiffres du total obtenu, il est probable que ce total est exact.

5. — La preuve de l’addition par la soustraction peut se faire de deux manières.

4 re manière. — On additionne tous les nombres à l’exception d’un seul; on place le total partiel sous le total général , et l’on retranche le premier du second : si l’opération est bien faite, on doit retrouver le nombre qui n’a pas été compris dans la seconde addition.

Prenons l’exemple 8419, 58, 793 et 1540, dont la somme est 10870 ; en additionnant les trois premiers nombres, on trouve le nombre 9330, qui, retranché de 10870, donne 1540, c’est-à-dire le nombre qui n’a pas été compris dans l'addition.

2 e manière. — On additionne, à partir de la gauche, chaque colonne de l’opération, et l’on en retranche la somme de celle qui lui correspond dans le total ; on joint à celle-ci, comme formant des dizaines à son égard, le reste fourni par la colonne précédente; si l’opération est exacte, il restera 0 à la dernière colonne, puisqu’on aura retranché successivement de la somme toutes les sommes partielles dont elle est composée.

Prenons le même exemple :

8479 J’additionne 8 et 1 : j’ai 9 , qui, retranché de 10, 58 donne 1 ; j’additionne ensuite 4, 7 et 5 : j’ai 16, qui,

793 retranché de 18, donne 2; puis j’additionne 7, 5, 9,

1540 et 4 ; j’ai 25, qui, retranché de 27, donne 2; enfin

1 0870 j’addiiionne 9, 8 et 3 : j’ai 20, qui, retranché de 20,

donne 0.

2° Preuves de la Soustraclion des nombres entiers.

Comment se fait la preuve de la soustraction ? par l’addition ? par la soustraction ?

La preuve de la soustraction se fait de deux manières, par l’addition et par la soustraction.

1° Preuve par l’addition. — On additionne la différence avec le plus petit nombre; si les deux opérations sont bien faites, il est clair qu’on doit retrouver le plus grand nombre, puisque la différence est ce qui manque au nombre inférieur pour égaler le supérieur. L’addition se fait de bas en haut, afin de n’avoir rien à écrire; à mesure qu’on retrouve le total de chaque colonne , on remarque s’il reproduit le chiffre correspondant du grand nombre. Ex. :

8005 l rc col. — 8 cl 7 font 15 ; le chiffre 5 est le même que

•*6? le chiffre correspondant du grand nombre ; je retiens 1 .

7538 2 e col. — 1 et 3 font 4 et 6 font 10, comme au grand nombre ; je retiens 1 .

3' col. — 1 et 5 font 6 et 4 font 10, comme au grand nombre ; je retiens 1.

4 e col. — 1 et 7 font 8 , comme au grand nombre. — L’opération est donc bonne.

ÉLÉMENTS DE CALCCL. 505

2° Preuve par la soustraction.— On soustrait la différence du plus grand nombre : on doit alors retrouver le plus petit, puisque la différence est l’excédant du nombre supérieur sur le nombre inférieur.

Ainsi en soustrayant la différence 7538 du plus grand nombre 8005, je trouve 4G7, qui est le plus petit nombre.

3° Preuves de la Multiplication des nombres entiers.

1. Comment se fait la preuve la plus simple d’une multiplication ?

— 2. Comment se fait la preuve de la multiplication par la division?-— 3. Quelle est la propriété particulière au nombre 9?

— 4. Comment fait-on, par le nombre 9, la preuve d’une multiplication ?

1. — La preuve la plus simple d’une multiplication se fait en effectuant dans un autre ordre le produit des mêmes facteurs. Si l'on retrouve le même produit, il est probable que l’opération est bien faite.

2. — La preuve de la multiplication se fait d’une manière certaine par la division : car, la multiplication étant le produit de deux facteurs, il est clair qu’en divisant un produit par l’un des deux facteurs (multiplicande ou multiplicateur), on doit retrouver l’autre (multiplicateur ou multiplicande ).

Soit à multiplier 567 par 854; j’ai pour produit 472878.

