U. FRACTIONS ET NOMBRES FRACTIONNAIRES

§ 1 er . Notions générales.

1° Des fractions et de leur numération.

1 . Qu’appcllc-t-on fraction en général ? — 2. D’où les fractions tirent-elles leur origine? — 3. Comment s’écrit la fraction? — 4. Qu’indique le nombre inférieur de la fraction? le nombre supérieur? Quel nom commun leur donno-l-on?— 5. Comment énonce-t-on une fraction ? — 6. A quoi est égale une fraction dont les deux termes sont égaux? — 7. Qu’appelle- l-on nombre fractionnaire ?

1. — On appelle fraction, en général, toute quantité moindre que l’unité.

2 . — Les fractions tirent leur origine des divisions qui ne peuvent pas s’effectuer exactement en nombre entier. Soit 47 à diviser par 3 ; on trouve le quotient 5 avec le reste

2. Mais 5 n’est pas la 3 e partie de 47; pour l’avoir pleinement, il faut encore partager le resle 2 en 5 parties égales,

et prendre 2 de ces parties pour les joindre au quotient 5. Le reste 2 partagé en ô parties est une fraction.

3. — La fraction s’écrit en plaçant l’an au-dessous de l'autre les deux nombres, que l’on* sépare par un trait, de cette manière,

Une fraction s’écrit encore ainsi, 2/3.

4- — Le nombre inférieur de la fraction ou celui qui est à droite (|, 2/3) s’appelle dénominateur ; il indique en combien de parties égales l’unité est divisée.

Le nombre supérieur ou celui qui est à gauche se nomme numérateur ; il indique combien on prend de ces parties égales.

On donne au numérateur et au dénominateur le nom commun de termes de la fraction.

S. — Pour énoncer une fraction, on énonce d’abord le numérateur , puis le dénominateur , dont on fait suivre le nom de la terminaison iéme.

11 faut en excepter les cas où le dénominateur est 2 , 3 ou 4 : on le nomme alors demi, tiers ou quart.

Ainsi : \ s’énonce sept huitièmes, et f s’énonce trois quarts.

6- — La fraction dont les deux termes sont égaux est égale à l’unité, quels que soient d’ailleurs les deux termes.

Ainsi les fractions £, f , J, 4, §, }, |, ?, sont égales chacune à l’unité, et par conséquent égales entre elfes.

7. — On appelle nombre fractionnaire la fraction dont le numérateur est plus grana que le dénominateur.

Telle est la fraction §. En effet , J = f -f- \ ■ : or 5 = 1 ; donc | est plus grand que l’unité de f : c’est donc un nombro fractionnaire.

2® Transformation d’un nombre entier en fraction d’une espèce donnée; extraction des entiers contenus dans un nombre fractionnaire.

1. Comment transforme-t-on un nombre entier en fraction d’une espèce donnée? — 2. Comment extrait-on les entiers qui sont contenus, dans un nombre fractionnaire ?

i. — On transforme un nombre entier en fraction d’une espèce donnée en multipliant ce nombre par le dénominateur donné ; le produit exprime le numérateur de la fraction demandée.

Ainsi, 5 réduit en tiers donne

ou — ; 5 réduit en sen-

tièmes

donne

Si l’entier est joint à une fraction, on le multiplie par le dénominateur de la fraction , et l’on ajoute le produit au numérateur. Ainsi :

ou —

2. — On extrait les entiers contenus dans un nombre fractionnaire , en divisant le numérateur par le dénominateur : le quotient donnera les entiers cherchés ; le reste , s’il y en a un , sera le numérateur d’une nouvelle fraction.

Soit 40 divisé par 7 donne 5 au quotient avec 5 pour reste; donc ^ = 5-(-f.

3° Changements que les fractions éprouvent quand on en fait varier les termes ; cas où elles ne changent point de valeur.

1 . De combien de manières une fraction peut-elle être considérée ? — 2. Que devient une fraction quand on multiplie par un nombre entier : 1° son numérateur seul? 2° son dénominateur seul? 3° ses deux termes?-— 3. Que devient uBe fraction quand on divise par un nombre entier : 1° son numérateur seul? 2° son dénominateur seul? 3° 6es deux termes ?

i. — Une fraction peut être considérée de deux manières : 1° comme le quotient de la division du numérateur par le dénominateur; 2° comme l’expression de ce qu’on prend des parties égales entre lesquelles l’unité a été divisée.

2. — 1° Si l’on multiplie le numérateur seul d’une fraction par un nombre entier, la fraction devient autant de fois plus grande qu’il y a d’unités dans ce nombre.

Soit en multipliant le numérateur par 5, on a fraction 5 fois plus grande que f : car les parties égales du dénominateur sont restées les mêmes, et l'on en prend cinq fois plus.

2° Si l’on multiplie le dénominateur seul par un nombre entier? la fraction devient autant de fois plus petite qu’il y a d’unités dans ce nombre.

Soit i; en multipliant le dénominateur par 5, on a fraction 6 fois plus petite que j: car on ne prend que le même nombre de parties , et ces parties ont etc rendues 5 fuis plus petites.

3° Si l’on multiplie par le même nombre les deux termes d’une fraction , celle fraction ne change pas de valeur.

Soit f ; en multipliant le numérateur par 5, on rend la fraction 5 fois plus grande ; en multipliant aussi le dénominateur par à, on rend la même fraction S fois plus petite : il y a donc compensation, et par conséquent la fraction n'a pas changé de valeur : ainsi $ = i{.

3. — \° Si l’on divise le numérateur seul d’une fraction par un nombre entier, la fraction devient autant de fois plus petite qu’il y a d’unités dans ce nombre.

Soit ff ; en divisant le numérateur par 5 , on a fraction 5 fois plus petite que ff : car les parties du dénominateur sont restées les mêmes, et l’on en prend 5 fois moins.

2° Si l’on divise le numérateur seul d’une fraction par un nombre entier, la fraction devient autant de fois plus grande qu’il y a d’unités dans ce nombre.

Soit ff ; en divisant le dénominateur par 5, on a y-, fraction 5 fois plus grande que ff : car on prend le même nombre des parties, et ces parties ont été rendues 5 fois plus grandes.

3° Si l’on divise par un même nombre les deux termes d’une fraction, celle fraction ne change pas de valeur.

Soit f|; en divisant le numérateur par 5, on rend I» fraction 5 fois plus petite; en divisant aussi le dénominateur par 5 , on rend la même fraction ô fois plus grande. Il y a donc compensation, et la fraction n’a pas changé de valeur : ainsi f| = |.

4° Réduction de plusieurs fractions au même dénominateur.

I. Comment compare-t-on les grandeurs de deux fractions, et quels sont les deux cas qui se présentent ? — 2. Que fait-on pour réduire deux fractions au même dénominateur? — 3. La réduction de deux fractions au même dénominateur en change-t-elle la valeur respective ? — 4. Que fait-on pour réduire au même dénominateur un nombre quelconque de fractions? Ne peut-on

1 >as abréger et simplifier le calcul? — 5. Qu’cst-ce que réduire es fractions au moindre dénominateur commun? — C. Que faiton pour trouver le moindre dénominateur commun? — 7. Que faut-il faire pour réduire des fractions au moindre dénominateur commun ?