Pour faire la preuve de cette multiplication :

(multiplicateur).

1° Je divise le produit 472878 par 667, et j’ai pour quotient 834, qui n’est autre chose que le multiplicateur. En effet, 472878 doit renfermer 834 fois le multiplicande; donc, si l’on divise 472878 en 567 parties égales, une de ces parties ou le quotient doit être le multiplicateur 834.

2° Je divise le produit 472878 par 834, et j’ai pour quotient 567, qui n'est autre chose que le multiplicande. En effet, 472878 doit renfermer 667 fois le multiplicateur; donc, si l’on divise 472878 en 834 parties égales , une de ces parties ou le quotient doit être le multiplicande 567.

(multiplicande).

3 . — Le nombre 9 jouit d’une propriété particulière : c’est que, si l’on additionne les chiffres d’un nombre , et qu’on en soustraie 9 autant de fois que possible , le reste de cette soustraction sera le même que si l’on divisait le nombre lui-même par 9.

Soit le nombre *472988.

472988 9 Je dis : 4 et 7 font 11:9 üe 11, reste 2 ; 2 et 2

22 i,*ir.iL 4 — font 4 , 4 et 9 font 13 : 9 de 13, reste 4 ; 4 et 8 49 font 12 : 9 de 12, reste 3; 3 et 8 font 1 1 : 9 de 1 1 ,

48 reste 2, comme en faisant la division ordinaire.

* La propriété particulière au nombre 9 donne un moyen de faire la preuve de la multiplication et celle de la division.

* 4 . — Pour faire par le nombre 9 la preuve- d’une multi-

f dication, j’additionne les chiffres du multiplicande en al- . ant de gauche à droite ; j'ôle 9 de la somme, à mesure que je puis l’ôler, et j’écris le reste sur la ligne du multiplicande. Après avoir fait la même opération sur le multiplicateur, je multiplie les deux restes l’un par l’autre, sans eu écrire le produit. J’additionne les chiffres de ce produit, j’en ôte les 9, et j’ai un troisième reste que j’écris au-dessous des deux premiers. Traitant enfin le produit total comme ses deux facteurs, j’obtiens un quatrième reste, qui égale le troisième si la multiplication a été bien faite. Telle est la preuve par 9 de la multiplication.

Soit l’exemple 567 x 854 déjà vu-.

0 Je dis : 5 et 6 font 1 1 : 9 de 6 1 1 reste 2 ; 2 et 7 font 9 : 9 de 9

reste 0, que j’écris vis-à-vis du multiplicande; 8 et 3 font 11 : 9 de 11, reste 2 ; 2 et 4 font 6, que

j’écris vis-à-vis du mulliplica-

0 teur.

Je multiplie les deux restes l’un par l’autre, c’est-à-dire 6 par 0, ce qui me donne 0.

Passant au produit total, je dis : 4 et 7 font 1 1 : 9 de 1 1 reste 2 ;

2 et 2 font 4, 4 et 8 font 12 : 9 de 12 reste 3 ; 3 et 7 font 10 : 9 de 10 reste I ; I et 8 font 9 : 9 de 9 reste 0.

Comme le quatrième reste est égal au troisième, j’en conclus que le résultat de la multiplication est exact.

La preuve par 9 ne saurait accuser des erreurs égales à 9 ou à un multiple de 9. Pour s’en convaincre, on peut ajouter au produit 5X 9 ou 27; la preuve par neuf n'indiquera point cette erreur.

Multiplicande 507

Multiplicateur 834

Produit 472878

*• Preuves de la Division des nombres entiers. •

1 . Comment se fait la preuve ordinaire de la division ? — 2. Comment se fait, par le nombre 9 , la preuve de la division? — 3. Celle preuve est-elle infaillible?

1. — La preuve ordinaire de la division se fait d’une manière certaine par la multiplication : car, la division indiquant combien de fois l’un des deux termes est conlenn dans l’autre, il est clair qu’en multipliant le quotient par le diviseur et en y ajoutant le reste de la division , s'il y en a un, on doit retrouver le dividende.

Soit 453 à diviser par 11.

J’ai pour quotient 32 et pour reste 5.

Pour faire la preuve de cette division, je multiplie 14 par 32, et j’écris le reste 5 sous la colonne des unités, avant d’additionner les produits partiels. J'obtiens ainsi 453 ou le dividende. En cilct, le dividende renferme 32 fois 14, plus 5 unités.

*2. — Pour faire par le nombre 9 la preuve d’une division , j’additionne tous les chiffres du diviseur, j'ôle 9 à mesure que je le puis, el j’écris le reste sur la même ligne; j’opère de même sur le quotient , je multiplie les deux restes l’un par l’autre ; j’additionne les chiffres de leur produit et j’ôle 9 de la somme, s’il y a lieu. J’obtiens par là un troisième reste qui est égal à celui du dividende total , quand la division a été bien faite et n'a pas donné de reste.

Si la division a fourni un reste, j’en additionne les chiffres avec le troisième reste de la preuve , et en ôtant toujours 9, j’obtiens un quatrième reste, qui dans ce cas doit être égal à celui du dividende. Le quatrième reste de la preuve s’écrit à gauche du reste de la division et sur la même ligne; le reste du dividende s’écrit aussi à gauche de ce nombre et sur la même ligne.

Soit 46531 : p37.

337 4 Je dis sur le diviseur : 3 et 3 font 6

3 et 7 font 13 : 9 de 13 reste 4 ; — sur le

quotient : 1 cl 3 font 4 et 8 font 12 : 9 de

12 3 12 reste 3 .

4 multiplié par 3 donne 12; 1 et 2 font 3. J’ajoute ce troisième reste 3 aux chilïres 5 et 2 du reste 25 de la division ; 3 et 5 font 8

Manuel. — D. Supérieur. 22

et 2 font 10 ; 9 de 10 , reste I. Enlin, je dis sur le dividende , en allant aussi de droite à gauche : 1 et 3 font 4 et 5 font 0 : 9 de 9, reste 0; 6 et 4 font 10 : 9 de 10, reste I. Comme ce reste 1 est égal au troisième, j’en conclus que la division a été bien faite.

5. — Quand la preuve par 9 ne réussit pas , on est sûr que l’opération n’est pas bonne; quand elle réussit, il est seulement probable qu’elle est bonne : car, le reste de la division d’un nombre par 9 ne changeant pas quand ce nombre augmente ou diminue d’un multiple de 9, il en résulte que lorsque les fautes de calcul sont telles que l’erreur totale commise dans le résultat soit un multiple de 9, la preuve par 9 n’indique pas cette erreur.

Soit à vérifier si 473373 est le produit de 367 par 854.

La preuve par 9 n’indique aucune faute de calcul ; et cependant le nombre 47 33*3 n’est pas le produit deô67 par 834 : car ce produit est 472878. L'erreur commise est 473373 — 472878 ou 495, c’està-dire 99 X 5.

§ 5. Opérations fondamentales de l’arithmétique sur les nombres décimaux et les fractions décimales.

1° Addition des nombres décimaux et des fractions décimales.

1. Comment se fait l'addition des nombres décimaux et des fractions décimales? — 2. Comment se fait la preuve d’une addition décimale t

1. — L’addition des nombres décimaux et des fractions décimales se fait comme celle des nombres entiers. On fait correspondre les unités ou les parties d’unité de même ordre, et l’on sépare à la somme, par une virgule, autant de décimales qu’il s’en trouve dans le nombre qui en a le plus.

Soit à additionner les nombres 12,54, — 42,5, — 289,0009, —962,-50,36,-0,042:

1356,2429 (somme).

211,1000 (preuve).

Je place convenablement les nombres proposés ; je les additionne comme des nombres entiers , et j’ai pour résultat 13562429. Or', il y a quatre décimales dans le nombre qui en contient le plus ; j’en sépare donc quatre à la somme , qui est 1356,2429.